Preguntas: Resolver funciones inversas
Pregunta 1: Grafica y encuentra la inversa de $f(x) = 2x^3 - 1$
A continuación se muestra la gráfica de $f(x) = 2 x^3 - 1$.
1) Bosqueja la gráfica de la inversa de $f$ en el mismo sistema de ejes.
2) Encuentra la inversa de $f$ y verifica tu respuesta usando algunos puntos.
1) Solución gráfica: Localiza puntos cuyas coordenadas $(a , b)$ puedan determinarse fácilmente a partir de la gráfica de $f$:
$$ (1 , 1), \quad (0 , -1), \quad (-1 , -3) $$
En la gráfica de la función inversa, estos puntos tendrán las coordenadas intercambiadas $(b , a)$:
$$ (1 , 1), \quad (-1 , 0), \quad (-3 , -1) $$
Traza los puntos y bosqueja la gráfica de la inversa de $f$ de manera que las dos gráficas sean reflexiones a través de $y = x$.
2) Solución analítica: Escribe la función como una ecuación en dos variables:
$$ y = 2x^3 - 1 $$
Resuelve para $x$:
$$ 2x^3 = y + 1 $$
$$ x^3 = \frac{y + 1}{2} $$
$$ x = \sqrt[3]{\frac{y + 1}{2}} $$
Intercambia $x$ e $y$ para escribir la función inversa:
$$ f^{-1} (x) = \sqrt[3]{\frac{x + 1}{2}} $$
Verificación: Comprueba que los puntos $(-1, 0)$ y $(-3, -1)$ estén en $f^{-1}$:
$$ f^{-1} (-1) = \sqrt[3]{\frac{-1 + 1}{2}} = 0 $$
$$ f^{-1} (-3) = \sqrt[3]{\frac{-3 + 1}{2}} = -1 $$
Ambos puntos funcionan perfectamente.
Pregunta 2: Encuentra la inversa, el dominio y el rango de $f(x) = x^2 - 4x + 5, \quad x \leq 2$
Paso 1: Determina el mapeo de Dominio y Rango.
Nos dan una función cuadrática con un dominio restringido: $x \leq 2$. Escribamos la función en forma de vértice completando el cuadrado:
$$ f(x) = (x - 2)^2 + 1, \quad x \leq 2 $$
El vértice es $(2, 1)$ y la parábola abre hacia arriba. Dado que el dominio nos restringe a la mitad izquierda ($x \leq 2$), el rango de $f$ es $y \geq 1$.
Por lo tanto, para $f^{-1}$:
Dominio de $f^{-1}$: $[1, \infty)$
Rango de $f^{-1}$: $(-\infty, 2]$
Paso 2: Escribe como una ecuación y resuelve para $x$.
$$ y = (x - 2)^2 + 1 $$
$$ (x - 2)^2 = y - 1 $$
Tomar la raíz cuadrada da dos soluciones:
$$ x - 2 = \pm \sqrt{y - 1} $$
$$ x = 2 + \sqrt{y - 1} \quad \text{o} \quad x = 2 - \sqrt{y - 1} $$
Paso 3: Selecciona la rama correcta usando la restricción del Rango.
Dado que el rango de la inversa debe ser $x \leq 2$ (del dominio original), debemos seleccionar la rama de la raíz cuadrada negativa:
$$ x = 2 - \sqrt{y - 1} $$
Paso 4: Intercambia $x$ e $y$.
$$ f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{x - 1} $$
Respuesta final: $f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{x - 1}$ con Dominio $[1, \infty)$ y Rango $(-\infty, 2]$.
Pregunta 3: Grafica y encuentra la inversa de $f(x) = \sqrt{2x - 3}$
1) Solución gráfica: Localiza algunos puntos en la gráfica de $f(x)$. Una lista posible de coordenadas $(a, b)$ es:
$$ (1.5, 0), \quad (2, 1), \quad (6, 3) $$
Intercambia coordenadas a $(b, a)$ para la gráfica de la inversa:
$$ (0, 1.5), \quad (1, 2), \quad (3, 6) $$
Traza estos puntos para bosquejar $f^{-1}$ reflejando sobre $y = x$.
2) Solución analítica:
Configuración de Dominio/Rango: A partir de la gráfica (o algebraicamente $2x-3 \geq 0$), el dominio de $f$ es $x \geq 1.5$ y el rango es $y \geq 0$. Por lo tanto, el dominio de $f^{-1}$ será $x \geq 0$.
Escribe como una ecuación:
$$ y = \sqrt{2x - 3} $$
Eleva ambos lados al cuadrado y resuelve para $x$:
$$ y^2 = 2x - 3 $$
$$ 2x = y^2 + 3 $$
$$ x = \frac{y^2 + 3}{2} $$
Intercambia $x$ e $y$ y aplica la restricción del dominio:
$$ f^{-1}(x) = \frac{x^2 + 3}{2}, \quad x \geq 0 $$
Pregunta 4: Bosqueja y encuentra la ecuación para una inversa a trozos
Bosqueja la gráfica de $f^{-1}$ usando la gráfica dada de $y = f(x)$ y determina su ecuación analíticamente.
1) Solución gráfica: Extrae vértices clave de la función a trozos $f(x)$:
$$ (0 , 3) , \quad (2 , -1) , \quad (5 , -3) $$
Intercambia coordenadas para encontrar vértices para $f^{-1}(x)$:
$$ (3 , 0) , \quad (-1 , 2) , \quad (-3 , 5) $$
2) Determinando $f^{-1}(x)$ analíticamente: Necesitamos encontrar las ecuaciones de los dos segmentos lineales para la gráfica inversa.
Segmento 1: Entre los valores $x$ de $-3$ y $-1$. Pasa por $(-3, 5)$ y $(-1, 2)$.
Pendiente $m_1$:
$$ m_1 = \frac{5 - 2}{-3 - (-1)} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2} $$
Ecuación (usando la forma punto-pendiente con $(-1,2)$):
$$ y - 2 = -\frac{3}{2}(x - (-1)) \Rightarrow y = -\frac{3}{2}(x + 1) + 2 $$
Segmento 2: Entre los valores $x$ de $-1$ y $3$. Pasa por $(-1, 2)$ y $(3, 0)$.
Pendiente $m_2$:
$$ m_2 = \frac{0 - 2}{3 - (-1)} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $$
Ecuación (usando la forma punto-pendiente con $(3,0)$):
$$ y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 3) \Rightarrow y = -\frac{1}{2}(x - 3) $$
(Nota: Esto es algebraicamente equivalente a $-\frac{1}{2}(x+1)+2$).
Conclusión (Inversa a trozos):
$$ f^{-1}(x) = \begin{cases} -\frac{3}{2}(x + 1) + 2 & -3 \leq x \leq -1 \\ -\frac{1}{2}(x - 3) & -1 < x \leq 3 \end{cases} $$
Pregunta 5: Inversa de una función raíz racional $f(x) = - \sqrt{\frac{2}{x}-1}$
Paso 1: Determina el dominio y rango.
$f(x)$ está definida si el radicando es $\geq 0$ y el denominador $\neq 0$:
$$ \frac{2}{x} - 1 \geq 0 \Rightarrow \frac{2 - x}{x} \geq 0 $$
Analizar los signos en los valores críticos $x=0$ y $x=2$ nos da el dominio:
Dominio de $f$: $(0, 2]$
Debido a que el radical produce un número positivo (o cero) y se multiplica por un signo negativo, el rango son todos los números no positivos.
Rango de $f$: $(-\infty, 0]$
Por lo tanto, para la función inversa:
Dominio de $f^{-1}$: $(-\infty, 0]$
Rango de $f^{-1}$: $(0, 2]$
Paso 2: Bosqueja la gráfica.
Puntos en $f$: $(2 , 0)$ y $(1 , -1)$.
Puntos en $f^{-1}$: $(0 , 2)$ y $(-1 , 1)$.
Paso 3: Encuentra $f^{-1}(x)$ analíticamente.
$$ y = -\sqrt{\frac{2}{x} - 1} $$
Eleva ambos lados al cuadrado (esto requiere realizar un seguimiento de nuestro dominio para evitar soluciones extrañas):
$$ y^2 = \frac{2}{x} - 1 $$
$$ \frac{2}{x} = y^2 + 1 $$
$$ x = \frac{2}{y^2 + 1} $$
Intercambia $x$ e $y$, e indica la restricción de dominio requerida:
$$ f^{-1}(x) = \frac{2}{x^2 + 1}, \quad x \leq 0 $$
Pregunta 6: Ejercicio de mapeo gráfico
A continuación se muestran las gráficas de 6 funciones. Bosqueja la gráfica de la inversa de cada función.
Solución: Para cada gráfica, selecciona puntos cuyas coordenadas sean fáciles de determinar. Usa estos puntos y el principio de reflexión a través de la línea $y = x$ para bosquejar las funciones inversas.
Pregunta 7: Inversa de la función logarítmica $f(x) = \log_4(x + 2) - 5
Paso 1: Determina el dominio y el rango.
Para que el logaritmo esté definido, el argumento debe ser positivo: $x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$.
Los logaritmos arrojan todos los números reales, por lo que el rango es ilimitado.
Dominio de $f$: $(-2, \infty)$
Rango de $f$: $(-\infty, \infty)$
Por lo tanto, para la función inversa:
Dominio de $f^{-1}$: $(-\infty, \infty)$
Rango de $f^{-1}$: $(-2, \infty)$
Paso 2: Resuelve algebraicamente.
$$ y = \log_4(x + 2) - 5 $$
$$ \log_4(x + 2) = y + 5 $$
Convierte a forma exponencial:
$$ x + 2 = 4^{(y + 5)} $$
$$ x = 4^{(y + 5)} - 2 $$
Paso 3: Intercambia $x$ e $y$.
$$ f^{-1}(x) = 4^{(x + 5)} - 2 $$
Pregunta 8: Encontrar una coordenada específica $f^{-1}(-4)$ sin realizar la inversión completa
Si $f(x) = \ln(x) + 4x - 8$, ¿cuál es el valor de $f^{-1}(-4)$?
Solución: No necesitamos encontrar la ecuación completa de la inversa. Sea $a = f^{-1}(-4)$. Usando la propiedad composicional de las inversas, $f(f^{-1}(x)) = x$, sabemos que:
$$ f(a) = f(f^{-1}(-4)) = -4 $$
Necesitamos encontrar una $a$ tal que $f(a) = -4$:
$$ \ln(a) + 4a - 8 = -4 $$
$$ \ln(a) = 4 - 4a $$
Esta ecuación trascendental no puede resolverse puramente de forma algebraica, pero su solución puede aproximarse gráficamente como la coordenada $x$ del punto de intersección de $y = \ln(x)$ e $y = 4 - 4x$.
La intersección se encuentra exactamente en $a = 1$. Podemos verificar esto algebraicamente:
$$ \ln(1) = 4 - 4(1) \Rightarrow 0 = 0 $$
Respuesta final:
$$ f^{-1}(-4) = 1 $$
Preguntas de desafío para práctica adicional
Pon a prueba tus habilidades con estos problemas avanzados de funciones inversas. ¡Presta especial atención a los dominios y rangos!
- Desafío 1 (Función racional): Encuentra la inversa de $f(x) = \frac{3x+2}{x-1}$.
- Desafío 2 (Exponencial): Encuentra la inversa de $f(x) = e^{2x-1} + 3$. Indica el dominio de $f^{-1}(x)$.
- Desafío 3 (Cuadrática restringida): Encuentra la inversa de $f(x) = x^2 + 6x$ para $x \geq -3$.
Haz clic aquí para revelar las respuestas finales
- Respuesta 1: $f^{-1}(x) = \frac{x+2}{x-3}$.
- Respuesta 2: $f^{-1}(x) = \frac{1}{2}(\ln(x-3) + 1)$. El dominio es estrictamente $x > 3$.
- Respuesta 3: $f^{-1}(x) = \sqrt{x+9} - 3$. El dominio es $x \geq -9$.