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1) Dibuja la gráfica de la inversa de \( f \) en el mismo sistema de ejes.
2) Encuentra la inversa de \( f \) y verifica tu respuesta usando algunos puntos.
Aprende a resolver problemas matemáticos que involucran funciones inversas utilizando técnicas analíticas y métodos gráficos. Esta página ofrece soluciones paso a paso a una variedad de preguntas, destacando conceptos clave como la propiedad de reflexión: la gráfica de una función y su inversa son imágenes especulares a través de la recta \( y = x \). Ideal para estudiantes y educadores que buscan explicaciones claras y una comprensión visual de las funciones inversas.
A continuación se muestra la gráfica de \[ f(x) = 2 x^3 - 1 \]
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1) Dibuja la gráfica de la inversa de \( f \) en el mismo sistema de ejes.
2) Encuentra la inversa de \( f \) y verifica tu respuesta usando algunos puntos.
1) Localiza puntos en la gráfica de \( f \). Aquí hay una lista de puntos cuyas coordenadas \( (a , b) \) se pueden determinar fácilmente de la gráfica: \[ (1 , 1), \quad (0 , -1), \quad (-1 , -3) \]
En la gráfica de la función inversa, los puntos anteriores tendrán coordenadas \( (b , a) \) de la siguiente manera: \[ (1 , 1), \quad (-1 , 0), \quad (-3 , -1) \]
Grafica los puntos anteriores y dibuja la gráfica de la inversa de \( f \) de modo que las dos gráficas sean reflexiones una de la otra sobre la recta \( y = x \), como se muestra a continuación.
2) Escribe la función dada \( f(x) = 2x^3 - 1 \) como una ecuación en dos incógnitas: \[ y = 2x^3 - 1 \]
Resuelve para \( x \): \[ 2x^3 = y + 1 \] \[ x^3 = \dfrac{y + 1}{2} \] \[ x = \sqrt[3]{\dfrac{y + 1}{2}} \]
Intercambia x e y y escribe la ecuación de la función inversa \( f^{-1} \): \[ y = \sqrt[3]{\dfrac{x + 1}{2}} \] \[ f^{-1} (x) = \sqrt[3]{\dfrac{x + 1}{2}} \]
Verificamos que los puntos \( \quad (1 , 1), \quad (-1 , 0), \quad (-3 , -1) \quad \) usados anteriormente para dibujar la gráfica de la función inversa estén en la gráfica de \( f^{-1} \). \[ f^{-1} (1) = \sqrt[3]{\dfrac{1 + 1}{2}} = 1 \] \[ f^{-1} (-1) = \sqrt[3]{\dfrac{-1 + 1}{2}} = 0 \] \[ f^{-1} (-3) = \sqrt[3]{\dfrac{-3 + 1}{2}} = -1 \]
Sea \( f(x) = x^2 - 4x + 5 \), \( x \leq 2 \).
1) Encuentra la función inversa de \( f \).
2) Encuentra el dominio y el rango de \( f^{-1} \).
1) Se nos da una función cuadrática con dominio restringido. Primero escribimos la función dada en forma de vértice (puede hacerse completando el cuadrado):
\[ f(x) = x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1, \quad x \leq 2 \]
La gráfica de la función \( f \) es la mitad izquierda de una parábola con vértice en \( (2, 1) \), como se muestra a continuación.
Ahora escribimos la función dada como una ecuación: \[ y = (x - 2)^2 + 1 \]
Resuelve para \( x \): \[ y = (x - 2)^2 + 1 \] \[ (x - 2)^2 = y - 1 \]
Dos soluciones: \[ x - 2 = \pm \sqrt{y - 1} \] que da \[ x = \sqrt{y - 1} + 2 \quad \text{y} \quad x = -\sqrt{y - 1} + 2 \]
Dado que \( x \leq 2 \) (dominio de \( f \)) y \( \sqrt{y - 1} \ge 0 \), seleccionamos la solución \[ x = -\sqrt{y - 1} + 2 \]
Intercambia \( x \) y \( y \) para escribir la inversa de la función \( f \) de la siguiente manera: \[ y = f^{-1}(x) = -\sqrt{x - 1} + 2 \]
El dominio y el rango de \( f^{-1} \) son el rango y el dominio de \( f \).
Dominio de \( f^{-1} \) es el rango de \( f \): \[ [1, +\infty) \quad \text{de la gráfica} \]
Rango de \( f^{-1} \) es el dominio de \( f \): \[ (-\infty, 2] \quad \text{dado} \]
A continuación se muestra la gráfica de \[ f(x) = \sqrt{2 x - 3} \]
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1) Dibuja la inversa de \( f \) en la misma gráfica.
2) Encuentra la inversa y verifica tu respuesta usando algunos puntos.
1) Localiza algunos puntos en la gráfica de \( f \). Una posible lista de puntos con coordenadas \( (a, b) \) es la siguiente: \[ (1.5, 0) , (2, 1) , (6, 3) \]
En la gráfica de la función inversa, los puntos anteriores tendrán coordenadas \( (b, a) \) de la siguiente manera: \[ (0, 1.5) , (1, 2) , (3, 6) \]
Grafica los puntos anteriores y dibuja la gráfica de la inversa de \( f \) de modo que las dos gráficas sean reflexiones una de la otra sobre la recta \( y = x \), como se muestra a continuación.
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2) Escribe la función dada \( f(x) = \sqrt{2x - 3} \) como una ecuación en dos incógnitas: \[ y = \sqrt{2x - 3} \]
Resuelve para \( x \). Primero eleva al cuadrado ambos lados: \[ 2x - 3 = y^2 \] \[ 2x = y^2 + 3 \] \[ x = \dfrac{y^2 + 3}{2} \]
Intercambia \( x \) y \( y \) y escribe la ecuación de la función inversa \( f^{-1} \); y escribe el dominio de la inversa. \[ y = \dfrac{x^2 + 3}{2} \] El dominio de \( f^{-1} \) es el rango de \( f \) de su gráfica anterior, por lo tanto \[ f^{-1}(x) = \dfrac{x^2 + 3}{2}, \quad x \geq 0 \]
Verificamos que los puntos \( (0 , 1.5) \), \( (1 , 2) \), y \( (3 , 6) \) usados para dibujar la gráfica de la función inversa estén en la gráfica de \( f^{-1} \). \[ f^{-1}(0) = \dfrac{0^2 + 3}{2} = 1.5 \] \[ f^{-1}(1) = \dfrac{1^2 + 3}{2} = 2 \] \[ f^{-1}(3) = \dfrac{3^2 + 3}{2} = 6 \]
Dibuja la gráfica de \( f^{-1} \) usando la gráfica de \( y = f(x) \) mostrada a continuación y encuentra \( f^{-1}(x) \).
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1) Usa la gráfica para encontrar puntos en la gráfica de \( f \). Una posible lista de puntos cuyas coordenadas \( (a , b) \) es la siguiente: \[ (0 , 3) , (2 , -1) , (5 , -3) \]
En la gráfica de la función inversa, los puntos anteriores tendrán coordenadas \( (b , a) \) de la siguiente manera: \[ (3 , 0) , (-1 , 2) , (-3 , 5) \]
Grafica los puntos anteriores y dibuja la gráfica de la inversa de f de modo que las dos gráficas sean reflexiones una de la otra sobre la recta \( y = x \), como se muestra a continuación.
2) Determinación de la función inversa \( f^{-1}(x) \).
Para \( -3 \leq x \leq -1 \), \( f^{-1}(x) \) es una expresión lineal con pendiente \( m_1 \), que pasa por los puntos \( (-1, 2) \) y \( (-3, 5) \):
\[ m_1 = \dfrac{5 - 2}{-3 - (-1)} = \dfrac{-3}{2} \]
Por lo tanto, para \( -3 \leq x \leq -1 \), la función inversa es:
\[ f^{-1}(x) = -\dfrac{3}{2}(x - (-1)) + 2 = -\dfrac{3}{2}(x + 1) + 2 \]
Para \( -1 < x \leq 3 \), \( f^{-1}(x) \) es una expresión lineal con pendiente \( m_2 \), que pasa por los puntos \( (-1, 2) \) y \( (3, 0) \):
\[ m_2 = \dfrac{0 - 2}{3 - (-1)} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2} \]
Por lo tanto, para \( -1 < x \leq 3 \), la función inversa es:
\[ f^{-1}(x) = -\dfrac{1}{2}(x - (-1)) + 2 = -\dfrac{1}{2}(x + 1) + 2 \]
Conclusión:
\[ f^{-1}(x) = \left \{ \begin{array}{ll} -\dfrac{3}{2}(x + 1) + 2 & \quad -3 \leq x \leq -1 \\ -\dfrac{1}{2}(x + 1) + 2 & \quad -1 \lt x \leq 3 \end{array} \right \} \]
La función uno a uno
\[ f(x) = - \sqrt{\dfrac{2}{x}-1} \]
está graficada a continuación.
1) ¿Cuál es el dominio y rango de \( f \)?
2) Dibuja la gráfica de \( f^{-1} \).
3) Encuentra \( f^{-1}(x) \) (incluye dominio).
1) \( f(x) \) está definida como un número real si el radicando \( \dfrac{2}{x} - 1 \) es mayor o igual a 0. Por lo tanto, necesitamos resolver la desigualdad: \[ \dfrac{2}{x} - 1 \geq 0 \] \[ \dfrac{2 - x}{x} \geq 0 \]
La expresión a la izquierda de la desigualdad cambia de signo en los ceros del numerador y denominador, que son \( x = 2 \) y \( x = 0 \). Ver tabla a continuación.
Dominio de \( f \): \( (0 , 2] \)
Rango de \( f \): \( (-\infty , 0] \)
2) Puntos en la gráfica de \( f \): \[ (2 , 0) , (1 , -1) \] Los puntos anteriores en la gráfica de la función inversa tendrán coordenadas \( (b , a) \) de la siguiente manera: \[ (0 , 2) , (-1 , 1) \]
Grafica los puntos anteriores y dibuja la gráfica de la inversa de \( f \) de modo que las dos gráficas sean reflexiones una de la otra sobre la recta \( y = x \), como se muestra a continuación.
3) Escribe \( f(x) \) como una ecuación en \( y \) y \( x \): \[ y = -\sqrt{\dfrac{2}{x} - 1} \]
Resuelve la ecuación anterior para \( x \). Eleva al cuadrado ambos lados: \[ y^2 = \dfrac{2}{x} - 1 \] \[ \dfrac{2}{x} = y^2 + 1 \] \[ x = \dfrac{2}{y^2 + 1} \]
Intercambia \( x \) y \( y \) y escribe la función inversa: \[ y = \dfrac{2}{x^2 + 1} \] \[ f^{-1}(x) = \dfrac{2}{x^2 + 1} \]
El dominio y el rango de \( f^{-1} \) son el rango y el dominio de \( f \). Por lo tanto:
Dominio de \( f^{-1} \): \[ (-\infty , 0] \]
Rango de \( f^{-1} \): \[ (0 , 2] \]
A continuación se muestran las gráficas de 6 funciones. Dibuja la gráfica de la inversa de cada función.
Para cada gráfica, selecciona puntos cuyas coordenadas sean fáciles de determinar. Usa estos puntos y también la reflexión de la gráfica de la función f y su inversa sobre la recta \( y = x \) para dibujar las funciones inversas como se muestra a continuación.
Encuentra la inversa de \[ f(x) = \log_4 (x + 2) - 5 \], su dominio y rango.
Escribe la función dada como una ecuación en \( x \) y \( y \) de la siguiente manera: \[ y = \log_{4}(x + 2) - 5 \]
Resuelve la ecuación anterior para \( x \): \[ \log_{4}(x + 2) = y + 5 \] \[ x + 2 = 4^{(y + 5)} \] \[ x = 4^{(y + 5)} - 2 \]
Intercambia \( x \) y \( y \): \[ y = 4^{(x + 5)} - 2 \]
Escribe la función inversa con su dominio y rango: \[ f^{-1}(x) = 4^{(x + 5)} - 2, \quad \text{Dominio: } (-\infty, +\infty), \quad \text{Rango: } (-2, +\infty) \]
Si \( f(x) = \ln(x) + 4x - 8 \), ¿cuál es el valor de \( f^{-1}(-4) \)?
Sea \( a = f^{-1}(-4) \). Entonces, usando la propiedad \( f(f^{-1}(x)) = x \) de la función inversa, escribimos: \[ f(a) = f(f^{-1}(-4)) = -4 \]
Ahora necesitamos encontrar \( a \) tal que \( f(a) = -4 \), de ahí la ecuación a resolver: \[ \ln(a) + 4a - 8 = -4 \] \[ \ln(a) = 4 - 4a \]
La ecuación anterior no se puede resolver analíticamente, pero su solución puede aproximarse gráficamente como la coordenada \( x \) del punto de intersección de las gráficas de \( y = \ln(x) \) y \( y = 4 - 4x \), como se muestra a continuación.
La intersección de las dos gráficas está cerca de \( x = 1 \), que se puede comprobar fácilmente que es la solución exacta de la ecuación \( \ln(x) = 4 - 4x \). Por lo tanto, \[ f^{-1}(-4) = 1 \]