Resuelva preguntas sobre funciones inversas
con soluciones y respuestas

Los métodos analíticos y gráficos se utilizan para resolver problemas matemáticos de grado 12 e preguntas sobre funciones inversas. También se presentan soluciones detalladas. Varias preguntas implican el uso de la propiedad de que los gráficos de una función y la gráfica de su inversa son reflejo uno del otro en la línea y = x.

  1. A continuación se muestra la gráfica de f(x) = 2 x 3 - 1

    gráfico de la función f para preguntar 1 .



    1) Dibuje el gráfico de la inversa de f en el mismo sistema de ejes.

    2) Encuentra el inverso de y verifica tu respuesta usando algunos puntos.

    Solución

    1) Ubique algunos puntos en el gráfico de f. Aquí hay una lista de puntos cuyas coordenadas (a, b) se pueden determinar fácilmente a partir del gráfico:

    (1 , 1) , (0 , -1) , (-1 , -3)

    En el gráfico de la función inversa, los puntos anteriores se invertirán en puntos con coordenadas (b, a) de la siguiente manera:

    (1 , 1) , (-1 , 0) , (-3 , -1)

    Trace los puntos anteriores y dibuje el gráfico de la inversa de f para que los dos gráficos se reflejen entre sí en la línea y = x como se muestra a continuación.

    gráfico de solución de inversa a la pregunta 1 .



    2) Escriba la función dada f (x) = 2 x 3 - 1 como una ecuación en dos incógnitas.

    y = 2 x 3 - 1

    Resuelve lo de arriba para x.

    2 x 3 = y + 1

    x 3 = (y + 1) / 2

    $$x = \sqrt[3]{\dfrac{y + 1}{2}} $$

    Intercambia xey y escribe la ecuación de la función inversa f -1:

    \( y = \sqrt[3]{\dfrac{x + 1}{2}} \)

    \( f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\dfrac{x + 1}{2}} \)

    Ahora verificamos que los puntos (1, 1), (-1, 0) y (-3, -1) utilizados anteriormente para dibujar el gráfico de la función inversa están en el gráfico de f -1 .

    \( f^{-1}(1) = \sqrt[3]{\dfrac{1 + 1}{2}} = 1\)

    \( f^{-1}(-1) = \sqrt[3]{\dfrac{-1 + 1}{2}} = 0\)

    \( f^{-1}(-3) = \sqrt[3]{\dfrac{-3 + 1}{2}} = -1\)
  2. Dejar f(x) = x 2 - 4 x + 5, x ≤ 2.

    1) Encuentre la función inversa de f.

    2) Encuentra el dominio y el rango de f -1.

    Solución

    1) Nos da una función cuadrática con un dominio restringido. Primero escribimos la función dada en forma de vértice (se puede hacer completando el cuadrado):

    f(x) = x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 + 1 , x ≤ 2

    La gráfica de la función f es la de la mitad izquierda de una parábola con vértice en (2, 1) como se muestra a continuación.

    gráfico de la función f en la pregunta 2 .



    Ahora escribimos la función dada como una ecuación.

    y =(x - 2) 2 + 1

    Resuelve lo de arriba para x.

    y =(x - 2) 2 + 1

    (x - 2) 2 = y - 1

    Dos soluciones para x - 2:     x - 2 = +√(y - 1)     or     x - 2 = - √(y - 1)

    x = √(y - 1) + 2     or     x = - √(y - 1) + 2

    Desde x ≤2 (dominio de f), seleccionamos la solución

    x = - √(y - 1) + 2

    Intercambia xey para escribir el inverso de la función f de la siguiente manera.

    y = f -1(x) = - √(x - 1) + 2

    El dominio y el rango de f -1 son el rango y el dominio de f.

    Dominio de f -1 es el rango de f: [1 , +∞)     (del gráfico)

    El rango de f -1 es el dominio de f: (-∞ , 2]     (dado)

  3. A continuación se muestra la gráfica de f(x) = √(2 x - 3).

    gráfico de la función f en la pregunta 3.



    1) Dibuje el inverso de f en el mismo gráfico.


    2) Encuentra el inverso de y verifica tu respuesta usando algunos puntos.

    Solución

    1) Ubique algunos puntos en el gráfico de f. Una posible lista de puntos cuyas coordenadas (a, b) es la siguiente:

    (1.5 , 0) , (2 , 1) , (6 , 3)

    En el gráfico de la función inversa, los puntos anteriores se invertirán en los puntos (b , a) de la siguiente manera:

    (0 , 1.5) , (1 , 2) , (3 , 6)

    Trace los puntos anteriores y dibuje el gráfico de la inversa de f para que los dos gráficos se reflejen entre sí en la línea y = x como se muestra a continuación.

    gráfico de la solución de inversa a la pregunta 3.



    2) Escribe la función dada f(x) = √(2 x - 3) como una ecuación en dos incógnitas.

    y = √(2 x - 3)

    Resuelve lo anterior para x. Primer cuadrado ambos lados

    2 x - 3 = y 2

    2 x = y 2 + 3

    x = (y 2 + 3) / 2

    Intercambia xey y escribe la ecuación de la función inversa f -1 ; y escribe el dominio de la inversa.

    y = (x 2 + 3) / 2

    f -1 (x) = (x 2 + 3) / 2 , x ≥ 0 (dominio que es el rango de f de su gráfico anterior)

    Ahora verificamos que los puntos (0 , 1.5) , (1 , 2) e (3 , 6) utilizado para dibujar el gráfico de la función inversa están en el gráfico de f -1 .

    f -1(0) = (0 2 + 3) / 2 = 1.5

    f -1(1) = (1 2 + 3) / 2 = 2

    f -1(3) = (3 2 + 3) / 2 = 6

  4. Dibuje el gráfico de f -1 usando la gráfica de y = f(x) que se muestra a continuación y encuentre f -1 (x).

    gráfico de la función f en la pregunta 4 .



    Solución
    1) Usa el gráfico para encontrar puntos en el gráfico de f. Una posible lista de puntos cuyas coordenadas (a , b) es la siguiente:

    (0 , 3) , (2 , -1) , (5 , - 3)

    En el gráfico de la función inversa, los puntos anteriores tendrán las coordenadas (b , a) de la siguiente manera:

    (3 , 0) , (- 1 , 2) , (- 3 , 5)

    Trace los puntos anteriores y dibuje el gráfico de la inversa de f para que los dos gráficos se reflejen entre sí en la línea y = x como se muestra a continuación.

    gráfico de solución de inversa a la pregunta 4 .



    2) Ahora determinamos f -1(x). por -3 ≤ x ≤ - 1 , f -1(x) tiene una expresión lineal con pendiente
    m 1 a través de los puntos (- 1 , 2) , (- 3 , 5) dada por


    m1 = (5 - 2) / (-3 - (-1)) = - 3 / 2

    Por -3 ≤ x ≤ - 1, f -1(x) es dado por:

    f -1(x) = - (3 / 2)(x - (-1)) + 2 = - (3 / 2)(x + 1) + 2

    For - 1 < x ≤ 3 , f -1(x) tiene una expresión lineal con pendiente a través de los puntos (- 1 , 2), (3 , 0) dados por

    m2 = (0 - 2) / (3 - (-1)) = - 1 / 2

    Por - 1 < x ≤ 3, f -1(x) es dado por:

    f -1(x) = - (1 / 2)(x - (-1)) + 2 = - (1 / 2)(x + 1) + 2

  5. La función de uno a uno $$f(x) = -\sqrt{\dfrac{2}{x}-1} $$ se representa gráficamente a continuación.

    gráfico de la función en la pregunta 5 .



    1) ¿Cuál es el dominio y rango de f?


    2) Dibuje el gráfico de f -1 .


    3) Encuentra f -1 (x) (incluye el dominio).

    Solución
    1) f(x) se define como un número real si el radicando 2/x - 1 es mayor o igual a 0. Por lo tanto, necesitamos resolver la desigualdad:

    2/x - 1 ≥ 0

    (2 - x)/x ≥ 0

    La expresión a la izquierda de la desigualdad cambia el signo en los ceros del numerador y el denominador, que son x = 2 e x = 0. Consulte la tabla a continuación.

    tabla de signos a la desigualdad en la pregunta 5.



    Dominio: (0, 2]


    Rango: (- ∞, 0]

    2) Puntos en el gráfico de f

    (2 , 0) , (1 , -1)

    Los puntos anteriores en el gráfico de la función inversa se invertirán en puntos con coordenadas (b, a) de la siguiente manera:

    (0 , 2) , (- 1 , 1)

    Trace los puntos anteriores y dibuje el gráfico de la inversa de f para que los dos gráficos se reflejen entre sí en la línea y = x como se muestra a continuación.

    gráfico de solución de inversa a la pregunta 5 .



    3) Escribe f (x) como una ecuación en y e x.

    \( y = -\sqrt{\dfrac{2}{x}-1} \)

    Resuelve la ecuación anterior para x. Cuadrar ambos lados de la ecuación anterior

    \( y^2 = \dfrac{2}{x}-1 \)

    \( \dfrac{2}{x} = y^2 + 1 \)

    \( x = \dfrac{2}{y^2 + 1} \)

    Intercambia xey y escribe la función inversa

    \( y = \dfrac{2}{x^2 + 1} \)

    \( f^{-1}(x) = \dfrac{2}{x^2 + 1} \)

    Dominio y rango de f -1 son el rango y el dominio de f. Por lo tanto,

    Dominio de f -1: (-∞ , 0]

    Rango de f -1: (0 , 2]

  6. A continuación se muestra el gráfico de 6 funciones. Dibuje el gráfico de la inversa de cada función.

    gráfico de la función en la pregunta 6 .



    Solución

    Para cada gráfico, seleccione puntos cuyas coordenadas sean fáciles de determinar. Utilice estos puntos y también el reflejo de la gráfica de la función fy su inversa en la línea y = x para esquematizar para dibujar las funciones inversas como se muestra a continuación

    gráfico de la función inversa en la pregunta 6 .


  7. Encuentre el inverso de f(x) = Log 4 (x + 2) - 5, su dominio y rango.

    Solución

    Escriba la función dada como una ecuación en x e y de la siguiente manera:

    y = Log4(x + 2) - 5

    Resuelve la ecuación anterior para x.

    Log4(x + 2) = y + 5

    x + 2 = 4 (y + 5)

    x = 4 (y + 5) - 2

    Intercambio x e y.

    y = 4 (x + 5) - 2

    Escribe la función inversa con su dominio y rango.

    f-1(x) = 4 (x + 5) - 2 , Domain: (-∞ , +∞) , Range: (-2 , +∞)

  8. Si f (x) = ln (x) + 4 x - 8, ¿cuál es el valor de f -1 (- 4)?

    Solución

    Deje a = f -1 (- 4). Entonces,

    f(a) = f(f -1(- 4)) = - 4 (Usando la propiedad f (f -1 (x)) = x de la función inversa).

    Ahora tenemos que encontrar a tal que f(a) = - 4 por lo tanto, la ecuación para resolver.

    ln(a) + 4a - 8 = - 4

    ln(a) = 4 - 4a

    La ecuación anterior no se puede resolver analíticamente, pero su solución se puede aproximar gráficamente como la coordenada x del punto de intersección de los gráficos de y = ln (x) e y = 4 - 4x como se muestra a continuación.

    gráfico de la ecuación pregunta 8.



    La intersección de los dos gráficos está cerca de x = 1, que se puede verificar fácilmente que es la solución exacta a la ecuación
    ln (x) = 4 - 4x. Por lo tanto


    f-1( - 4) = 1


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