Resuelva preguntas sobre funciones inversas
con soluciones y respuestas

Los métodos analíticos y gráficos se utilizan para resolver problemas matemáticos de grado 12 e preguntas sobre funciones inversas. También se presentan soluciones detalladas. Varias preguntas implican el uso de la propiedad de que los gráficos de una función y la gráfica de su inversa son reflejo uno del otro en la línea y = x.

1. A continuación se muestra la gráfica de f(x) = 2 x ³ - 1
   

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   1) Dibuje el gráfico de la inversa de f en el mismo sistema de ejes.
   2) Encuentra el inverso de y verifica tu respuesta usando algunos puntos.
   
   Solución
   1) Ubique algunos puntos en el gráfico de f. Aquí hay una lista de puntos cuyas coordenadas (a, b) se pueden determinar fácilmente a partir del gráfico:
   (1 , 1) , (0 , -1) , (-1 , -3)
   En el gráfico de la función inversa, los puntos anteriores se invertirán en puntos con coordenadas (b, a) de la siguiente manera:
   (1 , 1) , (-1 , 0) , (-3 , -1)
   Trace los puntos anteriores y dibuje el gráfico de la inversa de f para que los dos gráficos se reflejen entre sí en la línea y = x como se muestra a continuación.
   

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   2) Escriba la función dada f (x) = 2 x ³ - 1 como una ecuación en dos incógnitas.
   y = 2 x ³ - 1
   Resuelve lo de arriba para x.
   2 x ³ = y + 1
   x ³ = (y + 1) / 2
   $$x = \sqrt[3]{\dfrac{y + 1}{2}} $$
   Intercambia xey y escribe la ecuación de la función inversa f ^-1:
   \( y = \sqrt[3]{\dfrac{x + 1}{2}} \)
   \( f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\dfrac{x + 1}{2}} \)
   Ahora verificamos que los puntos (1, 1), (-1, 0) y (-3, -1) utilizados anteriormente para dibujar el gráfico de la función inversa están en el gráfico de f ^-1 .
   \( f^{-1}(1) = \sqrt[3]{\dfrac{1 + 1}{2}} = 1\)
   \( f^{-1}(-1) = \sqrt[3]{\dfrac{-1 + 1}{2}} = 0\)
   \( f^{-1}(-3) = \sqrt[3]{\dfrac{-3 + 1}{2}} = -1\)
   
2. Dejar f(x) = x ² - 4 x + 5, x ≤ 2.
   1) Encuentre la función inversa de f.
   2) Encuentra el dominio y el rango de f ^-1.
   Solución
   1) Nos da una función cuadrática con un dominio restringido. Primero escribimos la función dada en forma de vértice (se puede hacer completando el cuadrado):
   f(x) = x ² - 4 x + 5 = (x - 2) ² + 1 , x ≤ 2
   La gráfica de la función f es la de la mitad izquierda de una parábola con vértice en (2, 1) como se muestra a continuación.
   

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   Ahora escribimos la función dada como una ecuación.
   y =(x - 2) ² + 1
   Resuelve lo de arriba para x.
   y =(x - 2) ² + 1
   (x - 2) ² = y - 1
   Dos soluciones para x - 2:     x - 2 = +√(y - 1)     or     x - 2 = - √(y - 1)
   x = √(y - 1) + 2     or     x = - √(y - 1) + 2
   Desde x ≤2 (dominio de f), seleccionamos la solución
   x = - √(y - 1) + 2
   Intercambia xey para escribir el inverso de la función f de la siguiente manera.
   y = f ^-1(x) = - √(x - 1) + 2
   El dominio y el rango de f ^-1 son el rango y el dominio de f.
   Dominio de f ^-1 es el rango de f: [1 , +∞)     (del gráfico)
   El rango de f ^-1 es el dominio de f: (-∞ , 2]     (dado)
   

3. A continuación se muestra la gráfica de f(x) = √(2 x - 3).
   

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   1) Dibuje el inverso de f en el mismo gráfico.
   
   
   2) Encuentra el inverso de y verifica tu respuesta usando algunos puntos.
   
   Solución
   1) Ubique algunos puntos en el gráfico de f. Una posible lista de puntos cuyas coordenadas (a, b) es la siguiente:
   (1.5 , 0) , (2 , 1) , (6 , 3)
   En el gráfico de la función inversa, los puntos anteriores se invertirán en los puntos (b , a) de la siguiente manera:
   (0 , 1.5) , (1 , 2) , (3 , 6)
   Trace los puntos anteriores y dibuje el gráfico de la inversa de f para que los dos gráficos se reflejen entre sí en la línea y = x como se muestra a continuación.
   

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   2) Escribe la función dada f(x) = √(2 x - 3) como una ecuación en dos incógnitas.
   y = √(2 x - 3)
   Resuelve lo anterior para x. Primer cuadrado ambos lados
   2 x - 3 = y ²
   2 x = y ² + 3
   x = (y ² + 3) / 2
   Intercambia xey y escribe la ecuación de la función inversa f ^-1 ; y escribe el dominio de la inversa.
   y = (x ² + 3) / 2
   f ^-1 (x) = (x ² + 3) / 2 , x ≥ 0 (dominio que es el rango de f de su gráfico anterior)
   Ahora verificamos que los puntos (0 , 1.5) , (1 , 2) e (3 , 6) utilizado para dibujar el gráfico de la función inversa están en el gráfico de f ^-1 .
   f ^-1(0) = (0 ² + 3) / 2 = 1.5
   f ^-1(1) = (1 ² + 3) / 2 = 2
   f ^-1(3) = (3 ² + 3) / 2 = 6
   

4. Dibuje el gráfico de f ^-1 usando la gráfica de y = f(x) que se muestra a continuación y encuentre f ^-1 (x).
   

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   Solución
   1) Usa el gráfico para encontrar puntos en el gráfico de f. Una posible lista de puntos cuyas coordenadas (a , b) es la siguiente:
   (0 , 3) , (2 , -1) , (5 , - 3)
   En el gráfico de la función inversa, los puntos anteriores tendrán las coordenadas (b , a) de la siguiente manera:
   (3 , 0) , (- 1 , 2) , (- 3 , 5)
   Trace los puntos anteriores y dibuje el gráfico de la inversa de f para que los dos gráficos se reflejen entre sí en la línea y = x como se muestra a continuación.
   

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   2) Ahora determinamos f ^-1(x). por -3 ≤ x ≤ - 1 , f ^-1(x) tiene una expresión lineal con pendiente
   m ₁ a través de los puntos (- 1 , 2) , (- 3 , 5) dada por
   m₁ = (5 - 2) / (-3 - (-1)) = - 3 / 2
   Por -3 ≤ x ≤ - 1, f ^-1(x) es dado por:
   f ^-1(x) = - (3 / 2)(x - (-1)) + 2 = - (3 / 2)(x + 1) + 2
   For - 1 < x ≤ 3 , f ^-1(x) tiene una expresión lineal con pendiente a través de los puntos (- 1 , 2), (3 , 0) dados por
   m₂ = (0 - 2) / (3 - (-1)) = - 1 / 2
   Por - 1 < x ≤ 3, f ^-1(x) es dado por:
   f ^-1(x) = - (1 / 2)(x - (-1)) + 2 = - (1 / 2)(x + 1) + 2
   

5. La función de uno a uno $$f(x) = -\sqrt{\dfrac{2}{x}-1} $$ se representa gráficamente a continuación.
   

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   1) ¿Cuál es el dominio y rango de f?
   
   
   2) Dibuje el gráfico de f ^-1 .
   
   
   3) Encuentra f ^-1 (x) (incluye el dominio).
   Solución
   1) f(x) se define como un número real si el radicando 2/x - 1 es mayor o igual a 0. Por lo tanto, necesitamos resolver la desigualdad:
   2/x - 1 ≥ 0
   (2 - x)/x ≥ 0
   La expresión a la izquierda de la desigualdad cambia el signo en los ceros del numerador y el denominador, que son x = 2 e x = 0. Consulte la tabla a continuación.
   

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   Dominio: (0, 2]
   
   
   Rango: (- ∞, 0]
   2) Puntos en el gráfico de f
   (2 , 0) , (1 , -1)
   Los puntos anteriores en el gráfico de la función inversa se invertirán en puntos con coordenadas (b, a) de la siguiente manera:
   (0 , 2) , (- 1 , 1)
   Trace los puntos anteriores y dibuje el gráfico de la inversa de f para que los dos gráficos se reflejen entre sí en la línea y = x como se muestra a continuación.
   

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   3) Escribe f (x) como una ecuación en y e x.
   \( y = -\sqrt{\dfrac{2}{x}-1} \)
   Resuelve la ecuación anterior para x. Cuadrar ambos lados de la ecuación anterior
   \( y^2 = \dfrac{2}{x}-1 \)
   \( \dfrac{2}{x} = y^2 + 1 \)
   \( x = \dfrac{2}{y^2 + 1} \)
   Intercambia xey y escribe la función inversa
   \( y = \dfrac{2}{x^2 + 1} \)
   \( f^{-1}(x) = \dfrac{2}{x^2 + 1} \)
   Dominio y rango de f ^-1 son el rango y el dominio de f. Por lo tanto,
   Dominio de f ^-1: (-∞ , 0]
   Rango de f ^-1: (0 , 2]
   

6. A continuación se muestra el gráfico de 6 funciones. Dibuje el gráfico de la inversa de cada función.
   

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   Solución
   Para cada gráfico, seleccione puntos cuyas coordenadas sean fáciles de determinar. Utilice estos puntos y también el reflejo de la gráfica de la función fy su inversa en la línea y = x para esquematizar para dibujar las funciones inversas como se muestra a continuación
   

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7. Encuentre el inverso de f(x) = Log ₄ (x + 2) - 5, su dominio y rango.
   Solución
   Escriba la función dada como una ecuación en x e y de la siguiente manera:
   y = Log₄(x + 2) - 5
   Resuelve la ecuación anterior para x.
   Log₄(x + 2) = y + 5
   x + 2 = 4 ^{(y + 5)}
   x = 4 ^{(y + 5)} - 2
   Intercambio x e y.
   y = 4 ^{(x + 5)} - 2
   Escribe la función inversa con su dominio y rango.
   f^-1(x) = 4 ^{(x + 5)} - 2 , Domain: (-∞ , +∞) , Range: (-2 , +∞)
   

8. Si f (x) = ln (x) + 4 x - 8, ¿cuál es el valor de f ^-1 (- 4)?
   Solución
   Deje a = f ^-1 (- 4). Entonces,
   f(a) = f(f ^-1(- 4)) = - 4 (Usando la propiedad f (f ^-1 (x)) = x de la función inversa).
   Ahora tenemos que encontrar a tal que f(a) = - 4 por lo tanto, la ecuación para resolver.
   ln(a) + 4a - 8 = - 4
   ln(a) = 4 - 4a
   La ecuación anterior no se puede resolver analíticamente, pero su solución se puede aproximar gráficamente como la coordenada x del punto de intersección de los gráficos de y = ln (x) e y = 4 - 4x como se muestra a continuación.
   

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   La intersección de los dos gráficos está cerca de x = 1, que se puede verificar fácilmente que es la solución exacta a la ecuación
   ln (x) = 4 - 4x. Por lo tanto
   f^-1( - 4) = 1
   

References