Cómo resolver ecuaciones logarítmicas
con soluciones detalladas para el grado 12

¿Cómo resolver ecuaciones logarítmicas? Preguntas con soluciones detalladas. Las siguientes reglas y propiedades de los logaritmos se utilizan para resolver estas ecuaciones.

LogbA + LogbB = Logb(A B)

LogbA - LogbB = Logb(A / B)

n LogbA = LogbAn

Si LogbA = LogbB, entonces A = B

También la aproximación gráfica a las soluciones de cada ecuación de la forma f(x) = g(x) se muestran como las coordenadas x de las x interceptaciones de la gráfica de la función h(x) = f(x) - g( X). Esto se hace escribiendo primero la ecuación para resolver con su lado derecho igual a cero y luego graficando el lado izquierdo y ubicando las intersecciones x.


  1. Resuelve la ecuación: log(2x - 3) = log(3 - x) - 2.

    Solución
    Reescribe la ecuación con los términos de registro en un lado.

    log(2x - 3) - log(3 - x) = - 2

    Reescribe la ecuación sustituyendo - 2 por log 10 -2

    log(2x - 3) - log(3 - x) = log 10-2

    Usa la regla de registro log A - Log B = log (A/B) para reescribir la ecuación como

    log ((2x - 3)/(3 - x)) = log 10-2

    Función Log(x) siendo una función uno a uno, podemos escribir

    (2x - 3)/(3 - x) = 10-2

    Resuelve la ecuación anterior

    2x - 3 = (3 - x) / 100

    200x - 300 = 3 - x

    201x = 303

    x = 303 / 201 = 101 / 67 ≈ 1.51

    Compruebe la solución encontrada.

    lado izquierdo: log(2(101/67) - 3) = log(1/67) = - log(67)

    lado derecho: log(3 - 101 / 67) - 2 = log(100/67) - 2 = log(100) - log(67) - 2 = 2 - log(67) - 2 = - log(67)

    La ecuación dada tiene una solución.

    x = 101 / 67 ≈ 1.51

    La intersección x de la gráfica de la función q(x) = log(2x - 3) - log(3 - x) + 2 (el lado izquierdo de la ecuación dada escrita con su lado derecho igual a cero) se muestra a continuación. Tenga en cuenta que la coordenada x de la intersección x está cerca de la solución obtenida analíticamente arriba.

    solución gráfica de la ecuación logarítmica en la pregunta 1 .


  2. Resuelve la ecuación: log x - log(x2 - 1) = - 2 log(x - 1).

    Solución
    Utilice el registro de reglas de logaritmo Log A - Log B = log (A/B) e n log(x) = log(x n ) para reescribir la ecuación como.

    log (x/(x2 - 1)) = log (x - 1)-2

    Function log(x) being a one to one function, we can write

    x / (x2 - 1) = (x - 1)-2

    Multiplica todos los términos de la ecuación anterior por (x - 1) 2 y simplifica

    (x - 1)2 (x /(x2 - 1)) = (x - 1)2 (x - 1)-2

    (x - 1)2 (x /(x2 - 1)) = 1

    Expandir (x - 1)2 and (x2 - 1)) y simplificar

    x(x - 1)(x - 1) / ((x + 1)(x - 1)) = 1

    x(x - 1) / (x + 1) = 1

    Multiplica ambos lados de la ecuación por x + 1 e simplifica.

    x(x - 1) = x + 1

    x2 - 2 x - 1 = 0

    Dos soluciones: x1 = 1 + √ 2 ≈ 2.41 e x2 = 1 - √ 2 ≈ - 0.41

    Verifique las soluciones encontradas.

    x1 = 1 + √ 2

    lado izquierdo: log (1 + √ 2) - log((1 + √ 2)2 - 1) = log (1 + √ 2) - log( 2 + 2 √ 2) = - log(2)

    Lado derecho: - 2 log(1 + √ 2 - 1) = -2 log(√ 2) = - log (2)

    x2 = 1 - √ 2

    Lado izquierdo: log (1 - √ 2) - log((1 - √ 2)2 - 1) no está definido porque 1 - √ 2 es negativo y el término log (1 - √ 2) is undefined.

    La ecuación dada tiene una solución.

    x = 1 + √ 2 ≈ 2.41

    La intersección x de la función r(x) = log x - log(x2 - 1) + 2 log(x - 1) se muestra a continuación y su coordenada x está cerca de la solución de la ecuación.

    solución gráfica de la ecuación logarítmica en cuestión 2 .


  3. Resuelve la ecuación: log2(2x - 9) = 2 - log2(x - 1).

    Solución
    Vuelva a escribir la ecuación con términos con log en el mismo lado y sustituya 2 by log24

    log2(2x - 9) + log2(x - 1) = log24

    Usa la regla log2A + log2B = log2 (A B) para reescribir la ecuación de la siguiente manera

    log2( (2x - 9)(x - 1) ) = log24

    Lo que da

    (2x - 9)(x - 1) = 4

    Expand and write in standard form.

    2 x2 - 11 x + 5 = 0

    Resuelve la ecuación cuadrática anterior para obtener

    Dos soluciones: x1 = 1 / 2 and x2 = 5

    Verifique las soluciones encontradas.

    x1 = 1 / 2

    lado izquierdo: log2(2(1/2) - 9) indefinido ya que el argumento del registro es negativo.

    x2 = 5

    Lado izquierdo: log2(2(5) - 9) = 0

    Lado izquierdo: 2 - log2(5 - 1) = 2 - log2 4 = 0

    La ecuación dada tiene una solución.

    x = 5

    La solución gráfica se muestra a continuación como la intersección x de la función s(x) = log2(2x - 9) - 2 + log2(x - 1).

    solución gráfica de la ecuación logarítmica en cuestión 3 .


  4. Resuelve la ecuación: $$ log_{x^2}(\dfrac{16}{25}) = - 1 / 2.$$

    Solución
    Usa la relación inversa entre lo exponencial y logarítmico en la misma base para volver a escribir la ecuación:

    (x2)-1/2 = 16 / 25

    Tenga en cuenta que (x2)-1/2 = 1 / (x2)1/2 = 1 / | x | y reescribe la ecuación como:

    1 / | x | = 16 / 25 or | x | = 25 / 16

    Que da las soluciones

    Dos soluciones: x1 = 25/16 and x2 = -25/16

    Verifique las soluciones encontradas.

    x1 = 25/16

    lado izquierdo: log(25/16)2(16/25) = log(25/16)2(25/16)-1 = log(25/16)2((25/16)-2)1/2 = log(25/16)2((25/16) 2)-1/2 = - 1 / 2

    x2 = - 25/16


    lado izquierdo: log( - 25/16)2(16/25) = log(25/16)2(16/25) = - 1 / 2

    La ecuación dada tiene dos soluciones.

    x = 25 / 16 e x = - 25 / 16

    La solución gráfica se muestra a continuación como las intersecciones x de \( f_1(x) = log_{x^2}(\dfrac{16}{25}) + 1 / 2 \).

    solución gráfica de la ecuación logarítmica en cuestión 4 .


  5. Resuelve la ecuación: 2 ln(x + 3) - ln(x + 1) = 3 ln 2

    Solución
    Usa las reglas n ln x = ln xn and ln (A/B) = ln A - ln B para reescribir la ecuación de la siguiente manera:

    ln(x + 3)2 - ln(x + 1) = ln 23

    ln ((x + 3)2 / (x + 1)) = ln 8

    ln x es una función uno a uno, de ahí

    (x + 3)2 (x + 1) = 8 or (x + 3)2 = 8(x + 1)

    es una función uno a uno, de ahí.

    x2 - 2 x + 1 = 0

    Lo que da una solución

    Una solución: x = 1

    Verifique las soluciones encontradas.

    lado izquierdo: 2 ln(1 + 3) - ln(1 + 1) = 2 ln 4 - ln 2 = 4 ln 2 - ln 2 = 3 ln 2

    La solución gráfica se muestra a continuación como la intersección x de h1(x) = 2 ln(x + 3) - ln(x + 1) - 3 ln 2.

    solución gráfica de la ecuación logarítmica en cuestión 5 .


  6. Resuelve la ecuación: (log2(x))2 - Log2(x2) = 8.

    Solución

    Usa las reglas n Log2 x = Log2 xn para reescribir la ecuación de la siguiente manera:

    (log2(x))2 - 2 Log2 (x) = 8

    Dejar u = log2(x) y escribe la ecuación en forma estándar y en términos de u.

    u2 - 2 u - 8 = 0

    Lo cual da dos soluciones

    Una solución: u = -2 and u = 4

    Ahora resolvemos por x.

    u = = - 2 = log2(x) da x = 2-2 = 1/4

    u = = 4 = log2(x) da x = 24 = 16

    Las soluciones gráficas se muestran a continuación como las intersecciones x de p1(x) = (log2(x))2 - Log2(x2) = 8.

    solución gráfica de la ecuación logarítmica en cuestión 6 .


  7. Resuelve la ecuación: 10 log(log(x)) = 1.

    Solución

    Divida ambos lados por 10

    log(log(x)) = 0.1

    Lo que da

    log(x) = 100.1

    Lo que da x como

    x = 10(100.1) ≈ 18.15

    Ahora resolvemos por x.

    La solución gráfica se muestra debajo de las x intersecciones de f(x) = 10 log(log(x)) - 1.

    solución gráfica de la ecuación logarítmica en cuestión 7.



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