Cómo resolver ecuaciones logarítmicas
con soluciones detalladas para el grado 12

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¿Cómo resolver ecuaciones logarítmicas? Preguntas con soluciones detalladas. Las siguientes reglas y propiedades de los logaritmos se utilizan para resolver estas ecuaciones.
Log_bA + Log_bB = Log_b(A B)
Log_bA - Log_bB = Log_b(A / B)
n Log_bA = Log_bAⁿ
Si Log_bA = Log_bB, entonces A = B
También la aproximación gráfica a las soluciones de cada ecuación de la forma f(x) = g(x) se muestran como las coordenadas x de las x interceptaciones de la gráfica de la función h(x) = f(x) - g( X). Esto se hace escribiendo primero la ecuación para resolver con su lado derecho igual a cero y luego graficando el lado izquierdo y ubicando las intersecciones x.

1. Resuelve la ecuación: log(2x - 3) = log(3 - x) - 2.
   Solución
   Reescribe la ecuación con los términos de registro en un lado.
   log(2x - 3) - log(3 - x) = - 2
   Reescribe la ecuación sustituyendo - 2 por log 10 ^-2
   log(2x - 3) - log(3 - x) = log 10^-2
   Usa la regla de registro log A - Log B = log (A/B) para reescribir la ecuación como
   log ((2x - 3)/(3 - x)) = log 10^-2
   Función Log(x) siendo una función uno a uno, podemos escribir
   (2x - 3)/(3 - x) = 10^-2
   Resuelve la ecuación anterior
   2x - 3 = (3 - x) / 100
   
   200x - 300 = 3 - x
   
   201x = 303
   
   x = 303 / 201 = 101 / 67 ≈ 1.51
   
   Compruebe la solución encontrada.
   
   lado izquierdo: log(2(101/67) - 3) = log(1/67) = - log(67)
   
   lado derecho: log(3 - 101 / 67) - 2 = log(100/67) - 2 = log(100) - log(67) - 2 = 2 - log(67) - 2 = - log(67)
   
   La ecuación dada tiene una solución.
   x = 101 / 67 ≈ 1.51
   La intersección x de la gráfica de la función q(x) = log(2x - 3) - log(3 - x) + 2 (el lado izquierdo de la ecuación dada escrita con su lado derecho igual a cero) se muestra a continuación. Tenga en cuenta que la coordenada x de la intersección x está cerca de la solución obtenida analíticamente arriba.
   

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2. Resuelve la ecuación: log x - log(x² - 1) = - 2 log(x - 1).
   
   Solución
   Utilice el registro de reglas de logaritmo Log A - Log B = log (A/B) e n log(x) = log(x ⁿ ) para reescribir la ecuación como.
   log (x/(x² - 1)) = log (x - 1)^-2
   Function log(x) being a one to one function, we can write
   x / (x² - 1) = (x - 1)^-2
   Multiplica todos los términos de la ecuación anterior por (x - 1) ² y simplifica
   (x - 1)² (x /(x² - 1)) = (x - 1)² (x - 1)^-2
   (x - 1)² (x /(x² - 1)) = 1
   Expandir (x - 1)² and (x² - 1)) y simplificar
   x(x - 1)(x - 1) / ((x + 1)(x - 1)) = 1
   x(x - 1) / (x + 1) = 1
   Multiplica ambos lados de la ecuación por x + 1 e simplifica.
   x(x - 1) = x + 1
   x² - 2 x - 1 = 0
   Dos soluciones: x₁ = 1 + √ 2 ≈ 2.41 e x₂ = 1 - √ 2 ≈ - 0.41
   Verifique las soluciones encontradas.
   x₁ = 1 + √ 2
   lado izquierdo: log (1 + √ 2) - log((1 + √ 2)² - 1) = log (1 + √ 2) - log( 2 + 2 √ 2) = - log(2)
   Lado derecho: - 2 log(1 + √ 2 - 1) = -2 log(√ 2) = - log (2)
   x₂ = 1 - √ 2
   Lado izquierdo: log (1 - √ 2) - log((1 - √ 2)² - 1) no está definido porque 1 - √ 2 es negativo y el término log (1 - √ 2) is undefined.
   La ecuación dada tiene una solución.
   x = 1 + √ 2 ≈ 2.41
   La intersección x de la función r(x) = log x - log(x² - 1) + 2 log(x - 1) se muestra a continuación y su coordenada x está cerca de la solución de la ecuación.
   

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3. Resuelve la ecuación: log₂(2x - 9) = 2 - log₂(x - 1).
   Solución
   Vuelva a escribir la ecuación con términos con log en el mismo lado y sustituya 2 by log₂4
   
   log₂(2x - 9) + log₂(x - 1) = log₂4
   Usa la regla log₂A + log₂B = log₂ (A B) para reescribir la ecuación de la siguiente manera
   log₂( (2x - 9)(x - 1) ) = log₂4
   Lo que da
   (2x - 9)(x - 1) = 4
   Expand and write in standard form.
   2 x² - 11 x + 5 = 0
   Resuelve la ecuación cuadrática anterior para obtener
   Dos soluciones: x₁ = 1 / 2 and x₂ = 5
   Verifique las soluciones encontradas.
   x₁ = 1 / 2
   lado izquierdo: log₂(2(1/2) - 9) indefinido ya que el argumento del registro es negativo.
   x₂ = 5
   Lado izquierdo: log₂(2(5) - 9) = 0
   Lado izquierdo: 2 - log₂(5 - 1) = 2 - log₂ 4 = 0
   La ecuación dada tiene una solución.
   x = 5
   La solución gráfica se muestra a continuación como la intersección x de la función s(x) = log₂(2x - 9) - 2 + log₂(x - 1).
   

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4. Resuelve la ecuación: $$ log_{x^2}(\dfrac{16}{25}) = - 1 / 2.$$
   Solución
   Usa la relación inversa entre lo exponencial y logarítmico en la misma base para volver a escribir la ecuación:
   (x²)^-1/2 = 16 / 25
   Tenga en cuenta que (x²)^-1/2 = 1 / (x²)^1/2 = 1 / | x | y reescribe la ecuación como:
   1 / | x | = 16 / 25 or | x | = 25 / 16
   Que da las soluciones
   Dos soluciones: x₁ = 25/16 and x₂ = -25/16
   Verifique las soluciones encontradas.
   x₁ = 25/16
   lado izquierdo: log_(25/16)²(16/25) = log_(25/16)²(25/16)^-1 = log_(25/16)²((25/16)^-2)^1/2 = log_(25/16)²((25/16) ²)^-1/2 = - 1 / 2
   x₂ = - 25/16
   
   lado izquierdo: log_{( - 25/16)²}(16/25) = log_(25/16)²(16/25) = - 1 / 2
   La ecuación dada tiene dos soluciones.
   x = 25 / 16 e x = - 25 / 16
   La solución gráfica se muestra a continuación como las intersecciones x de \( f_1(x) = log_{x^2}(\dfrac{16}{25}) + 1 / 2 \).
   

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5. Resuelve la ecuación: 2 ln(x + 3) - ln(x + 1) = 3 ln 2
   Solución
   Usa las reglas n ln x = ln xⁿ and ln (A/B) = ln A - ln B para reescribir la ecuación de la siguiente manera:
   
   ln(x + 3)² - ln(x + 1) = ln 2³
   
   ln ((x + 3)² / (x + 1)) = ln 8
   ln x es una función uno a uno, de ahí
   (x + 3)² (x + 1) = 8 or (x + 3)² = 8(x + 1)
   es una función uno a uno, de ahí.
   x² - 2 x + 1 = 0
   Lo que da una solución
   Una solución: x = 1
   Verifique las soluciones encontradas.
   lado izquierdo: 2 ln(1 + 3) - ln(1 + 1) = 2 ln 4 - ln 2 = 4 ln 2 - ln 2 = 3 ln 2
   La solución gráfica se muestra a continuación como la intersección x de h₁(x) = 2 ln(x + 3) - ln(x + 1) - 3 ln 2.
   

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6. Resuelve la ecuación: (log₂(x))² - Log₂(x²) = 8.
   Solución
   Usa las reglas n Log₂ x = Log₂ xⁿ para reescribir la ecuación de la siguiente manera:
   (log₂(x))² - 2 Log₂ (x) = 8
   Dejar u = log₂(x) y escribe la ecuación en forma estándar y en términos de u.
   u² - 2 u - 8 = 0
   Lo cual da dos soluciones
   Una solución: u = -2 and u = 4
   Ahora resolvemos por x.
   u = = - 2 = log₂(x) da x = 2^-2 = 1/4
   u = = 4 = log₂(x) da x = 2⁴ = 16
   Las soluciones gráficas se muestran a continuación como las intersecciones x de p₁(x) = (log₂(x))² - Log₂(x²) = 8.
   

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7. Resuelve la ecuación: 10 log(log(x)) = 1.
   Solución
   Divida ambos lados por 10
   log(log(x)) = 0.1
   Lo que da
   log(x) = 10^0.1
   Lo que da x como
   x = 10(^100.1) ≈ 18.15
   Ahora resolvemos por x.
   La solución gráfica se muestra debajo de las x intersecciones de f(x) = 10 log(log(x)) - 1.
   

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Enlaces y referencias