Encuentra el período de la función trigonométrica dados sus gráficos

Grado 12 problemas de trigonometría y preguntas sobre cómo encontrar el período de una función trigonométrica dada su gráfica o una fórmula, se presentan junto con soluciones detalladas.

En los problemas a continuación, usaremos la fórmula para el período P de funciones trigonométricas de la forma y = a sin(bx + c) + d o y = a cos(bx + c) + d e que está dada por

P = 2π / | b |
y se convierte en
P = 2π / b
para b> 0.

Los tutoriales interactivos sobre Período de funciones trigonométricas se pueden usar primero para comprender este concepto.

  1. El siguiente gráfico es el de una función trigonométrica de la forma y = a sin(bx), con b> 0. Halla su período y el parámetro b.



    Solución

    Ubique dos ceros que delimitan un ciclo completo o un número entero de ciclos. En este ejemplo, podemos ver que desde el cero en x = 0 hasta el cero en x = 1, hay dos ciclos. Por lo tanto, el período P es igual a:

    P = (1 - 0) / 2 = 1 / 2

    Ahora calculamos b igualando el valor del período encontrado usando el gráfico a la fórmula anterior y resolvemos b.

    2π / b = 1 / 2

    b = 4 π

  2. La gráfica de una función trigonométrica de la forma y = a sin(b x), con b> 0, se muestra a continuación. Encuentra su período y el parámetro b.

    gráfico de la función en la pregunta 2



    Solución

    Hay un ciclo desde el cero en x = - π/4 hasta el cero en x = π/4. Por lo tanto, el período P es igual a:

    P = π/4 - (- π/4) = π/2


    Ahora equiparamos el valor del período encontrado usando el gráfico con la fórmula anterior y resolvemos para b.

    π/2 = 2 π/b


    b = 4

  3. El siguiente gráfico es el de una función trigonométrica de la forma y = a cos(b x + c) con b > 0. Halla el período de esta función y el valor de b.

    gráfico de la función en cuestión 3



    Solución

    Hay dos ceros que delimitan medio ciclo. Primero encontramos estos ceros.

    Cero a la izquierda: (-π / 4 - π / 8 ) / 2 = - 3π / 16 (asumiendo que está en el medio de x = -π / 4 e -π / 8)

    Cero a la derecha: (0 + π / 8 ) / 2 = π / 16 (asumiendo que está en el medio de x = 0 eπ / 8)

    Por lo tanto, medio período es igual a:

    (π / 16 - (- 3π / 16)) = π / 4

    y un período P es igual a:

    P = 2 × π / 4 = π / 2

    Ahora equiparamos el valor del período encontrado usando el gráfico con la fórmula anterior y resolvemos para b.

    π/2 = 2π / b

    b = 4

  4. El siguiente gráfico es el de una función trigonométrica de la forma y = a sin(b x + c) + d e los puntos A y B son puntos máximo y mínimo, respectivamente. Encuentre el período de esta función y el valor de b, suponiendo que b> 0.

    gráfico de la función en la pregunta 4



    Solución

    La distancia a lo largo del eje x entre los puntos A y B es igual a la mitad de un período y está dada por

    7π / 6 - 3π / 6 = 2 π / 3

    El período P de la función viene dado por

    P = 2× 2 π / 3 = 4 π / 3

    b se encuentra resolviendo

    2 π / b = 4 π / 3

    b = 3 / 2

  5. La gráfica de una función trigonométrica de la forma y = a cos(b x + c) + d se muestra debajo, donde los puntos A y B son puntos mínimos con coordenadas x
    - 0.3 y 0.1 respectivamente. Encuentra el valor de b.

    gráfico de la función en la pregunta 5



    Solución

    El es un ciclo completo entre los puntos A y B. Por lo tanto, el período P está dado por

    P = 0.1 - (-0.3) = 0.4

    b se encuentra resolviendo

    2 π / b = 0.4

    b = 5π

  6. Encuentra el período de cada una de las siguientes funciones

    1) y = sin(x)cos(x) - 3

    2) y = 2 + 5 cos2(x)

    3) y = cos(x) + sin(x)

    Solución

    1) Use la identidad sin(2x) = 2 sin(x)cos(x) para reescribir la función dada de la siguiente manera:

    y = (1/2) sin(2x) - 3

    Usa la fórmula P = 2π / b para encontrar el período como

    P = 2π / 2 = π

    2) Usa la identidad cos2(x) = (1 / 2)(cos(2x) + 1) para reescribir la función dada de la siguiente manera:

    y = 2 + 5 cos2(x) = 2 + 5((1 / 2)(cos(2x) + 1)) = (5 / 2) cos(2 x) + 9 / 2

    Use la fórmula P = 2π/b para encontrar el período como

    P = 2π / 2 = π

    3) Reescribe la función dada de la siguiente manera:

    y = cos(x) + sin(x) = (2 / √2)(√2 / 2 cos(x) + √2 / 2 sin(x))

    Usa la identidad:

    sin(π / 4 + x) = sin(π / 4) cos(x) + cos(π / 4) sin(x) = √2 / 2 cos(x) + √2 / 2 sin(x)

    para reescribir la función dada como:

    y = cos(x) + sin(x) = (2 / √2) sin(x + π / 4)

    Use la fórmula P = 2π/b para encontrar el período como

    P = 2π / 1 = 2 π


  7. Supongamos que f (x) es una función periódica con un período p. ¿Cuál es el período de la función h(x) = f (k x), donde k es una constante positiva?

    Solución

    Si p es el período de la función f, entonces

    f(x + p) = f(x) para todo x en el dominio de f.

    Let x = k X , donde k es una constante.

    f(k X + p) = f(k X)

    Reescribe lo anterior como

    f(k(X + p / k)) = f (k X)

    Let h(x) = f(k x). Lo anterior se puede escribir como

    h(X + p / k) = h(X)

    Lo que indica que h(x) = f (k x) es periódica y tiene un período igual a p / k.


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