Encuentra el período de la función trigonométrica dados sus gráficos

Grado 12 problemas de trigonometría y preguntas sobre cómo encontrar el período de una función trigonométrica dada su gráfica o una fórmula, se presentan junto con soluciones detalladas.

En los problemas a continuación, usaremos la fórmula para el período P de funciones trigonométricas de la forma y = a sin(bx + c) + d o y = a cos(bx + c) + d e que está dada por

Los tutoriales interactivos sobre Período de funciones trigonométricas se pueden usar primero para comprender este concepto.

1. El siguiente gráfico es el de una función trigonométrica de la forma y = a sin(bx), con b> 0. Halla su período y el parámetro b.
   

   

   
   Solución
   Ubique dos ceros que delimitan un ciclo completo o un número entero de ciclos. En este ejemplo, podemos ver que desde el cero en x = 0 hasta el cero en x = 1, hay dos ciclos. Por lo tanto, el período P es igual a:
   P = (1 - 0) / 2 = 1 / 2
   Ahora calculamos b igualando el valor del período encontrado usando el gráfico a la fórmula anterior y resolvemos b.
   2π / b = 1 / 2
   b = 4 π

2. La gráfica de una función trigonométrica de la forma y = a sin(b x), con b> 0, se muestra a continuación. Encuentra su período y el parámetro b.
   

   

   
   Solución
   Hay un ciclo desde el cero en x = - π/4 hasta el cero en x = π/4. Por lo tanto, el período P es igual a:
   P = π/4 - (- π/4) = π/2
   Ahora equiparamos el valor del período encontrado usando el gráfico con la fórmula anterior y resolvemos para b.
   π/2 = 2 π/b
   b = 4

3. El siguiente gráfico es el de una función trigonométrica de la forma y = a cos(b x + c) con b > 0. Halla el período de esta función y el valor de b.
   

   

   
   Solución
   Hay dos ceros que delimitan medio ciclo. Primero encontramos estos ceros.
   Cero a la izquierda: (-π / 4 - π / 8 ) / 2 = - 3π / 16 (asumiendo que está en el medio de x = -π / 4 e -π / 8)
   Cero a la derecha: (0 + π / 8 ) / 2 = π / 16 (asumiendo que está en el medio de x = 0 eπ / 8)
   Por lo tanto, medio período es igual a:
   (π / 16 - (- 3π / 16)) = π / 4
   y un período P es igual a:
   P = 2 × π / 4 = π / 2
   Ahora equiparamos el valor del período encontrado usando el gráfico con la fórmula anterior y resolvemos para b.
   π/2 = 2π / b
   b = 4

4. El siguiente gráfico es el de una función trigonométrica de la forma y = a sin(b x + c) + d e los puntos A y B son puntos máximo y mínimo, respectivamente. Encuentre el período de esta función y el valor de b, suponiendo que b> 0.
   

   

   
   Solución
   La distancia a lo largo del eje x entre los puntos A y B es igual a la mitad de un período y está dada por
   7π / 6 - 3π / 6 = 2 π / 3
   El período P de la función viene dado por
   P = 2× 2 π / 3 = 4 π / 3
   b se encuentra resolviendo
   2 π / b = 4 π / 3
   b = 3 / 2

5. La gráfica de una función trigonométrica de la forma y = a cos(b x + c) + d se muestra debajo, donde los puntos A y B son puntos mínimos con coordenadas x
   - 0.3 y 0.1 respectivamente. Encuentra el valor de b.
   

   

   
   Solución
   El es un ciclo completo entre los puntos A y B. Por lo tanto, el período P está dado por
   P = 0.1 - (-0.3) = 0.4
   b se encuentra resolviendo
   2 π / b = 0.4
   b = 5π

6. Encuentra el período de cada una de las siguientes funciones
   1) y = sin(x)cos(x) - 3
   2) y = 2 + 5 cos²(x)
   3) y = cos(x) + sin(x)
   Solución
   1) Use la identidad sin(2x) = 2 sin(x)cos(x) para reescribir la función dada de la siguiente manera:
   y = (1/2) sin(2x) - 3
   Usa la fórmula P = 2π / b para encontrar el período como
   P = 2π / 2 = π
   2) Usa la identidad cos²(x) = (1 / 2)(cos(2x) + 1) para reescribir la función dada de la siguiente manera:
   y = 2 + 5 cos²(x) = 2 + 5((1 / 2)(cos(2x) + 1)) = (5 / 2) cos(2 x) + 9 / 2
   Use la fórmula P = 2π/b para encontrar el período como
   P = 2π / 2 = π
   3) Reescribe la función dada de la siguiente manera:
   y = cos(x) + sin(x) = (2 / √2)(√2 / 2 cos(x) + √2 / 2 sin(x))
   Usa la identidad:
   sin(π / 4 + x) = sin(π / 4) cos(x) + cos(π / 4) sin(x) = √2 / 2 cos(x) + √2 / 2 sin(x)
   para reescribir la función dada como:
   y = cos(x) + sin(x) = (2 / √2) sin(x + π / 4)
   Use la fórmula P = 2π/b para encontrar el período como
   P = 2π / 1 = 2 π
   

7. Supongamos que f (x) es una función periódica con un período p. ¿Cuál es el período de la función h(x) = f (k x), donde k es una constante positiva?
   Solución
   Si p es el período de la función f, entonces
   f(x + p) = f(x) para todo x en el dominio de f.
   Let x = k X , donde k es una constante.
   f(k X + p) = f(k X)
   Reescribe lo anterior como
   f(k(X + p / k)) = f (k X)
   Let h(x) = f(k x). Lo anterior se puede escribir como
   
   h(X + p / k) = h(X)
   Lo que indica que h(x) = f (k x) es periódica y tiene un período igual a p / k.

Enlaces y referencias