Encuentre un polinomio dado su gráfico
Preguntas con soluciones detalladas

¿Cómo encontrar un polinomio dado su gráfico? Grado 12 preguntas de matemáticas se presentan junto con sus soluciones detalladas.

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1. Find the equation of the cubic polynomial function g shown below.
   

   .

   
   Solución
   La gráfica de la función tiene un cero de multiplicidad 1 en x = -1 que corresponde al factor x + 1 y un cero de multiplicidad 2 en x = 3 (el gráfico toca pero no corta el eje x) que corresponde al factor (x - 3) ² , por lo tanto la función g tiene la ecuación:
   g(x) = k (x + 1)(x - 3)² , donde k es una constante.
   La constante k se puede encontrar usando el punto con las coordenadas (1, 3) que se muestran en el gráfico.
   g(1) = k (1 + 1)(1 - 3)² = 3
   Simplifica y resuelve para k.
   k = 3 / 8
   g(x) es dado por.
   g(x) = (3 / 8)(x + 1)(x - 3)²

2. Encuentre la función polinomial de cuarto grado f cuyo gráfico se muestra en la figura a continuación.
   

   .

   
   Solución
   La gráfica del polinomio tiene un cero de multiplicidad 1 en x = 2 que corresponde al factor (x - 2), otro cero de multiplicidad 1 en x = -2 que corresponde al factor (x + 2) y un cero de multiplicidad 2 en x = -1 (el gráfico toca pero no corta el eje x) que corresponde al factor (x + 1) ² , de ahí que el polinomio f tenga la ecuación:
   f(x) = k (x - 2)(x + 2)(x + 1)² , donde k es una constante.
   La constante k se puede encontrar usando la intersección y f(0) = - 1 que se muestra en el gráfico .
   f(0) = k(0 - 2)(0 + 2)(0 + 1)² = -1
   Simplifica y resuelve para k.
   k = 1 / 4
   f(x) es dado por.
   f(x) = (1/4)(x - 2)(x + 2)(x + 1)²

3. Encuentre la ecuación del grado 4 del polinomio f graficado a continuación.
   

   .

   
   
   Solución
   El gráfico tiene x intercepta en x = 0 e x = 5/2. Estas x interceptaciones son los ceros del polinomio f(x). Debido a que el gráfico cruza el eje x en x = 0 e x = 5/2, ambos cero tienen una multiplicidad impar. El gráfico en x = 0 tiene una forma 'cúbica' y por lo tanto el cero en x = 0 tiene multiplicidad de 3. La forma del gráfico en x = 1/2 está cerca de lineal, por lo tanto, el cero en x = 5/2 tiene multiplicidad igual a 1. Usando los ceros en x = 0 y x = 5/2,
   f(x) se puede escribir como
   f(x) = k (x - 0)³ (x - 5/2) , donde k es una constante.
   Ahora usamos el punto (2, - 4) para buscar k.
   - 4 = k(2)³ (2 - 5 / 2) , Resolver k: k = 1
   La ecuación de polinomio f(x) está dada por.
   f(x) = x³ (x - 5/2)

4. El gráfico de un polinomio cúbico $$ y = a x^3 + b x^2 +c x + d $$ se muestra a continuación. Encuentra los coeficientes a, b, c e d.
   

   .

   
   
   Solución
   El polinomio tiene grado 3. El gráfico del polinomio tiene un cero de multiplicidad 1 en x = -2 que corresponde al factor x + 2 y un cero de multiplicidad 2 en x = 1 que corresponde al factor (x - 1) ² . Por lo tanto, el polinomio puede escribirse como
   y = k(x + 2)(x - 1)²
   Ahora necesitamos encontrar k usando el intercepto y (0 , 1) que se muestra en el gráfico.
   1 = k(0 + 2)(0 - 1)² = 2 k
   Resolver para k.
   
   k = 1 / 2
   Ahora expandimos el polinomio, lo escribimos en forma estándar e identificamos el coeficiente a, b, c e d.
   y = (1 / 2)(x + 2)(x - 1)² = 0.5 x³ - 1.5 x + 1
   Ahora comparamos la expresión del polinomio encontrado anteriormente con
   y = a x³ + b x² + c x + d
   y obtener los valores de los coeficientes
   a = 0.5 , b = 0 , c = -1.5 y d = 1

5. La gráfica del polinomio $$y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$ se muestra a continuación. Encuentra los coeficientes b, d y e.
   

   .

   
   Solución
   
   La gráfica del polinomio es simétrica con respecto al eje y, y por lo tanto, la función polinómica dada anteriormente debe ser una función par. Los términos   b x ³   y   d x   incluidos en la expresión dada del polinomio anterior no son pares y, por lo tanto, sus coeficientes son iguales a 0. Por lo tanto
   b = 0 , d = 0
   y por lo tanto, el polinomio y está dado por
   y = a x⁴ + c x² + e
   El coeficiente e se encuentra utilizando la intersección y (0 , -2) del gráfico.
   -2 = a (0)⁴ + c (0)² + e
   e = -2

Enlaces y referencias