Encuentre un polinomio dado su gráfico
Preguntas con soluciones detalladas

¿Cómo encontrar un polinomio dado su gráfico? Grado 12 preguntas de matemáticas se presentan junto con sus soluciones detalladas.

  1. Find the equation of the cubic polynomial function g shown below.

    gráfico del polinomio en cuestión 1.



    Solución
    La gráfica de la función tiene un cero de multiplicidad 1 en x = -1 que corresponde al factor x + 1 y un cero de multiplicidad 2 en x = 3 (el gráfico toca pero no corta el eje x) que corresponde al factor (x - 3) 2 , por lo tanto la función g tiene la ecuación:

    g(x) = k (x + 1)(x - 3)2 , donde k es una constante.

    La constante k se puede encontrar usando el punto con las coordenadas (1, 3) que se muestran en el gráfico.

    g(1) = k (1 + 1)(1 - 3)2 = 3

    Simplifica y resuelve para k.

    k = 3 / 8

    g(x) es dado por.

    g(x) = (3 / 8)(x + 1)(x - 3)2

  2. Encuentre la función polinomial de cuarto grado f cuyo gráfico se muestra en la figura a continuación.

    polinomios gráficos pregunta 2 .


    Solución

    La gráfica del polinomio tiene un cero de multiplicidad 1 en x = 2 que corresponde al factor (x - 2), otro cero de multiplicidad 1 en x = -2 que corresponde al factor (x + 2) y un cero de multiplicidad 2 en x = -1 (el gráfico toca pero no corta el eje x) que corresponde al factor (x + 1) 2 , de ahí que el polinomio f tenga la ecuación:

    f(x) = k (x - 2)(x + 2)(x + 1)2 , donde k es una constante.

    La constante k se puede encontrar usando la intersección y f(0) = - 1 que se muestra en el gráfico .

    f(0) = k(0 - 2)(0 + 2)(0 + 1)2 = -1

    Simplifica y resuelve para k.

    k = 1 / 4

    f(x) es dado por.

    f(x) = (1/4)(x - 2)(x + 2)(x + 1)2

  3. Encuentre la ecuación del grado 4 del polinomio f graficado a continuación.

    gráfico de pregunta polinómica 3.



    Solución

    El gráfico tiene x intercepta en x = 0 e x = 5/2. Estas x interceptaciones son los ceros del polinomio f(x). Debido a que el gráfico cruza el eje x en x = 0 e x = 5/2, ambos cero tienen una multiplicidad impar. El gráfico en x = 0 tiene una forma 'cúbica' y por lo tanto el cero en x = 0 tiene multiplicidad de 3. La forma del gráfico en x = 1/2 está cerca de lineal, por lo tanto, el cero en x = 5/2 tiene multiplicidad igual a 1. Usando los ceros en x = 0 y x = 5/2,
    f(x) se puede escribir como


    f(x) = k (x - 0)3 (x - 5/2) , donde k es una constante.

    Ahora usamos el punto (2, - 4) para buscar k.

    - 4 = k(2)3 (2 - 5 / 2) , Resolver k: k = 1

    La ecuación de polinomio f(x) está dada por.

    f(x) = x3 (x - 5/2)

  4. El gráfico de un polinomio cúbico $$ y = a x^3 + b x^2 +c x + d $$ se muestra a continuación. Encuentra los coeficientes a, b, c e d.

    gráfico del polinomio en cuestión 4.



    Solución

    El polinomio tiene grado 3. El gráfico del polinomio tiene un cero de multiplicidad 1 en x = -2 que corresponde al factor x + 2 y un cero de multiplicidad 2 en x = 1 que corresponde al factor (x - 1) 2 . Por lo tanto, el polinomio puede escribirse como

    y = k(x + 2)(x - 1)2

    Ahora necesitamos encontrar k usando el intercepto y (0 , 1) que se muestra en el gráfico.

    1 = k(0 + 2)(0 - 1)2 = 2 k

    Resolver para k.

    k = 1 / 2

    Ahora expandimos el polinomio, lo escribimos en forma estándar e identificamos el coeficiente a, b, c e d.

    y = (1 / 2)(x + 2)(x - 1)2 = 0.5 x3 - 1.5 x + 1

    Ahora comparamos la expresión del polinomio encontrado anteriormente con

    y = a x3 + b x2 + c x + d

    y obtener los valores de los coeficientes

    a = 0.5 , b = 0 , c = -1.5 y d = 1

  5. La gráfica del polinomio $$y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$ se muestra a continuación. Encuentra los coeficientes b, d y e.

    gráfico de polinomio en la pregunta 5.



    Solución

    La gráfica del polinomio es simétrica con respecto al eje y, y por lo tanto, la función polinómica dada anteriormente debe ser una función par. Los términos   b x 3   y   d x   incluidos en la expresión dada del polinomio anterior no son pares y, por lo tanto, sus coeficientes son iguales a 0. Por lo tanto

    b = 0 , d = 0

    y por lo tanto, el polinomio y está dado por

    y = a x4 + c x2 + e

    El coeficiente e se encuentra utilizando la intersección y (0 , -2) del gráfico.

    -2 = a (0)4 + c (0)2 + e

    e = -2


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