Propiedades de los gráficos polinomiales
Preguntas con soluciones detalladas

Cómo usar las propiedades de los gráficos polinomiales para identificar polinomios. Se presentan preguntas de matemáticas de grado 12 con soluciones detalladas e interpretaciones gráficas.




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  1. Proporcione cuatro razones diferentes por las cuales el siguiente gráfico no puede ser el gráfico de la función polinómica \( p(x) = x^4-x^2+1 \).

    gráfico del polinomio en cuestión 1.



    Solución

    Las cuatro razones son:

    1) La función polinómica dada es par y, por lo tanto, su gráfica debe ser simétrica con respecto al eje y. El gráfico dado no es simétrico con respecto al eje y.

    2) La función polinómica dada no tiene ceros reales (discriminante = -3: negativo). El gráfico dado tiene x intercepta que debe corresponder a ceros reales.

    3) La intersección y calculada usando p(x) (p (0) = 0 ^ 4-0 ^ 2 + 1 = 1) es positiva. La intersección y del gráfico es negativa.

    4) Teniendo un coeficiente principal (= 1) positivo y un grado par (= 4), el polinomio debe tener un gráfico con la derecha y la izquierda subiendo. En el gráfico dado, ambos están cayendo.

  2. Combina las funciones polinomiales con sus gráficos donde se muestran todas las intersecciones x.
    $$f(x) = (x+1)(x-1)^2(x+2)^2$$ $$g(x) = -(x+1)(x-1)^4$$ $$h(x) = (x+1)(x-1)^3(x-3)$$ $$i(x) = (x+1)^2(x-2)^3$$ $$j(x) = (x+1)^2(1-x)(x-2)^2$$ $$k(x) =-(x+1)^2(x-1)^2(x-3)$$


    gráfico del polinomio en cuestión 2.



    Solución

    De acuerdo con sus ecuaciones, las 6 funciones polinómicas dadas son de grado 5. Sin embargo, sus coeficientes principales son de diferentes signos. Clasificamos los 6 polinomios en 2 grupos: I y II

    Grupo I: polinomios dados con coeficientes principales positivos

    f(x) = (x + 1)(x - 1)2(x + 2)2
    h(x) = (x + 1)(x - 1)3(x - 3)
    i(x) = (x + 1)2(x - 2)3

    Teniendo el grado 5 (impar) y los coeficientes principales positivos, cada uno de los gráficos de los polinomios anteriores (f, h e i) tiene las siguientes propiedades gráficas:

    como   x → ∞     y → ∞   (el lado derecho de los gráficos se eleva)

    como   x → - ∞   y   → - ∞   (el lado izquierdo de la gráfica cae)

    Las gráficas dadas en las partes a) c) y e) tienen las propiedades anteriores con diferentes interceptos x y sus multiplicidades. Por lo tanto

    Polinomio f(x) = (x + 1)(x - 1)2(x + 2)2 tiene un cero de multiplicidad 1 en x = -1, una cero de multiplicidad 2 en x = 1 y un cero de multiplicidad 2 en x = - 2 y debe corresponder al gráfico en la parte e).

    Polinomio h(x) = (x + 1)(x - 1)3(x - 3) tiene un cero de multiplicidad 1 en x = -1, un cero de multiplicidad 3 en x = 1 y un cero de multiplicidad 1 en x = 3 y debe corresponder al gráfico en la parte a).

    El polinomio i(x) = (x + 1)2(x - 2)3 tiene un cero de multiplicidad 2 en x = -1 y un cero de multiplicidad 3 en x = 2 y debe corresponder al gráfico en la parte c).

    Grupo II: polinomios dados con coeficientes principales negativos

    Las funciones polinómicas g, j y k, cuando se expanden, tienen coeficientes principales que son negativos.

    g(x) = - (x + 1)(x - 1)4
    j(x) = (x + 1)2(1 - x)(x - 2)2
    k(x) = - (x + 1)2(x - 1)2(x - 3)

    Teniendo el grado 5 (impar) y los coeficientes principales negativos, cada uno de los gráficos de los polinomios anteriores (g, j y k) tiene las siguientes propiedades gráficas:

    como   x → ∞     y → - ∞   (el lado derecho de los gráficos cae)
    como   x → - ∞   y   → ∞   (el lado izquierdo del gráfico se eleva)

    Las gráficas dadas en las partes b) d) y f) tienen las propiedades anteriores con diferentes interceptos x y sus multiplicidades. Por lo tanto

    El polinomio g(x) = - (x + 1)(x - 1)4 tiene un cero de multiplicidad 1 en x = -1, un cero de multiplicidad 4 en x = 1 y debe corresponder a el gráfico en la parte f).

    Polinomio j(x) = (x + 1)2(1 - x)(x - 2)2 tiene un cero de multiplicidad 2 en x = -1, una cero de multiplicidad 1 en x = 1 y un cero de multiplicidad 2 en x = 2 y debe corresponder al gráfico en la parte d).

    El polinomio k(x) = - (x + 1)2(x - 1)2(x - 3) tiene un cero de multiplicidad 2 en x = -1, un cero de multiplicidad 2 en x = 1 y un cero de multiplicidad 1 en x = 3 y debe corresponder al gráfico en la parte b).


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