Pregunta 1
El polinomio p está dado por $$p(x) = (x - 1)^2(x - √3) (x + √3) $$Haz una tabla de signos de p y esboza un posible gráfico para p.
Solución
Primero encontramos las raíces de la función polinómica p.
p(x) = (x - 1)2 (x - √3) (x + √3) = 0
Para p(x) = 0, necesitamos tener
(x - 1)2 = 0 , o (x - √3) = 0 , o (x + √3) = 0
Resolvemos cada una de las ecuaciones anteriores para obtener las raíces de p(x).
x = 1 (multiplicidad 2) , x = √3 y x = - √3
c) Con la ayuda de la forma factorizada de p(x) y sus raíces encontradas anteriormente, ahora creamos una tabla de signos usando:
(x - 1)2 es positivo para todo x excepto en x = 1
x - √3 > 0 para x > √3
x + √3 > 0 para x > - √3
Colocamos cada factor en la tabla y usamos las reglas de multiplicación de signos para completar el signo para p como se muestra a continuación.
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Usamos las raíces de p(x) que gráficamente se muestran como intersecciones x, la tabla de signos y el intercepto y (0 , -3) para completar el gráfico como se muestra a continuación.
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Pregunta 2
f(x) es un polinomio de grado seis con un coeficiente principal negativo. f tiene un cero de multiplicidad 1 en x = -1, un cero de multiplicidad 3 en x = 1 y un cero de multiplicidad 2 en x = 3. Haz una tabla de signos para el polinomio f.Solución
Primero escribimos los factores del polinomio f con su multiplicidad.
cero de multiplicidad 1 en x = -1 : factor: x + 1
cero de multiplicidad 3 en x = 1 : factor: (x - 1)3
cero de multiplicidad 2 en x = 3 : factor: (x - 3)2
Sea k (negativo) el coeficiente principal de f. Usando todos los factores anteriores, escribimos f(x) como
f(x) = k (x + 1)(x - 1)3(x - 3)2
Primero estudiamos el signo de los diferentes factores de f.
x + 1 > 0 para x > - 1
(x - 1)3 > 0 para x > 1
(x - 3)2 > 0 para todo x excepto x = 3
A continuación se muestra la tabla de signos de cada factor y del polinomio f(x) en la fila inferior.
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