Cómo encontrar ceros de polinomios
Preguntas con soluciones detalladas

Cómo encontrar los ceros de los polinomios usando factoraje, división de polinomios y el teorema de los ceros racionales. Grado 12 preguntas de matemáticas se presentan junto con soluciones detalladas e interpretaciones gráficas.

  1. El polinomio p se define por $$ p(x) = x^3 + 5x^2-2x-24$$ tiene un cero en x = 2. Factor p completamente y encuentra sus ceros.

    Solución

    p(x) tiene un cero en x = 2 y, por lo tanto, x - 2 es un factor de p(x). Divida p(x) por x - 2

    p(x) / (x - 2) = (x3 + 5 x2 - 2 x - 24) / (x - 2) = x2 + 7 x + 12

    Usando el resultado de la división anterior, p(x) ahora puede escribirse en forma factorizada de la siguiente manera:

    p(x) = (x - 2)(x2 + 7 x + 12)

    Factoriza la expresión cuadrática x2 + 7 x + 12.

    p(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 4)

    Los ceros se encuentran resolviendo la ecuación.

    p(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 4) = 0

    Para que p(x) sea igual a cero, necesitamos tener

    x - 2 = 0 , or x + 3 = 0 , or x + 4 = 0

    Resuelve cada una de las ecuaciones anteriores para obtener los ceros de p(x).

    x = 2 , x = - 3 and x = - 4

  2. El polinomio $$p(x)=3x^4+5x^3-17x^2-25x+10$$ tiene ceros irracionales en x = ~+mn~√5. Encuentra los otros ceros.

    Solución

    Zeros en x = ~+mn~ √5, corresponde a los factores.

    (x - √5) e (x + √5)

    Por lo tanto, el polinomio p (x) se puede escribir como

    p(x) = (x - √5)(x + √5) Q(x) = (x2 - 5)Q(x)

    Encuentra Q(x) usando la división larga de polinomios

    Q(x) = p(x) / (x2 - 5) =

    (3 x4 + 5 x3 - 17 x2 - 25 x + 10) / (x2 - 5)

    = 3 x2 + 5 x - 2

    Factor   Q(x) = 3 x2 + 5 x - 2

    Q(x) = 3 x2 + 5 x - 2 = (3x - 1)(x + 2)

    Factor p(x) completamente

    p(x) = (x - √5)(x + √5)(3x - 1)(x + 2)

    Establezca cada uno de los factores de p(x) a cero para encontrar los ceros.

    x = ~+mn~√ 5 , x = 1 / 3 , x = - 2

  3. El polinomio p está dado por $$ p(x) = x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 6x - 3$$

    a) Demuestre que x = 1 es un cero de multiplicidad 2.

    b) Encuentra todos los ceros de p.

    c) Dibuje un gráfico posible para p.

    Solución

    Si x = 1 es un cero de multiplicidad 2, entonces (x - 1) 2 es un factor de p(x) y una división de p(x) entre (x - 1) 2 debe dar un resto igual a 0. Una división larga da

    p(x) / (x - 1)2 = (x4 - 2x3 - 2x2 + 6x - 3) / (x - 1)2 = x2 - 3

    El resto en la división de p(x) entre (x - 1) 2 es igual a 0 y, por lo tanto, x = 1 es un cero del polinomio p de multiplicidad 2.

    b) Usando la división de arriba, p(x) ahora puede escribirse en forma factorizada de la siguiente manera

    p(x) = (x - 1)2(x2 - 3)

    Factoriza la expresión cuadrática x2 - 3.

    p(x) = (x - 1)2 (x - √3) (x + √3)

    Los ceros se encuentran resolviendo la ecuación.

    p(x) = (x - 1)2 (x - √3) (x + √3) = 0

    For p(x) to be equal to zero, we need to have

    (x - 1)2 = 0 , or (x - √3) = 0 , or (x + √3) = 0

    Resuelve cada una de las ecuaciones anteriores para obtener los ceros de p(x).

    x = 1 (multiplicity 2) , x = √3 and x = - √3

    c) Con la ayuda de la forma factorizada de p(x) y sus ceros que se encuentran arriba, ahora hacemos una tabla de signos.

    tabla de pregunta de signo 3 .



    Usamos los ceros de p(x) que gráficamente se muestran como x intercepta, la tabla de signos y la intersección y (0 , -3) para completar el gráfico como se muestra a continuación.

    pregunta de polinomios 1 .


  4. Usa el teorema de los ceros racionales para determinar todos los ceros racionales del polinomio $$p(x) = 6x^3-13x^2+x+2 $$.

    Solución

    Teorema de Zero Racional: Si p (x) es un polinomio con coeficientes enteros y si m / n (en términos más bajos) es un cero de p(x), entonces m es un factor del término constante 2 de p(x) y n es un factor del coeficiente 6 de p (x). Encuentra factores de 2 y 6.

    factors of 2: ~+mn~ 1 , ~+mn~ 2

    factors of 6: ~+mn~ 1 , ~+mn~ 2 , ~+mn~ 3 , ~+mn~ 6

    posibles ceros: divida los factores de 2 por factores de 6: ~+mn~ 1 , ~+mn~ 1 / 2 , ~+mn~ 1 / 3 , ~+mn~ 1 / 6 , ~+mn~ 2 , ~+mn~ 2 / 3

    Debido a la gran lista de ceros posibles, graficamos el polinomio y adivinamos los ceros desde la ubicación de las interceptaciones x. A continuación se muestra el gráfico del polinomio p(x) y podemos ver fácilmente que los ceros están cerca de -1/3, 1/2 y 2.

    pregunta de polinomios 4 .


    Ahora calculamos p(-1/3), p(1/2) e p(2) para finalmente verificar si estos son los ceros exactos de p(x).

    p(-1/3) = 6(-1/3)^3 - 13(-1/3)^2 + (-1/3) + 2 = 0

    p(1/2) = 6(1/2)^3 - 13(1/2)^2 + (1/2) + 2 = 0

    p(2) = 6(2)^3 - 13(2)^2 + (2) + 2 = 0

    Hemos usado el teorema de los ceros racionales y el gráfico del polinomio dado para determinar los 3 ceros del polinomio dado que son -1/3, 1/2 y 2.


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