Preguntas sobre gráficas de polinomios con soluciones

Aprende cómo usar las propiedades de las gráficas de polinomios para identificar y relacionar polinomios con sus ecuaciones. Estas preguntas de matemáticas de grado 12 presentan soluciones detalladas e interpretaciones gráficas que se centran en raíces, multiplicidades y comportamiento final.

Propiedades clave de las gráficas de polinomios

Comportamiento final (Grado par): Si el coeficiente principal $a > 0$, ambos extremos suben. Si $a < 0$, ambos extremos bajan.

Comportamiento final (Grado impar): Si $a > 0$, el extremo izquierdo baja y el derecho sube. Si $a < 0$, el izquierdo sube y el derecho baja.

Multiplicidad de 1: La gráfica cruza el eje x directamente a través de la raíz.

Multiplicidad par (2, 4, 6...): La gráfica toca el eje x y rebota (tangente).

Multiplicidad impar > 1 (3, 5...): La gráfica cruza el eje x pero se aplana mientras pasa a través de él.

🔍 Verificación analítica: La intersección en y

Al relacionar una gráfica con una ecuación, verifica siempre la intersección en y calculando $p(0)$. El término constante del polinomio expandido te dice al instante dónde debe cruzar la gráfica el eje y, lo cual suele ser la forma más rápida de eliminar opciones incorrectas.

Preguntas: Relaciona e identifica polinomios

Pregunta 1: Elimina gráficas incorrectas

Da cuatro razones diferentes por las que la gráfica a continuación no puede ser la gráfica de la función polinómica $$ p(x) = x^4-x^2+1 $$

gráfica del polinomio en la pregunta 1

Solución: Las cuatro razones son:

  1. Simetría: La función polinómica dada $p(x) = x^4-x^2+1$ contiene solo potencias pares, lo que la convierte en una función par. Por lo tanto, su gráfica debe ser simétrica con respecto al eje y. La gráfica dada no es simétrica con respecto al eje y.
  2. Ceros reales: El polinomio $p(x)$ se puede analizar sustituyendo $u = x^2$. El discriminante de $u^2 - u + 1$ es $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3$. Debido a que el discriminante es negativo, el polinomio no tiene ceros reales. Sin embargo, la gráfica dada claramente tiene intersecciones en x.
  3. Intersección en y: La intersección en y se calcula evaluando $p(0) = 0^4 - 0^2 + 1 = 1$, que es positivo. La intersección en y de la gráfica dada es claramente negativa.
  4. Comportamiento final: Al tener un coeficiente principal positivo ($a = 1$) y un grado par ($n = 4$), el polinomio debe tener una gráfica donde tanto el lado izquierdo como el derecho suban ($y \to \infty$). En la gráfica dada, ambos lados bajan.
Pregunta 2: Relaciona ecuaciones con gráficas complejas

Relaciona las funciones polinómicas con sus gráficas, donde se muestran todas las intersecciones en x.

$$ f(x) = (x+1)(x-1)^2(x+2)^2 $$

$$ g(x) = -(x+1)(x-1)^4 $$

$$ h(x) = (x+1)(x-1)^3(x-3) $$

$$ i(x) = (x+1)^2(x-2)^3 $$

$$ j(x) = (x+1)^2(1-x)(x-2)^2 $$

$$ k(x) = -(x+1)^2(x-1)^2(x-3) $$

gráfica del polinomio en la pregunta 2

Solución:

De acuerdo con sus ecuaciones, las 6 funciones polinómicas dadas son de grado 5 (suma de los exponentes de los factores). Sin embargo, sus coeficientes principales tienen signos diferentes. Clasificamos los polinomios en dos grupos:

Grupo I: Coeficientes principales positivos

Los polinomios $f$, $h$, e $i$ tienen coeficientes principales positivos.

$$ f(x) = (x + 1)(x - 1)^2(x + 2)^2 $$

$$ h(x) = (x + 1)(x - 1)^3(x - 3) $$

$$ i(x) = (x + 1)^2(x - 2)^3 $$

Al tener grado 5 (impar) y coeficientes principales positivos, estas gráficas tienen el siguiente comportamiento final:
Cuando $x \to \infty$, $y \to \infty$ (el lado derecho sube).
Cuando $x \to -\infty$, $y \to -\infty$ (el lado izquierdo baja).

Las gráficas dadas en las partes a), c), y e) coinciden con este comportamiento final. Las relacionamos usando sus raíces y multiplicidades:

  1. El polinomio $f(x)$ tiene un cero de multiplicidad 1 en $x = -1$ (cruza), multiplicidad 2 en $x = 1$ (toca), y multiplicidad 2 en $x = -2$ (toca). Esto corresponde a la gráfica e).
  2. El polinomio $h(x)$ tiene un cero de multiplicidad 1 en $x = -1$ (cruza), multiplicidad 3 en $x = 1$ (cruza y se aplana), y multiplicidad 1 en $x = 3$ (cruza). Esto corresponde a la gráfica a).
  3. El polinomio $i(x)$ tiene un cero de multiplicidad 2 en $x = -1$ (toca) y multiplicidad 3 en $x = 2$ (cruza y se aplana). Esto corresponde a la gráfica c).

Grupo II: Coeficientes principales negativos

Los polinomios $g$, $j$, y $k$, al expandirse, tienen coeficientes principales negativos (Nota: para $j(x)$, el término $(1-x)$ crea el coeficiente negativo).

$$ g(x) = - (x + 1)(x - 1)^4 $$

$$ j(x) = (x + 1)^2(1 - x)(x - 2)^2 $$

$$ k(x) = - (x + 1)^2(x - 1)^2(x - 3) $$

Al tener grado 5 (impar) y coeficientes principales negativos, estas gráficas tienen el siguiente comportamiento final:
Cuando $x \to \infty$, $y \to -\infty$ (el lado derecho baja).
Cuando $x \to -\infty$, $y \to \infty$ (el lado izquierdo sube).

Las gráficas dadas en las partes b), d), y f) coinciden con este comportamiento. Las relacionamos usando sus raíces:

  1. El polinomio $g(x)$ tiene un cero de multiplicidad 1 en $x = -1$ (cruza) y multiplicidad 4 en $x = 1$ (toca). Esto corresponde a la gráfica f).
  2. El polinomio $j(x)$ tiene un cero de multiplicidad 2 en $x = -1$ (toca), multiplicidad 1 en $x = 1$ (cruza), y multiplicidad 2 en $x = 2$ (toca). Esto corresponde a la gráfica d).
  3. El polinomio $k(x)$ tiene un cero de multiplicidad 2 en $x = -1$ (toca), multiplicidad 2 en $x = 1$ (toca), y multiplicidad 1 en $x = 3$ (cruza). Esto corresponde a la gráfica b).

Preguntas de desafío para práctica adicional

Pon a prueba tu comprensión sobre el comportamiento final, multiplicidades y graficación de polinomios:

  1. Desafío 1: Un polinomio de grado 4 tiene una raíz doble en $x=2$, una raíz simple en $x=-1$ y una raíz simple en $x=4$. Su intersección en y está en $(0, 16)$. Escribe la ecuación del polinomio en forma factorizada.
  2. Desafío 2: Determina el comportamiento final del polinomio $P(x) = -3x^2(x-4)^3(2x+1)^2$. (Pista: ¿Cuál es el grado y el coeficiente principal?)
  3. Desafío 3: Verdadero o Falso: Si la gráfica de un polinomio cruza el eje x en $x=c$ sin aplanarse, el factor $(x-c)$ debe tener una multiplicidad exactamente de 1.
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  • Respuesta 1: $P(x) = -1(x-2)^2(x+1)(x-4)$. (El coeficiente $a=-1$ se encuentra estableciendo $P(0) = a(-2)^2(1)(-4) = -16a = 16$).
  • Respuesta 2: El grado es $2 + 3 + 2 = 7$ (impar). El coeficiente principal es negativo ($-3 \times 1^3 \times 2^2 = -12$). Por lo tanto, cuando $x \to -\infty$, $y \to \infty$; y cuando $x \to \infty$, $y \to -\infty$.
  • Respuesta 3: Verdadero. Una multiplicidad de 3 o más (impar) cruzará el eje pero se aplanará notablemente (punto de inflexión) en la raíz.

Enlaces y referencias