Gráficas de Polinomios: Preguntas con Soluciones

Cómo usar las propiedades de las gráficas de polinomios para identificar polinomios. Se presentan preguntas de matemáticas de 12º grado con soluciones detalladas e interpretaciones gráficas.

Pregunta 1

Da cuatro razones diferentes por las cuales la gráfica a continuación no puede ser la gráfica de la función polinómica \( p(x) = x^4 - x^2 + 1 \).

Gráfica del polinomio de la pregunta 1

Solución

Las cuatro razones son:

  1. La función polinómica dada es par y, por lo tanto, su gráfica debe ser simétrica con respecto al eje y. La gráfica dada no es simétrica con respecto al eje y.
  2. La función polinómica dada no tiene ceros reales (discriminante = -3: negativo). La gráfica dada tiene intersecciones con el eje x, que deben corresponder a ceros reales.
  3. La intersección con el eje y calculada usando \(p(x)\), dada por \( p(0) = 0^4 - 0^2 + 1 = 1 \), es positiva. La intersección con el eje y en la gráfica es negativa.
  4. Al tener un coeficiente principal positivo (= 1) y un grado par (= 4), el polinomio debe tener una gráfica que suba tanto a la derecha como a la izquierda. En la gráfica dada, ambos lados bajan.

Pregunta 2

Empareja las funciones polinómicas con sus gráficas, donde se muestran todas las intersecciones con el eje x.

\[ f(x) = (x+1)(x-1)^2(x+2)^2 \]

\[ g(x) = -(x+1)(x-1)^4 \]

\[ h(x) = (x+1)(x-1)^3(x-3) \]

\[ i(x) = (x+1)^2(x-2)^3 \]

\[ j(x) = (x+1)^2(1-x)(x-2)^2 \]

\[ k(x) = -(x+1)^2(x-1)^2(x-3) \]

Gráficas de polinomios para la pregunta 2

Solución

Según sus ecuaciones, las 6 funciones polinómicas dadas son de grado 5. Sin embargo, sus coeficientes principales tienen signos diferentes. Clasificamos los 6 polinomios en 2 grupos: I y II.

Grupo I - Polinomios dados con coeficientes principales positivos:

\[ f(x) = (x + 1)(x - 1)^2(x + 2)^2 \]

\[ h(x) = (x + 1)(x - 1)^3(x - 3) \]

\[ i(x) = (x + 1)^2(x - 2)^3 \]

Al tener grado 5 (impar) y coeficientes principales positivos, cada una de las gráficas de los polinomios anteriores \( f, h \) e \( i \) tiene las siguientes propiedades gráficas:

Cuando \( x \to \infty \), \( y \to \infty \) (el lado derecho de la gráfica sube).

Cuando \( x \to -\infty \), \( y \to -\infty \) (el lado izquierdo de la gráfica baja).

Las gráficas dadas en las partes a), c) y e) tienen las propiedades anteriores con diferentes intersecciones con el eje x y multiplicidades. Por lo tanto:

  1. El polinomio \( f(x) = (x + 1)(x - 1)^2(x + 2)^2 \) tiene un cero de multiplicidad 1 en \( x = -1 \), un cero de multiplicidad 2 en \( x = 1 \), y un cero de multiplicidad 2 en \( x = -2 \), y debe corresponder a la gráfica en la parte e).
  2. El polinomio \( h(x) = (x + 1)(x - 1)^3(x - 3) \) tiene un cero de multiplicidad 1 en \( x = -1 \), un cero de multiplicidad 3 en \( x = 1 \), y un cero de multiplicidad 1 en \( x = 3 \), y debe corresponder a la gráfica en la parte a).
  3. El polinomio \( i(x) = (x + 1)^2(x - 2)^3 \) tiene un cero de multiplicidad 2 en \( x = -1 \) y un cero de multiplicidad 3 en \( x = 2 \), y debe corresponder a la gráfica en la parte c).

Grupo II - Polinomios dados con coeficientes principales negativos:

Las funciones polinómicas \( g \), \( j \) y \( k \), cuando se expanden, tienen coeficientes principales negativos.

\[ g(x) = - (x + 1)(x - 1)^4 \]

\[ j(x) = (x + 1)^2(1 - x)(x - 2)^2 \]

\[ k(x) = - (x + 1)^2(x - 1)^2(x - 3) \]

Al tener grado 5 (impar) y coeficientes principales negativos, cada una de las gráficas de los polinomios \( g \), \( j \) y \( k \) tiene las siguientes propiedades gráficas:

Cuando \( x \to \infty \), \( y \to -\infty \) (el lado derecho de la gráfica baja).

Cuando \( x \to -\infty \), \( y \to \infty \) (el lado izquierdo de la gráfica sube).

Las gráficas dadas en las partes \( b \), \( d \) y \( f \) exhiben las propiedades de comportamiento final anteriores, pero difieren en las intersecciones con el eje x y sus multiplicidades. Por lo tanto:

  1. El polinomio \( g(x) = - (x + 1)(x - 1)^4 \) tiene un cero de multiplicidad 1 en \( x = -1 \) y un cero de multiplicidad 4 en \( x = 1 \), y debe corresponder a la gráfica en la parte f).
  2. El polinomio \( j(x) = (x + 1)^2(1 - x)(x - 2)^2 \) tiene un cero de multiplicidad 2 en \( x = -1 \), un cero de multiplicidad 1 en \( x = 1 \), y un cero de multiplicidad 2 en \( x = 2 \), y debe corresponder a la gráfica en la parte d).
  3. El polinomio \( k(x) = - (x + 1)^2(x - 1)^2(x - 3) \) tiene un cero de multiplicidad 2 en \( x = -1 \), un cero de multiplicidad 2 en \( x = 1 \), y un cero de multiplicidad 1 en \( x = 3 \), y debe corresponder a la gráfica en la parte b).

Referencias y Enlaces