Problemas de palabras de matemáticas de grado 12 con soluciones y respuestas
Se presentan 12 problemas matemáticos con soluciones detalladas .
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Dos bombas grandes y una pequeña pueden llenar una piscina en 4 horas. Una bomba grande y 3 pequeñas también pueden llenar la misma piscina en 4 horas. ¿Cuántas horas tomará 4 bombas grandes y 4 pequeñas para llenar la piscina (suponemos que todas las bombas grandes son similares y todas las bombas pequeñas también son similares).
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Encuentra todos los lados de un triángulo rectángulo cuyo perímetro es igual a 60 cm y su área es igual a 150 cm cuadrados.
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Un círculo de centro (-3, -2) pasa por los puntos (0, -6) y (a, 0). Calcular a.
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Determine la ecuación de la tangente en (0, 2) al círculo con la ecuación
(x + 2)2 + (y + 1)2 = 13
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Un examen consta de tres partes. En la parte A, un estudiante debe responder 2 de 3 preguntas. En la parte B, un alumno debe responder 6 de 8 preguntas y en la parte C, el alumno debe responder todas las preguntas. ¿Cuántas elecciones tiene el alumno?
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Solución para x
x2 - 3|x - 2| - 4x = - 6
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El triángulo rectángulo ABC que se muestra a continuación está inscrito dentro de una parábola. El punto B es también el punto máximo de la parábola (vértice) y el punto C es la intersección x de la parábola. Si la ecuación de la parábola viene dada por y = -x 2 + 4x + C, calcule C de modo que el área del triángulo ABC sea igual a 32 unidades cuadradas.
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El triángulo delimitado por las líneas y = 0, y = 2x e y = -0.5x + k, con k positivo, tiene un área igual a 80 unidades cuadradas. Calcule k.
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Una parábola tiene dos interceptos x en (-2, 0) y (3, 0) y pasa por el punto (5, 10). Determine la ecuación de esta parábola.
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Cuando el polinomio P (x) = x 3 + 3x 2 -2Ax + 3, donde A es una constante, se divide por x 2 + 1 obtenemos un resto igual a - 5x. Calcule A.
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Polinomio P (x) = x 5 + 2x 3 + Ax + B, donde A y B son constantes. Cuando P (x) se divide por x - 1, el resto es igual a 2. Cuando P (x) se divide por x + 3, el resto es igual a -314. Determine A y B
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Determine todos los puntos de intersección de los 2 círculos definidos por las ecuaciones
(x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 (x - 1)2 + (y - 1)2 = 4
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Si se agrega 200 a un entero positivo I, el resultado es un número cuadrado. Si se agrega 276 al mismo número entero I, se obtiene otro número cuadrado. Calcular I.
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La suma de los primeros tres términos de una secuencia geométrica es igual a 42. La suma de los cuadrados de los mismos términos es igual a 1092. Encuentra los tres términos de la secuencia.
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Una roca se deja caer en un pozo de agua y viaja aproximadamente 16 t 2 en t segundos. Si el chasquido se escucha 3,5 segundos más tarde y la velocidad del sonido es de 1087 pies / segundo, entonces, ¿cuál es la altura del pozo?
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Dos barcos en las orillas opuestas de un río comienzan a moverse el uno hacia el otro. Primero se cruzan 1400 metros desde un banco. Cada uno de ellos continúa hacia la orilla opuesta, gira de inmediato y vuelve al otro banco. Cuando se cruzan por segunda vez, están a 600 metros del otro banco. Suponemos que cada bote viaja a una velocidad constante durante todo el viaje. Calcule el ancho del río?
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Calcule las constantes a y b para que las 4 líneas cuya ecuación estén dadas por
x + y = -1 -x + 3y = -11 ax + by = 4 2ax - by = 2
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Cálculo del área del triángulo rectángulo que se muestra a continuación.
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Le toma a la bomba A 2 horas menos tiempo que la bomba B vaciar una piscina. La bomba A se inicia a las 8:00 a.m. y la bomba B se inicia a las 10:00 a.m. a las 12:00 p.m. El 60% de la piscina está vacía cuando la bomba B se averió. Cuanto tiempo despues de las 12:00 p.m. ¿Tomaría la bomba A para vaciar la piscina?
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El número de alumnos en la escuela A es igual a la mitad del número de alumnos en la escuela B. La proporción de niños en la escuela A y los niños en la escuela B es de 1: 3 y la proporción de niñas en la escuela A y las niñas en la escuela B es 3: 5. El número de niños en la escuela B es 200 más alto que el número de niños en la escuela A. Calcule el número de niños y niñas en cada escuela.
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Cuatro bombas grandes y 2 pequeñas pueden llenar una piscina en 2 horas. Dos bombas grandes y 6 pequeñas también pueden llenar la misma piscina en 2 horas. ¿Cuánto tiempo lleva 8 bombas grandes y 8 pequeñas para llenar el 50% de la piscina? (NOTA: todas las bombas grandes tienen la misma potencia y todas las bombas pequeñas tienen la misma potencia).
Soluciones a las preguntas anteriores
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- Deje que R y r sean la tasa de trabajo de las bombas grande y pequeña respectivamente.
- 4 (2R + r) = 1; 2 trabajos grandes y 1 trabajo pequeño durante 4 horas para hacer 1 trabajo.
- 4 (R + 3r) = 1; 1 trabajo grande y 3 trabajos pequeños durante 4 horas para hacer 1 trabajo.
- T (4R + 4r) = 1; Encuentre el tiempo T si 4 grandes y 4 pequeños son para hacer un trabajo.
- Resuelve para R y R el sistema de las dos primeras ecuaciones, luego sustituye en el tercero y resuelve para T para encontrar el tiempo. T = 5/3 horas = 1 hora 40 minutos.
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- x + y + H = 60; perímetro, x, y y H son las dos patas y la hipotenusa del triángulo rectángulo
- (1/2) xy = 150; zona
- x 2 + y 2 = H 2 ; Teorema de Pitágoras.
- 3 ecuaciones con 3 incógnitas.
- (x + y) 2 - 2xy = H 2 ; completando el cuadrado en la tercera ecuación.
- x + y = 60 - H; expresa x + y usando la primera ecuación y usa la segunda ecuación para hallar xy = 300 y sustituirla en la ecuación 5.
- (60 - H) 2 - 600 = H 2 ; una ecuación con una desconocida.
- Resuelve para H para encontrar H = 25 cm. Sustituye y resuelve para x e y para hallar x = 15 cm y y = 20 cm.
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- √((-6 + 2)2 + (0 + 3)2) = √((a + 3)2 + (0 + 2)2) ; las distancias desde el centro a cualquier punto del círculo son iguales.
- a = -3 + √(21) , a = -3 - √(21) ; resolver por a y encontrar dos soluciones.
- √ ((- 6 + 2) 2 + (0 + 3) 2 ) = √ ((a + 3) 2 + (0 + 2) 2 ); las distancias desde el centro a cualquier punto del círculo son iguales.
- a = -3 + √ (21), a = -3 - √ (21); resolver por a y encontrar dos soluciones.
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- (- 2, -1): centro del círculo
- m = (2 - (-1)) / (0 - (-2)) = 3/2 ; pendiente de la línea a través del centro y el punto de tangencia (0, 2)
- La línea a través del centro y el punto de tangencia (0, 2) es perpendicular a la tangente.
- M = -2 / 3 ; pendiente de la tangente
- y = - (2/3) x + 2 ; ecuación de tangente dada su pendiente y punto (0, 2).
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- 3 C 2 * 8 C 6 * 1 = 84: uso del teorema fundamental del conteo
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- x 2 - 3 | x - 2 | - 4x = - 6 ; dado
- Deje Y = x - 2 que da x = Y + 2
- (Y + 2) 2 - 3 | Y | - 4 (Y + 2) = - 6 ; sustituir en la ecuación anterior
- Y 2 - 3 | Y | + 2 = 0
- Y 2 = | Y | 2 ; nota
- | Y | 2 - 3 | Y | + 2 = 0 ; reescribe la ecuación como
- (| Y | - 2) (| Y | - 1) = 0
- | Y | = 2, | Y | = 1 ; resolver por | Y |
- Y = 2, -2, 1, -1 ; resolver para Y
- x = 4, 0, 3, 1 ; resuelve para x usando x = Y + 2.
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- h = - b / 2a = 2 ; coordenada x del vértice de la parábola
- k = - (2) 2 + 4 (2) + C = 4 + C ; coordenada y del vértice
- x = (2 + √ (4 + C)), x = (2 - √ (4 + C)) ; las dos x interceptaciones de la parábola.
- longitud de BA = k = 4 + C
- longitud de AC = 2 + √ (4 + C) - 2 = √ (4 + C)
- área = (1/2) BA * AC = (1/2) (4 + C) * √ (4 + C)
- (1/2) (4 + C) * √ (4 + C) = 32: el área es igual a 32
- C = 12 ; resuelve arriba para C.
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- A (0,0), B (2k / 5, 4k / 5), C (2k, 0) ; puntos de intersección de los 3 puntos de intersección de las 3 líneas
- (1/2) * (4k / 5) * (2k) = 80 ; área dada
- k = 10 ; resuelve la ecuación anterior para k, k positivo es una condición dada.
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- y = a (x + 2) (x - 3) ; ecuación de la parábola en forma factorizada.
- 10 = a (5 + 2) (5 - 2) ; (5, 10) es un punto en la gráfica de la parábola y por lo tanto satisface la ecuación de la parábola.
- a = 5/7 ; resuelve la ecuación anterior para a.
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- Divide x (3 + 3x 2 -2Ax + 3) por (x 2 + 1) para obtener un resto = -x (1 + 2A)
- -x (1 + 2A) = 5x ; resto dado
- - (1 + 2A) = 5 ; los polinomios son iguales si su área de coeficiente correspondiente es igual.
- A = -3
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- P (1) = 1 5 + 2 (1 3 ) + A * (1) + B = 2 ; teorema del resto
- P (-3) = (-3) 5 + 2 (-3) 3 + A * (- 3) + B = -314
- A = 4 y B = -5 ; resuelve los sistemas de ecuaciones anteriores.
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- x 2 - 4x + 2 + y 2 - 4y + 2 = 4: expande la ecuación del primer círculo
- x 2 - 2x + 1 + y 2 - 2y + 1 = 4: expande la ecuación del segundo círculo
- -2x - 2y - 6 = 0 ; resta los términos de la izquierda y la derecha de las ecuaciones anteriores
- y = 3 - x ; resuelve lo anterior para y.
- 2x 2 - 6x + 1 = 0 ; sustituye y por 3 - x en la primera ecuación, expande y agrupa como términos.
- (3/2 + √ (7) / 2, 3/2 - √ (7) / 2), (3/2 - √ (7) / 2, 3/2 + √ (7 ) / 2) ; resuelve lo anterior para x y usa y = 3 - x para encontrar y.
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- I + 200 = A 2 ; 200 agregado a I (entero desconocido) da un cuadrado.
- I + 276 = B 2 ; 276 agregado a I (entero desconocido) da otro cuadrado.
- B 2 = A 2 + 76 ; eliminé I de las dos ecuaciones.
- agregue cuadrados A 2 (0, 1, 4, 9, 16, 25, ...) a 76 hasta que obtenga otro cuadrado B 2 .
- 76 + 18 2 = 400 = 20 2
- A 2 = 18 2 y B 2 = 20 2
- I = A 2 - 200 = 124
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- sum1 = a + a r + a r 2 = 42 ; la suma de los tres términos dados, r es la razón común.
- sum2 = a 2 + a 2 r 2 + ar 2 r 4 = 1092 ; la suma de los cuadrados de los tres términos dados.
- sum1 = a + ar + ar 2 = a (r 3 - 1) / (r - 1) = 42: aplicar fórmula para una suma finita de geometría serie.
- sum2 = a 2 + a 2 r 2 + ar 2 r 4 = a 2 (r 6 - 1) / (r 2 - 1) = 1092 ; la suma de los cuadrados es también una suma de series geométricas.
- sum2 / sum1 2 = 1092/42 2 = [a 2 (r 6 - 1) / (r 2 - 1)] / [a 2 (r 3 - 1) 2 / (r - 1) 2 ]
- (r 2 - r + 1) / (r 2 + r + 1) = 1092/42 2
- r = 4, r = 1/4 ; resolver para r
- a = 2 ; sustituye r = 4 y resuelve por un
- a = 32 ; sustituye r = 1/4 y resuelve por un
- a = 2, ar = 8, ar 2 = 32 ; encuentra los tres términos para r = 4
- a = 32, ar = 8, ar 2 = 2 ; encuentre los tres términos para r = 1/4
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- T1 + T2 = 3.5 ; tiempo T1 para que la roca llegue al fondo del pozo y tiempo T2 para que el sonido llegue a la parte superior del pozo.
- 16 * T1 2 = 1087 * T2 ; la misma distancia que la altura del pozo.
- T2 = 3.5 - T1 ; resuelve para T2
- 16 * T1 2 = 1087 * (3.5 - T1)
- T1 = 3,34 segundos
- Altura = 16 * (3.34) 2 = 178 pies (a la unidad más cercana)
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- S1 * t1 = 1400: velocidad S1 del barco 1, t1 ; tiempo para hacer 1400 metros (bote 1)
- 1400 + S2 * t1 = X ; velocidad S2 del barco 2
- S1 * t2 = X + 600 ; t2 tiempo para hacer X + 600 (bote 2)
- S2 * t2 = 2X - 600
- S1 = 1400 / t1
- S2 = (X-1400) / t1
- T = t2 / t1 ; definición
- sustituye S1, S2 y t2 / t1 usando las expresiones anteriores en las ecuaciones 3 y 4 para obtener
- 1400 * T = X + 600
- X * T - 1400 * T = 2X - 600 ; 2 ecuaciones 2 incógnitas
- Elimina T y resuelve para X para obtener X = 3600 metros.
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- resuelve el sistema de las dos primeras ecuaciones para obtener la solución (2, -3)
- La solución anterior también es una solución a las dos últimas ecuaciones.
- a (2) + b (-3) = 4
- 2a (2) - b (-3) = 2
- a = 1 yb = -2/3 ; solución al sistema de ecuaciones anterior.
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