Problemas de palabras de matemáticas de grado 12 con soluciones y respuestas

Se presentan 12 problemas matemáticos con soluciones detalladas .

  1. Dos bombas grandes y una pequeña pueden llenar una piscina en 4 horas. Una bomba grande y 3 pequeñas también pueden llenar la misma piscina en 4 horas. ¿Cuántas horas tomará 4 bombas grandes y 4 pequeñas para llenar la piscina (suponemos que todas las bombas grandes son similares y todas las bombas pequeñas también son similares).

  2. Encuentra todos los lados de un triángulo rectángulo cuyo perímetro es igual a 60 cm y su área es igual a 150 cm cuadrados.

  3. Un círculo de centro (-3, -2) pasa por los puntos (0, -6) y (a, 0). Calcular a.

  4. Determine la ecuación de la tangente en (0, 2) al círculo con la ecuación
    (x + 2)2 + (y + 1)2 = 13

  5. Un examen consta de tres partes. En la parte A, un estudiante debe responder 2 de 3 preguntas. En la parte B, un alumno debe responder 6 de 8 preguntas y en la parte C, el alumno debe responder todas las preguntas. ¿Cuántas elecciones tiene el alumno?

  6. Solución para x
    x2 - 3|x - 2| - 4x = - 6


  7. El triángulo rectángulo ABC que se muestra a continuación está inscrito dentro de una parábola. El punto B es también el punto máximo de la parábola (vértice) y el punto C es la intersección x de la parábola. Si la ecuación de la parábola viene dada por y = -x 2 + 4x + C, calcule C de modo que el área del triángulo ABC sea igual a 32 unidades cuadradas.

    problem 3.


  8. El triángulo delimitado por las líneas y = 0, y = 2x e y = -0.5x + k, con k positivo, tiene un área igual a 80 unidades cuadradas. Calcule k.

  9. Una parábola tiene dos interceptos x en (-2, 0) y (3, 0) y pasa por el punto (5, 10). Determine la ecuación de esta parábola.

  10. Cuando el polinomio P (x) = x 3 + 3x 2 -2Ax + 3, donde A es una constante, se divide por x 2 + 1 obtenemos un resto igual a - 5x. Calcule A.

  11. Polinomio P (x) = x 5 + 2x 3 + Ax + B, donde A y B son constantes. Cuando P (x) se divide por x - 1, el resto es igual a 2. Cuando P (x) se divide por x + 3, el resto es igual a -314. Determine A y B

  12. Determine todos los puntos de intersección de los 2 círculos definidos por las ecuaciones
    (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4
    (x - 1)2 + (y - 1)2 = 4

  13. Si se agrega 200 a un entero positivo I, el resultado es un número cuadrado. Si se agrega 276 al mismo número entero I, se obtiene otro número cuadrado. Calcular I.

  14. La suma de los primeros tres términos de una secuencia geométrica es igual a 42. La suma de los cuadrados de los mismos términos es igual a 1092. Encuentra los tres términos de la secuencia.

  15. Una roca se deja caer en un pozo de agua y viaja aproximadamente 16 t 2 en t segundos. Si el chasquido se escucha 3,5 segundos más tarde y la velocidad del sonido es de 1087 pies / segundo, entonces, ¿cuál es la altura del pozo?

  16. Dos barcos en las orillas opuestas de un río comienzan a moverse el uno hacia el otro. Primero se cruzan 1400 metros desde un banco. Cada uno de ellos continúa hacia la orilla opuesta, gira de inmediato y vuelve al otro banco. Cuando se cruzan por segunda vez, están a 600 metros del otro banco. Suponemos que cada bote viaja a una velocidad constante durante todo el viaje. Calcule el ancho del río?

  17. Calcule las constantes a y b para que las 4 líneas cuya ecuación estén dadas por
    x + y = -1
    -x + 3y = -11
    ax + by = 4
    2ax - by = 2
    pasar por el mismo punto.

  18. Cálculo del área del triángulo rectángulo que se muestra a continuación.

    problem 17 .


  19. Le toma a la bomba A 2 horas menos tiempo que la bomba B vaciar una piscina. La bomba A se inicia a las 8:00 a.m. y la bomba B se inicia a las 10:00 a.m. a las 12:00 p.m. El 60% de la piscina está vacía cuando la bomba B se averió. Cuanto tiempo despues de las 12:00 p.m. ¿Tomaría la bomba A para vaciar la piscina?

  20. El número de alumnos en la escuela A es igual a la mitad del número de alumnos en la escuela B. La proporción de niños en la escuela A y los niños en la escuela B es de 1: 3 y la proporción de niñas en la escuela A y las niñas en la escuela B es 3: 5. El número de niños en la escuela B es 200 más alto que el número de niños en la escuela A. Calcule el número de niños y niñas en cada escuela.

  21. Cuatro bombas grandes y 2 pequeñas pueden llenar una piscina en 2 horas. Dos bombas grandes y 6 pequeñas también pueden llenar la misma piscina en 2 horas. ¿Cuánto tiempo lleva 8 bombas grandes y 8 pequeñas para llenar el 50% de la piscina? (NOTA: todas las bombas grandes tienen la misma potencia y todas las bombas pequeñas tienen la misma potencia).

Soluciones a las preguntas anteriores
    1. Deje que R y r sean la tasa de trabajo de las bombas grande y pequeña respectivamente.
    2. 4 (2R + r) = 1; 2 trabajos grandes y 1 trabajo pequeño durante 4 horas para hacer 1 trabajo.
    3. 4 (R + 3r) = 1; 1 trabajo grande y 3 trabajos pequeños durante 4 horas para hacer 1 trabajo.
    4. T (4R + 4r) = 1; Encuentre el tiempo T si 4 grandes y 4 pequeños son para hacer un trabajo.
    5. Resuelve para R y R el sistema de las dos primeras ecuaciones, luego sustituye en el tercero y resuelve para T para encontrar el tiempo. T = 5/3 horas = 1 hora 40 minutos.

    1. x + y + H = 60; perímetro, x, y y H son las dos patas y la hipotenusa del triángulo rectángulo
    2. (1/2) xy = 150; zona
    3. x 2 + y 2 = H 2 ; Teorema de Pitágoras.
    4. 3 ecuaciones con 3 incógnitas.
    5. (x + y) 2 - 2xy = H 2 ; completando el cuadrado en la tercera ecuación.
    6. x + y = 60 - H; expresa x + y usando la primera ecuación y usa la segunda ecuación para hallar xy = 300 y sustituirla en la ecuación 5.
    7. (60 - H) 2 - 600 = H 2 ; una ecuación con una desconocida.
    8. Resuelve para H para encontrar H = 25 cm. Sustituye y resuelve para x e y para hallar x = 15 cm y y = 20 cm.

    1. √((-6 + 2)2 + (0 + 3)2) = √((a + 3)2 + (0 + 2)2) ; las distancias desde el centro a cualquier punto del círculo son iguales.
    2. a = -3 + √(21) , a = -3 - √(21) ; resolver por a y encontrar dos soluciones.
    3. √ ((- 6 + 2) 2 + (0 + 3) 2 ) = √ ((a + 3) 2 + (0 + 2) 2 ); las distancias desde el centro a cualquier punto del círculo son iguales.
    4. a = -3 + √ (21), a = -3 - √ (21); resolver por a y encontrar dos soluciones.

    1. (- 2, -1): centro del círculo
    2. m = (2 - (-1)) / (0 - (-2)) = 3/2 ; pendiente de la línea a través del centro y el punto de tangencia (0, 2)
    3. La línea a través del centro y el punto de tangencia (0, 2) es perpendicular a la tangente.
    4. M = -2 / 3 ; pendiente de la tangente
    5. y = - (2/3) x + 2 ; ecuación de tangente dada su pendiente y punto (0, 2).

    1. 3 C 2 * 8 C 6 * 1 = 84: uso del teorema fundamental del conteo

    1. x 2 - 3 | x - 2 | - 4x = - 6 ; dado
    2. Deje Y = x - 2 que da x = Y + 2
    3. (Y + 2) 2 - 3 | Y | - 4 (Y + 2) = - 6 ; sustituir en la ecuación anterior
    4. Y 2 - 3 | Y | + 2 = 0
    5. Y 2 = | Y | 2 ; nota
    6. | Y | 2 - 3 | Y | + 2 = 0 ; reescribe la ecuación como
    7. (| Y | - 2) (| Y | - 1) = 0
    8. | Y | = 2, | Y | = 1 ; resolver por | Y |
    9. Y = 2, -2, 1, -1 ; resolver para Y
    10. x = 4, 0, 3, 1 ; resuelve para x usando x = Y + 2.

    1. h = - b / 2a = 2 ; coordenada x del vértice de la parábola
    2. k = - (2) 2 + 4 (2) + C = 4 + C ; coordenada y del vértice
    3. x = (2 + √ (4 + C)), x = (2 - √ (4 + C)) ; las dos x interceptaciones de la parábola.
    4. longitud de BA = k = 4 + C
    5. longitud de AC = 2 + √ (4 + C) - 2 = √ (4 + C)
    6. área = (1/2) BA * AC = (1/2) (4 + C) * √ (4 + C)
    7. (1/2) (4 + C) * √ (4 + C) = 32: el área es igual a 32
    8. C = 12 ; resuelve arriba para C.

    1. problem 8

    2. A (0,0), B (2k / 5, 4k / 5), C (2k, 0) ; puntos de intersección de los 3 puntos de intersección de las 3 líneas
    3. (1/2) * (4k / 5) * (2k) = 80 ; área dada
    4. k = 10 ; resuelve la ecuación anterior para k, k positivo es una condición dada.

    1. y = a (x + 2) (x - 3) ; ecuación de la parábola en forma factorizada.
    2. 10 = a (5 + 2) (5 - 2) ; (5, 10) es un punto en la gráfica de la parábola y por lo tanto satisface la ecuación de la parábola.
    3. a = 5/7 ; resuelve la ecuación anterior para a.

    1. Divide x (3 + 3x 2 -2Ax + 3) por (x 2 + 1) para obtener un resto = -x (1 + 2A)
    2. -x (1 + 2A) = 5x ; resto dado
    3. - (1 + 2A) = 5 ; los polinomios son iguales si su área de coeficiente correspondiente es igual.
    4. A = -3

    1. P (1) = 1 5 + 2 (1 3 ) + A * (1) + B = 2 ; teorema del resto
    2. P (-3) = (-3) 5 + 2 (-3) 3 + A * (- 3) + B = -314
    3. A = 4 y B = -5 ; resuelve los sistemas de ecuaciones anteriores.

    1. x 2 - 4x + 2 + y 2 - 4y + 2 = 4: expande la ecuación del primer círculo
    2. x 2 - 2x + 1 + y 2 - 2y + 1 = 4: expande la ecuación del segundo círculo
    3. -2x - 2y - 6 = 0 ; resta los términos de la izquierda y la derecha de las ecuaciones anteriores
    4. y = 3 - x ; resuelve lo anterior para y.
    5. 2x 2 - 6x + 1 = 0 ; sustituye y por 3 - x en la primera ecuación, expande y agrupa como términos.
    6. (3/2 + √ (7) / 2, 3/2 - √ (7) / 2), (3/2 - √ (7) / 2, 3/2 + √ (7 ) / 2) ; resuelve lo anterior para x y usa y = 3 - x para encontrar y.

    1. I + 200 = A 2 ; 200 agregado a I (entero desconocido) da un cuadrado.
    2. I + 276 = B 2 ; 276 agregado a I (entero desconocido) da otro cuadrado.
    3. B 2 = A 2 + 76 ; eliminé I de las dos ecuaciones.
    4. agregue cuadrados A 2 (0, 1, 4, 9, 16, 25, ...) a 76 hasta que obtenga otro cuadrado B 2 .
    5. 76 + 18 2 = 400 = 20 2
    6. A 2 = 18 2 y B 2 = 20 2
    7. I = A 2 - 200 = 124

    1. sum1 = a + a r + a r 2 = 42 ; la suma de los tres términos dados, r es la razón común.
    2. sum2 = a 2 + a 2 r 2 + ar 2 r 4 = 1092 ; la suma de los cuadrados de los tres términos dados.
    3. sum1 = a + ar + ar 2 = a (r 3 - 1) / (r - 1) = 42: aplicar fórmula para una suma finita de geometría serie.
    4. sum2 = a 2 + a 2 r 2 + ar 2 r 4 = a 2 (r 6 - 1) / (r 2 - 1) = 1092 ; la suma de los cuadrados es también una suma de series geométricas.
    5. sum2 / sum1 2 = 1092/42 2 = [a 2 (r 6 - 1) / (r 2 - 1)] / [a 2 (r 3 - 1) 2 / (r - 1) 2 ]
    6. (r 2 - r + 1) / (r 2 + r + 1) = 1092/42 2
    7. r = 4, r = 1/4 ; resolver para r
    8. a = 2 ; sustituye r = 4 y resuelve por un
    9. a = 32 ; sustituye r = 1/4 y resuelve por un
    10. a = 2, ar = 8, ar 2 = 32 ; encuentra los tres términos para r = 4
    11. a = 32, ar = 8, ar 2 = 2 ; encuentre los tres términos para r = 1/4

    1. T1 + T2 = 3.5 ; tiempo T1 para que la roca llegue al fondo del pozo y tiempo T2 para que el sonido llegue a la parte superior del pozo.
    2. 16 * T1 2 = 1087 * T2 ; la misma distancia que la altura del pozo.
    3. T2 = 3.5 - T1 ; resuelve para T2
    4. 16 * T1 2 = 1087 * (3.5 - T1)
    5. T1 = 3,34 segundos
    6. Altura = 16 * (3.34) 2 = 178 pies (a la unidad más cercana)

    1. problem 16.

    2. S1 * t1 = 1400: velocidad S1 del barco 1, t1 ; tiempo para hacer 1400 metros (bote 1)
    3. 1400 + S2 * t1 = X ; velocidad S2 del barco 2
    4. S1 * t2 = X + 600 ; t2 tiempo para hacer X + 600 (bote 2)
    5. S2 * t2 = 2X - 600
    6. S1 = 1400 / t1
    7. S2 = (X-1400) / t1
    8. T = t2 / t1 ; definición
    9. sustituye S1, S2 y t2 / t1 usando las expresiones anteriores en las ecuaciones 3 y 4 para obtener
    10. 1400 * T = X + 600
    11. X * T - 1400 * T = 2X - 600 ; 2 ecuaciones 2 incógnitas
    12. Elimina T y resuelve para X para obtener X = 3600 metros.

    1. resuelve el sistema de las dos primeras ecuaciones para obtener la solución (2, -3)
    2. La solución anterior también es una solución a las dos últimas ecuaciones.
    3. a (2) + b (-3) = 4
    4. 2a (2) - b (-3) = 2
    5. a = 1 yb = -2/3 ; solución al sistema de ecuaciones anterior.


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