Domina las matemáticas de grado 12: 21 problemas y soluciones integrales
Resolución de problemas avanzados para estudiantes de último año de preparatoria
Se presentan problemas de matemáticas de grado 12 con soluciones detalladas. Estos problemas están diseñados para desafiar y mejorar tus habilidades analíticas. En este sitio web se incluyen más exámenes de práctica de matemáticas de grado 12.
Problema 1
Dos bombas grandes y 1 pequeña pueden llenar una piscina en 4 horas. Una bomba grande y 3 pequeñas también pueden llenar la misma piscina en 4 horas. ¿Cuántas horas tardarán 4 bombas grandes y 4 pequeñas en llenar la piscina? (Suponemos que todas las bombas grandes son similares y todas las bombas pequeñas también son similares).
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Sean \(R\) y \(r\) la tasa de trabajo de las bombas grandes y pequeñas respectivamente.
\(4(2R + r) = 1\): 2 grandes y 1 pequeña trabajan durante 4 horas para realizar 1 trabajo.
\(4(R + 3r) = 1\): 1 grande y 3 pequeñas trabajan durante 4 horas para realizar 1 trabajo.
\(T(4R + 4r) = 1\): Encuentra el tiempo \(T\) si 4 grandes y 4 pequeñas realizan un trabajo.
Resuelve el sistema de las dos primeras ecuaciones para \(R\) y \(r\), luego sustituye en la tercera y resuelve para \(T\): \(T = \dfrac{5}{3}\) horas = 1 hora y 40 minutos.
Problema 2
Encuentra todos los lados de un triángulo rectángulo cuyo perímetro es igual a 60 cm y su área es igual a 150 cm cuadrados.
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\(x + y + H = 60\): perímetro; \(x\), \(y\) y \(H\) son los dos catetos y la hipotenusa del triángulo rectángulo.
\(\dfrac{1}{2}xy = 150\): área.
\(x^2 + y^2 = H^2\): Teorema de Pitágoras.
3 ecuaciones con 3 incógnitas.
\((x + y)^2 - 2xy = H^2\): completando el cuadrado en la tercera ecuación.
\(x + y = 60 - H\): expresa \(x + y\) usando la primera ecuación y usa la segunda para encontrar \(xy = 300\), sustituyendo en la ecuación 5.
\((60 - H)^2 - 600 = H^2\): una ecuación con una incógnita.
Resuelve para \(H\) y obtén \(H = 25\) cm. Sustituye y resuelve para \(x\) e \(y\) para obtener \(x = 15\) cm y \(y = 20\) cm.
Problema 3
Un círculo de centro (-3, -2) pasa por los puntos (0, -6) y (a, 0). Encuentra a.
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\(\sqrt{((-6 + 2)^2 + (0 + 3)^2)} = \sqrt{((a + 3)^2 + (0 + 2)^2)}\): las distancias desde el centro a cualquier punto del círculo son iguales.
\(25 = (a + 3)^2 + 4\): Simplifica y eleva al cuadrado ambos lados.
\((a + 3)^2 = 21\): Reescribe la ecuación anterior.
Resuelve para \(a\):
\(a = -3 + \sqrt{21}\) o \(a = -3 - \sqrt{21}\)
Problema 4
Encuentra la ecuación de la tangente en (0, 2) al círculo con ecuación:
\((x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 13\)
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(-2, -1): centro del círculo.
\(m = \dfrac{2 - (-1)}{0 - (-2)} = \dfrac{3}{2}\): pendiente de la línea que pasa por el centro y el punto de tangencia (0, 2).
La línea que pasa por el centro y el punto de tangencia es perpendicular a la tangente.
\(M = -\dfrac{2}{3}\): pendiente de la tangente.
\(y = -\dfrac{2}{3}x + 2\): ecuación de la tangente dada su pendiente y el punto (0, 2).
Problema 5
Un examen consta de tres partes. En la parte A, un estudiante debe responder 2 de 3 preguntas. En la parte B, un estudiante debe responder 6 de 8 preguntas y en la parte C, debe responder todas las preguntas. ¿Cuántas opciones de preguntas tiene el estudiante?
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\(_{3}C_{2} \times _{8}C_{6} \times 1 = 84\): Uso del teorema fundamental del conteo.
Problema 6
Resuelve para x la ecuación \[ x^2 - 3|x - 2| - 4x = - 6 \]
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\( x^2 - 3|x - 2| - 4x = - 6 \) : dado.
Sea \( Y = x - 2 \) lo que resulta en \( x = Y + 2 \).
\( (Y + 2)^2 - 3|Y| - 4(Y + 2) = - 6 \) : sustituye \( x \) por \( Y + 2 \) en la ecuación dada.
\( Y^2 - 3|Y| + 2 = 0 \)
\( Y^2 = |Y|^2 \) : nota.
\( |Y|^2 - 3|Y| + 2 = 0 \): reescribe la ecuación como.
\( (|Y| - 2)(|Y| - 1) = 0 \): factoriza.
\( |Y| = 2 , |Y| = 1 \) : resuelve para \( |Y| \).
\( Y = 2, -2 , 1 , -1 \) : resuelve para \( Y \).
\( x = 4 , 0 , 3 , 1 \) : resuelve para \( x \) usando \( x = Y + 2\).
Problema 7
El triángulo rectángulo ABC que se muestra a continuación está inscrito dentro de una parábola. El punto B es también el punto máximo de la parábola (vértice) y el punto C es la intersección en x de la parábola. Si la ecuación de la parábola está dada por \( y = -x^2 + 4 x + C \), encuentra \( C \) para que el área del triángulo ABC sea igual a \( 32 \) unidades cuadradas.
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\( h = \dfrac{-b}{2a} = 2 \): coordenada x del vértice de la parábola.
\( k = -(2)^2 + 4(2) + C = 4 + C \): coordenada y del vértice.
\( x = (2 + \sqrt{4 + C}), x = (2 - \sqrt{4 + C}) \): las dos intersecciones x de la parábola.
Longitud de \( BA = k = 4 + C \)
Longitud de \( AC = (2 + \sqrt{4 + C}) - 2 = \sqrt{4 + C}\)
\( \text{Área} = \dfrac{1}{2} BA \times AC = \dfrac{1}{2} (4 + C) \times \sqrt{4 + C} \)
\( \dfrac{1}{2} (4 + C) \times \sqrt{4 + C} = 32 \): el área es igual a 32.
\( C = 12 \): resuelve lo anterior para \( C \).
Problema 8
El triángulo delimitado por las líneas \( y = 0\), \(y = 2x \) y \( y = -0.5x + k \), con \( k \) positivo, es igual a \( 80 \) unidades cuadradas. Encuentra \( k \).
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\( A(0,0) \), \( B(2k/5 , 4k/5) \), \( C(2k ,0) \): puntos de intersección de las 3 líneas.
Área = \( (1/2) \times (4k/5) \times (2k) = 80 \): dado.
\( k = 10 \): resuelve la ecuación anterior para \( k \) positivo.
Problema 9
Una parábola tiene dos intersecciones en \( x \) en \( (-2 , 0) \) y \( (3 , 0) \) y pasa por el punto \( (5 , 10) \). Encuentra la ecuación de esta parábola.
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\(y = a(x + 2)(x - 3) \): Usa las intersecciones x para escribir la ecuación de la parábola en forma factorizada.
\( 10 = a(5 + 2)(5 - 3) \) dado que \( (5 , 10) \) es un punto en la gráfica de la parábola y por lo tanto satisface su ecuación.
\( a = 5/7 \): resuelve la ecuación anterior para a.
Problema 10
Cuando el polinomio \( P(x) = x^3 + 3 x^2 -2 A x + 3 \), donde \( A \) es una constante, se divide por \( x^2 + 1 \), obtenemos un resto igual a \( 5 x \). Encuentra \( A \).
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La división de \( x^3 + 3 x^2 -2 A x + 3 \) por \( x^2 + 1 \) da el resto \( -x (1 + 2 A) \)
\( - x (1 + 2A) = 5 x \): El resto se da como \( 5 x \).
\( -(1 + 2A) = 5 \): los polinomios son iguales si sus coeficientes correspondientes son iguales.
\( A = -3 \): Resuelve lo anterior para \( A \).
Problema 11
Cuando se divide por \( x - 1 \), el polinomio \( P(x) = x^5 + 2 x^3 + A x + B \), donde \( A \) y \( B \) son constantes, tiene un resto igual a \( 2 \). Cuando \( P(x) \) se divide por \( x + 3 \), el resto es igual a \( -314 \). Encuentra \( A \) y \( B \).
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\( P(1) = 1^5 + 2(1^3) + A \times (1) + B = 2 \): teorema del resto.
\( P(-3) = (-3)^5 + 2(-3)^3 + A \times (-3) + B = -314 \): teorema del resto.
lo cual da el sistema de ecuaciones en \( A \) y \( B \):
\[ A + B = -1 \] \[ -3 A + B = -17 \]\( A = 4 \) y \( B = -5 \): resuelve el sistema de ecuaciones anterior.
Problema 12
Encuentra todos los puntos de intersección de los 2 círculos definidos por las ecuaciones:
\( (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4 \)
\( (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4 \)
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\( x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 4 \): expande la ecuación del primer círculo.
\( x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 4 \): expande la ecuación del segundo círculo.
\( -2x - 2y + 6 = 0 \): resta los términos de la izquierda y la derecha de las ecuaciones anteriores.
\( y = 3 - x \): resuelve lo anterior para \( y \).
\( 2x^2 - 6x + 1 = 0 \): sustituye \( y \) por \( 3 - x \) en la primera ecuación, expande y agrupa términos semejantes.
\(\left(\dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{7}}{2} , \dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{7}}{2} \right), \left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{7}}{2} , \dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{7}}{2} \right)\): resuelve lo anterior para \(x \) y usa \( y = 3 - x \) para encontrar y.
Problema 13
Si se suma \( 200 \) a un entero positivo \( I \), el resultado es un número cuadrado. Si se suma \( 276 \) al mismo entero \( I \), se obtiene otro número cuadrado. Encuentra \( I \).
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\( I + 200 = A^2 \): se suma 200 a \( I \) y da un cuadrado.
\( I + 276 = B^2 \): se suma 276 a \( I \) y da otro cuadrado.
\( B^2 = A^2 + 76 \): elimina \( I \) de las dos ecuaciones.
Suma cuadrados \( A^2 \) (0, 1, 4, 9, 16, 25,...) a 76 hasta que obtengas otro cuadrado \( B^2 \).
\( 76 + 18^2 = 400 = 20^2 \)
\( A^2 = 18^2 \) y \( B^2 = 20^2 \)
\( I = A^2 - 200 = 124 \)
Problema 14
La suma de los tres primeros términos de una secuencia geométrica es igual a \( 42 \). La suma de los cuadrados de los mismos términos es igual a \( 1092 \). Encuentra los tres primeros términos de la secuencia.
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\(sum_1 = a + a r + a r^2 = 42\): la suma de los tres primeros términos dados, \( r \) es la razón común.
\( sum_2 = (a)^2 + (a r)^2 + (a r^2)^2 = 1092\): la suma de los cuadrados de los tres términos dados.
\( sum_1 = a + ar + a r^2 = \dfrac{ a(r^3 - 1) }{r-1} = 42 \): aplica la fórmula para la suma finita de series geométricas.
\( sum_2 = a^2 + a^2 r^2 + a^2 r^4 = \dfrac{a^2 (r^6 - 1) }{(r^2 - 1) } = 1092 \): la suma de cuadrados también es una suma de series geométricas.
\( \dfrac{sum_2}{(sum_1)^2} = \dfrac{ 1092}{42^2 } = \dfrac{\dfrac{a^2(r^6 - 1)}{r^2 - 1}}{\dfrac{a^2 (r^3 - 1)^2}{(r - 1)^2}}\): define la razón.
\( \dfrac{r^2 - r + 1}{r^2 + r + 1} = \dfrac{1092}{42^2} \): Simplifica la razón anterior para obtener una ecuación.
\( r = 4 , r = 1/4 \): resuelve para \( r \).
\( a = 2 \): sustituye \( r = 4 \) en \( sum_1\) y resuelve para \( a \).
\( a = 32 \): sustituye \( r = 1/4 \) en \( sum_1\) y resuelve para \( a \).
\( a = 2 , a r = 8 , a r^2 = 32 \): encuentra los tres términos para \( r = 4 \).
\( a = 32 , a r = 8 , a r^2 = 2 \): encuentra los tres términos para \( r = 1/4 \).
Problema 15
Una roca se deja caer en un pozo de agua y viaja aproximadamente \( 16 t^2 \) pies en \( t \) segundos. Si el chapoteo se escucha \( 3.5 \) segundos después y la velocidad del sonido es de \( 1087 \) pies/segundo, ¿cuál es la altura del pozo?
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\( T_1 + T_2 = 3.5 \): donde \( T_1 \) es el tiempo para que la roca llegue al fondo del pozo, y \( T_2 \) es el tiempo para que el sonido llegue a la parte superior del pozo.
\( 16 \times T_1^2 = 1087 \times T_2 \): Dado que ambos términos representan la misma distancia, que es la altura del pozo.
Resolviendo para \( T_2 \): \( T_2 = 3.5 - T_1 \)
Sustituyendo \( T_2 \) en la ecuación: \( 16 \times T_1^2 = 1087 \times (3.5 - T_1) \)
Resolviendo para \( T_1 \): \( T_1 = 3.34 \text{ segundos} \)
Finalmente, calculando la altura del pozo: \( \text{Altura} = 16 \times (3.34)^2 = 178 \text{ pies} \) (redondeado a la unidad más cercana).
Problema 16
Dos barcos en orillas opuestas de un río comienzan a moverse el uno hacia el otro. Se cruzan por primera vez a \( 1400 \) metros de una orilla. Cada uno continúa hasta la orilla opuesta, da la vuelta inmediatamente y comienza a regresar a la otra orilla. Cuando se cruzan por segunda vez, están a \( 600 \) metros de la otra orilla. Asumimos que cada barco viaja a una velocidad constante durante todo el viaje. ¿Cuál es el ancho del río?
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\( S_1 \times t_1 = 1400 \): \( S_1 \) es la velocidad del barco 1, \( t_1 \) es el tiempo para recorrer 1400 metros.
\( 1400 + S_2 \times t_1 = X \): \( S_2 \) es la velocidad del barco 2, \( X \) es el ancho.
\( S_1 \times t_2 = X + 600 \): \( t_2 \) es el tiempo para recorrer \( X + 600 \) metros para el barco 1.
\( S_2 \times t_2 = 2X - 600 \)
\( S_1 = \dfrac{1400}{t_1} \)
\( S_2 = \dfrac{X - 1400}{t_1} \)
Sea \( T = \dfrac{t_2}{t_1} \)
Sustituyendo en las ecuaciones: \( 1400 \times T = X + 600 \) y \( X \times T - 1400 \times T = 2X - 600 \)
Resolviendo el sistema para \( X \): \( X = 3600 \text{ metros} \).
Problema 17
Encuentra las constantes \( a \) y \( b \) para que las 4 líneas cuyas ecuaciones se dan a continuación pasen por el mismo punto.
\( x + y = - 1 \)
\( - x + 3 y = - 11 \)
\( a x + b y = 4 \)
\( 2 a x - b y = 2 \)
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Resuelve el sistema de las dos primeras ecuaciones para obtener la solución \( (2, -3) \).
El punto \( (2, -3) \) debe satisfacer las dos últimas ecuaciones:
\( a(2) + b(-3) = 4 \)
\( 2a(2) - b(-3) = 2 \)
Resolviendo para \( a \) y \( b \): \( a = 1, b = -\dfrac{2}{3} \).
Problema 18
Encuentra el área del triángulo rectángulo que se muestra a continuación.
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La pendiente de \( AB \) es \( -3 \) ya que es perpendicular a \( OB \) (pendiente \( 1/3 \)).
Ecuación de \( AB \): \( y - 5 = -3(x - 5) \implies y = -3x + 20 \).
Punto \( B \): resuelve \( y = -3x + 20 \) y \( y = x/3 \implies B(6,2) \).
Punto \( A \): resuelve \( y = -3x + 20 \) y \( y = 2x \implies A(4,8) \).
\( \overline{OB} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40} \)
\( \overline{AB} = \sqrt{(6-4)^2 + (2-8)^2} = \sqrt{40} \)
\( \text{Área} = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{40} \times \sqrt{40} = 20 \).
Problema 19
La bomba A tarda 2 horas menos que la bomba B en vaciar una piscina. La bomba A se enciende a las 8:00 a.m. y la bomba B a las 10:00 a.m. A las 12:00 p.m. el 60% de la piscina está vacía cuando la bomba B se avería. ¿Cuánto tiempo después de las 12:00 p.m. tardaría la bomba A en vaciar la piscina?
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Sea \( t \) el tiempo de B; A tarda \( t - 2 \). A trabaja 4h, B trabaja 2h.
\( \dfrac{4}{t - 2} + \dfrac{2}{t} = 0.6 \implies 4t + 2(t - 2) = 0.6t(t - 2) \)
\( 0.6t^2 - 7.2t + 4 = 0 \). Solución válida \( t = 6 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3} \).
Tiempo de la bomba A \( t - 2 = 4 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3} \).
Tiempo para el 40% restante: \( \text{Tiempo} = 0.4 \times (4 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3}) \approx 3.766 \text{ horas} \).
Problema 20
El número de alumnos en la escuela A es igual a la mitad del número de alumnos en la escuela B. La razón de niños en la escuela A y niños en la escuela B es \( 1 : 3 \) y la razón de niñas en la escuela A y niñas en la escuela B es \( 3 : 5 \). El número de niños en la escuela B es 200 más alto que el número de niños en la escuela A. Encuentra el número de niños y niñas en cada escuela.
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\( x = y/2 \). \( b_B = 3b_A \). Dado \( b_B = b_A + 200 \implies 2b_A = 200 \implies b_A = 100, b_B = 300 \).
\( g_B = \dfrac{5}{3} g_A \). Dado \( 2(100 + g_A) = 300 + g_B \):
\( 200 + 2g_A = 300 + \dfrac{5}{3}g_A \implies \dfrac{1}{3}g_A = 100 \implies g_A = 300, g_B = 500 \).
Escuela A: 100 niños, 300 niñas. Escuela B: 300 niños, 500 niñas.
Problema 21
Cuatro bombas grandes y 2 pequeñas pueden llenar una piscina en 2 horas. Dos bombas grandes y 6 pequeñas también pueden llenar la misma piscina en 2 horas. ¿Cuánto tiempo tardan 8 bombas grandes y 8 pequeñas en llenar el 50% de la piscina?
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\( 2(4L + 2S) = 1 \) y \( 2(2L + 6S) = 1 \). Resolviendo: \( L = 1/10, S = 1/20 \).
Tasa total para 8L y 8S: \( 8(1/10) + 8(1/20) = 6/5 \) de una piscina por hora.
Tiempo para el 50%: \( \dfrac{6}{5}t = 0.5 \implies t = 5/12 \text{ horas} = 25 \text{ minutos} \).