Problemas sobre Rectas en 3D con Soluciones Detalladas

Dado: \[ \langle x, y, z \rangle = \langle -2, 3, 0 \rangle + t \langle 3, 2, 5 \rangle \] Igualdad de componentes vectoriales de la ecuación vectorial anterior da: \[ x = -2 + 3t, \quad y = 3 + 2t, \quad z = 0 + 5t \] Resuelve para \( t \) de cada una de las anteriores: \[ t = \dfrac{x + 2}{3}, \quad t = \dfrac{y - 3}{2}, \quad t = \dfrac{z}{5} \] Todas iguales a \( t \), por lo tanto la forma simétrica de la ecuación: \[ \dfrac{x + 2}{3} = \dfrac{y - 3}{2} = \dfrac{z}{5} \]

\[ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle 2, 0, -3 \rangle \] \[ \text{Igualdad de componentes vectoriales:} \quad x = 1 + 2t, \quad y = -2, \quad z = 3 - 3t \] \[ \text{Resuelve para } t: \quad t = \dfrac{x - 1}{2}, \quad t = \dfrac{z - 3}{-3} \] \[ \text{Forma simétrica:} \quad \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{z - 3}{-3}, \quad y = -2 \]

Vector director \( \vec{PQ} = \langle 0 - 1 , -2 - 2 , 1 - 3 \rangle = \langle -1 , -4 , -2 \rangle \) \[ \langle x , y , z \rangle = \langle 1 , 2 , 3 \rangle + t \langle -1 , -4 , -2 \rangle \] Igualdad de componentes vectoriales de la ecuación vectorial anterior da: \[ x = 1 - t, \quad y = 2 - 4t, \quad z = 3 - 2t \]

Escribe la recta dada \( x = 2t + 5 \), \( y = -4t \) y \( z = -t + 3 \). En forma simétrica: \[ \dfrac{x - 5}{2} = \dfrac{y}{-4} = \dfrac{z - 3}{-1} \] El vector director es: \( \langle 2, -4, -1 \rangle \) La recta que pasa por el punto \( P(-3, 5, 2) \) es paralela a la recta dada y por lo tanto tienen el mismo vector director. Por lo tanto, la ecuación vectorial de la recta que pasa por \( P \): \[ x = -3 + 2t, \quad y = 5 - 4t, \quad z = 2 - t \]

La recta \( L \) (por encontrar) es perpendicular a las rectas \( L_1 \) y \( L_2 \), y por lo tanto es perpendicular a sus vectores directores \( \vec{d}_1 \) y \( \vec{d}_2 \), respectivamente. Por lo tanto, el producto cruz de \( \vec{d}_1 \) y \( \vec{d}_2 \) da el vector director de la recta \( L \).

De la ecuación simétrica de \( L_1 \), el vector director es: \[ \vec{d}_1 = \langle 3, -4, 4 \rangle \]

Escribe la ecuación de \( L_2 \) en forma simétrica: \[ \dfrac{x + 4}{3} = \dfrac{y - 6}{-1} = \dfrac{z}{5} \] El vector director de \( L_2 \) es: \[ \vec{d}_2 = \langle 3, -1, 5 \rangle \]

El vector director de la recta \( L \) puede tomarse como el producto cruz: \[ \vec{d} = \vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \langle 3, -4, 4 \rangle \times \langle 3, -1, 5 \rangle = \langle -16, -3, 9 \rangle \] La ecuación para la recta \( L \) que pasa por el punto \( P(1, -2, 3) \) y es paralela al vector \( \vec{d} \) está dada por: \[ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle -16, -3, 9 \rangle \]

La recta \( L_1 \) está dada por las ecuaciones paramétricas: \[ x = 2t - 1, \quad y = -3t + 2, \quad z = 4t - 3 \]

Escribe las ecuaciones de la recta \( L_2 \) en forma paramétrica usando el parámetro \( s \) como sigue: \[ x = 4s + 7, \quad y = 2s - 2, \quad z = -3s + 2 \]

Sea \( A(x, y, z) \) el punto de intersección de las dos rectas. Para ser un punto de intersección, las coordenadas de \( A \) deben satisfacer las ecuaciones de ambas rectas simultáneamente. Por lo tanto:

Igualando las coordenadas \( x \) se obtiene la ecuación: \[ 2t - 1 = 4s + 7 \quad (1) \]

Igualando las coordenadas \( y \) se obtiene la ecuación: \[ -3t + 2 = 2s - 2 \quad (2) \]

Igualando las coordenadas \( z \) se obtiene la ecuación: \[ 4t - 3 = -3s + 2 \quad (3) \]

Reescribe las ecuaciones (1) y (2) en términos de \( t \) y \( s \) como sigue: \[ 2t - 4s = 8 \quad \text{y} \quad -3t - 2s = -4 \]

Resuelve para \( t \) y \( s \) para obtener: \[ t = 2 \quad \text{y} \quad s = -1 \]

Para tener una intersección, \( t = 2 \) y \( s = -1 \) también deben satisfacer la ecuación (3): \[ 4t - 3 = -3s + 2 \]

Comprobación: \[ \text{Lado izquierdo de la ecuación (3):} \quad 4(2) - 3 = 5 \] \[ \text{Lado derecho de la ecuación (3):} \quad -3(-1) + 2 = 5 \] Por lo tanto, \( t = 2 \) y \( s = -1 \) son soluciones para las tres ecuaciones.

El punto de intersección se obtiene sustituyendo en una de las ecuaciones paramétricas de \( L_1 \) o \( L_2 \).

Usando \( L_1 \): Establece \( t = 2 \) en las ecuaciones: \[ x = 2t - 1, \quad y = -3t + 2, \quad z = 4t - 3 \] para obtener las coordenadas del punto de intersección: \[ x = 3, \quad y = -4, \quad z = 5 \]

Usando \( L_2 \) (para verificar): Sustituye \( s = -1 \) en \[ x = 4s + 7, \quad y = 2s - 2, \quad z = -3s + 2 \] dando las coordenadas del punto de intersección: \[ x = 3, \quad y = -4, \quad z = 5 \]

Sean \( \mathbf{d}_1 \) y \( \mathbf{d}_2 \) los vectores directores de las rectas \( L_1 \) y \( L_2 \).

Para \( L_1 \): \[ \mathbf{d}_1 = \langle 2, -2, -4 \rangle \]

Para \( L_2 \): \[ \mathbf{d}_2 = \langle 6, 2, 2 \rangle \]

El ángulo \( \theta \) entre las rectas \( L_1 \) y \( L_2 \) es igual al ángulo entre sus vectores directores \( \mathbf{d}_1 \) y \( \mathbf{d}_2 \), dado por \[ \theta = \arccos\left( \dfrac{ \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 }{ |\mathbf{d}_1| \, |\mathbf{d}_2| } \right) \] donde \( \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 \) es el producto escalar (punto) de los vectores \( \mathbf{d}_1 \) y \( \mathbf{d}_2 \).

\( |\mathbf{d}_1| \) es la magnitud del vector \( \mathbf{d}_1 \), y \( |\mathbf{d}_2| \) es la magnitud del vector \( \mathbf{d}_2 \).

\[ \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 = (2)(6) + (-2)(2) + (-4)(2) = 0 \]

Dado que tanto \( |\mathbf{d}_1| \) como \( |\mathbf{d}_2| \) son distintos de cero, \[ \theta = \arccos(0) = 90^\circ \]

Si las rectas se intersecan, forman un ángulo recto de \( 90^\circ \). Si no se intersecan, las rectas alabeadas o paralelas alineadas con estas direcciones también forman un ángulo de \( 90^\circ \).

Una forma de abordar este problema es demostrar que las dos rectas \( L_1 \) y \( L_2 \) tienen dos puntos en común. Reescribe las dos ecuaciones en forma paramétrica como:

\[ L_1: \quad x = 2 - t, \quad y = 2t, \quad z = -1 + 4t \]

\[ L_2: \quad x = 1 - 2t, \quad y = 2 + 4t, \quad z = 3 + 8t \]

Punto \( P_1 \) en \( L_1 \): \( (2, 0, -1) \)

Punto \( P_2 \) en \( L_2 \): \( (1, 2, 3) \)

Comprueba que \( P_1(2, 0, -1) \) está en \( L_2 \) usando las ecuaciones simétricas de \( L_2 \): \[ \dfrac{2 - 1}{-2} = \dfrac{0 - 2}{4} = \dfrac{-1 - 3}{8} = -\dfrac{1}{2} \] Todos los términos son iguales, por lo que \( P_1 \) está en \( L_2 \).

Comprueba que \( P_2(1, 2, 3) \) está en \( L_1 \) usando las ecuaciones simétricas de \( L_1 \): \[ \dfrac{1 - 2}{-1} = \dfrac{2}{2} = \dfrac{3 + 1}{4} = 1 \] Todos los términos son iguales, por lo que \( P_2 \) está en \( L_1 \).

\( P_1 \) está en \( L_1 \) y \( L_2 \), y \( P_2 \) también está en \( L_1 \) y \( L_2 \). Las dos ecuaciones representan la misma recta.

Según la ecuación de la recta, el punto \( P(2, 3, 0) \) está en la recta. El vector director es \( \vec{d} = \langle -2, 3, 1 \rangle \).

La distancia \( D \) desde la recta al punto \( P_0(1, -2, 3) \) está dada por Distancia de un punto a una recta: \[ D = \dfrac{|\vec{P_0P} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|} \]

Sea \( \vec{P_0P} = \langle 1, 5, -3 \rangle \), y \( \vec{d} = \langle -2, 3, 1 \rangle \).

Entonces, \( \vec{P_0P} \times \vec{d} = \langle 14, 5, 13 \rangle \).

\[ |\vec{P_0P} \times \vec{d}| = \sqrt{14^2 + 5^2 + 13^2} = \sqrt{390} \]

\[ |\vec{d}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{14} \]

\[ D = \dfrac{\sqrt{390}}{\sqrt{14}} = \dfrac{\sqrt{195}}{\sqrt{7}} \]

Los puntos \( P_1(2, 0, -1) \) y \( P_2(1, -2, 3) \) son puntos en las rectas \( L_1 \) y \( L_2 \) respectivamente. Los vectores directores son \[ \mathbf{d}_1 = \langle -1, 4, -4 \rangle \quad \text{y} \quad \mathbf{d}_2 = \langle -5, 2, -2 \rangle \] para las rectas \( L_1 \) y \( L_2 \).

La distancia más corta \( D \) entre las dos rectas está dada por la fórmula: \[ D = \dfrac{|\mathbf{n} \cdot \overrightarrow{P_1P_2}|}{|\mathbf{n}|} \] donde \(\overrightarrow{P_1P_2}\) es el vector definido por los puntos \( P_1 \) y \( P_2 \), y \(\mathbf{n}\) es el producto cruz de \(\mathbf{d}_1\) y \(\mathbf{d}_2\).

\[ \mathbf{n} = \mathbf{d}_1 \times \mathbf{d}_2 = \langle -1, 4, -4 \rangle \times \langle -5, 2, -2 \rangle = \langle 0, 18, 18 \rangle \]

\[ \overrightarrow{P_1P_2} = \langle -1, -2, 4 \rangle \]

\[ D = \dfrac{| \langle 0, 18, 18 \rangle \cdot \langle -1, -2, 4 \rangle |}{\sqrt{0^2 + 18^2 + 18^2}} = \sqrt{2} \]

Los vectores directores deben ser proporcionales:
\[ \langle 10, b, 4 \rangle = k \langle -5, 2, -2 \rangle \]

De la primera componente:
\[ 10 = -5k, \quad k = -2 \]

De la tercera componente: \[ 4 = k(-2), \quad k = -2 \]

De la segunda componente:
\[ b = k(2) = -2 \times 2 = -4 \]

a) Ecuación de la recta a encontrar: \[ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle a, b, c \rangle \]

Perpendicular a: \[ \langle x, y, z \rangle = \langle -3, 3, -1 \rangle + m \langle 1, 1, 1 \rangle \]

Aplica condiciones para encontrar \(a\), \(b\), y \(c\).
La intersección da 3 ecuaciones:
\[ 1 + a t = -3 + m \] \[ -2 + b t = 3 + m \] \[ 3 + c t = -1 + m \]

Suma los lados de las tres ecuaciones para obtener \[ 1 - 2 + 3 + t(a + b + c) = -1 + 3 m \]

Los vectores directores \(\langle a, b, c \rangle\) y \(\langle 1, 1, 1 \rangle\) son ortogonales, por lo tanto su producto punto es cero. \[ a + b + c = 0 \]

La ecuación anterior \[ 1 - 2 + 3 + t(a + b + c) = -1 + 3 m \] se convierte en \[ 3 m = 3 \]

Resuelve para \(m\):
\[ m = 1 \]

Pon \(m = 1\) en la primera de las tres ecuaciones: \[ 1 + a t = -3 + m \] para encontrar \[ a t = -3 \]

Sea \(a = 1\) para obtener \(t = -3\)

Usa la ecuación para encontrar \(b\): \[ -2 + b t = 3 + m \implies -2 + b(-3) = 3 + 1 \] \[ b = \dfrac{-6}{3} = -2 \]

Usa la ecuación para encontrar \(c\): \[ 3 + c t = -1 + m \implies 3 + c(-3) = -1 + 1 \] \[ c = 1 \]

Ecuación de la recta que pasa por el punto \((1, -2, 3)\): \[ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle 1, -2, 1 \rangle \]

b) Punto de intersección
Establece \(t = -3\) en la ecuación de la recta encontrada: \[ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle 1, -2, 1 \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle - 3 \langle 1, -2, 1 \rangle = \langle -2, 4, 0 \rangle \]

Para verificar, establece \(m = 1\) en la ecuación dada de la recta:
\[ \langle x, y, z \rangle = \langle -3, 3, -1 \rangle + m \langle 1, 1, 1 \rangle = \langle -3, 3, -1 \rangle + 1 \langle 1, 1, 1 \rangle = \langle -2, 4, 0 \rangle \]

El punto de intersección está dado por: \[ \langle -2, 4, 0 \rangle \]

Escribe la forma de ecuaciones simétricas de la recta: \[ \dfrac{x - 3}{3} = \dfrac{y - 4}{-1} = \dfrac{z - 5}{2} \]

Punto A: Sustituye \(x\), \(y\), y \(z\) en las ecuaciones simétricas por las coordenadas del punto \(A(3, 4, 4)\). \[ \dfrac{x - 3}{3} = \dfrac{3 - 3}{3} = 0 \] \[ \dfrac{y - 4}{-1} = \dfrac{4 - 4}{-1} = 0 \] \[ \dfrac{z - 5}{2} = \dfrac{4 - 5}{2} = -\dfrac{1}{2} \] La última expresión no es igual a las dos primeras, por lo tanto \(A\) no está en la recta.

Punto B: Sustituye \(x\), \(y\), y \(z\) en las ecuaciones simétricas por las coordenadas del punto \(B(0, 5, 3)\). \[ \dfrac{x - 3}{3} = \dfrac{0 - 3}{3} = -1 \] \[ \dfrac{y - 4}{-1} = \dfrac{5 - 4}{-1} = -1 \] \[ \dfrac{z - 5}{2} = \dfrac{3 - 5}{2} = -1 \] Todas las expresiones son iguales, por lo tanto \(B\) está en la recta.

Punto C: Sustituye \(x\), \(y\), y \(z\) en las ecuaciones simétricas por las coordenadas del punto \(C(6, 3, 7)\). \[ \dfrac{x - 3}{3} = \dfrac{6 - 3}{3} = 1 \] \[ \dfrac{y - 4}{-1} = \dfrac{3 - 4}{-1} = 1 \] \[ \dfrac{z - 5}{2} = \dfrac{7 - 5}{2} = 1 \] Todas las expresiones son iguales, por lo tanto \(C\) está en la recta.

Conclusión: Los puntos B y C están en la recta.