Problemas de líneas en 3D con soluciones detalladas

Escribe la ecuación de la línea dada en forma vectorial $$ \langle x, y, z \rangle = \langle -2, 3, 0 \rangle + t \langle 3, 2, 5 \rangle $$ en formas paramétricas y simétricas.

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Solución:

La igualdad de los componentes vectoriales de la ecuación vectorial anterior da la forma paramétrica:

$$ x = -2 + 3t, \quad y = 3 + 2t, \quad z = 0 + 5t $$

Resuelve para $t$ en cada una de las ecuaciones anteriores:

$$ t = \frac{x + 2}{3}, \quad t = \frac{y - 3}{2}, \quad t = \frac{z}{5} $$

Todas son iguales a $t$, por lo tanto, la forma simétrica de la ecuación es:

$$ \frac{x + 2}{3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z}{5} $$

Encuentra la forma simétrica de la ecuación de la línea que pasa por el punto $P(1, -2, 3)$ y es paralela al vector $\vec{n} = \langle 2, 0, -3 \rangle$.

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Solución:

Ecuación vectorial: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle 2, 0, -3 \rangle $$

Igualdad de los componentes vectoriales: $$ x = 1 + 2t, \quad y = -2, \quad z = 3 - 3t $$

Resuelve para $t$: $$ t = \frac{x - 1}{2}, \quad t = \frac{z - 3}{-3} $$

Debido a que la dirección en $y$ es $0$, $y$ es constantemente $-2$. La forma simétrica es:

$$ \frac{x - 1}{2} = \frac{z - 3}{-3}, \quad y = -2 $$

Encuentra las ecuaciones paramétricas de la línea que pasa por los dos puntos $P(1, 2, 3)$ y $Q(0, -2, 1)$.

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Solución:

Vector dirección $\vec{PQ} = \langle 0 - 1 , -2 - 2 , 1 - 3 \rangle = \langle -1 , -4 , -2 \rangle$

Ecuación vectorial: $$ \langle x , y , z \rangle = \langle 1 , 2 , 3 \rangle + t \langle -1 , -4 , -2 \rangle $$

La igualdad de los componentes vectoriales de la ecuación vectorial anterior da:

$$ x = 1 - t, \quad y = 2 - 4t, \quad z = 3 - 2t $$

Encuentra las ecuaciones paramétricas de la línea que pasa por el punto $P(-3, 5, 2)$ y es paralela a la línea con ecuaciones: $$ x = 2t + 5, \quad y = -4t, \quad z = -t + 3 $$

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Solución:

Escribe la línea dada en forma simétrica:

$$ \frac{x - 5}{2} = \frac{y}{-4} = \frac{z - 3}{-1} $$

El vector dirección es: $\langle 2, -4, -1 \rangle$

La línea que pasa por el punto $P(-3, 5, 2)$ es paralela a la línea dada y, por tanto, tienen el mismo vector dirección. Las ecuaciones paramétricas de la línea que pasa por $P$ son:

$$ x = -3 + 2t, \quad y = 5 - 4t, \quad z = 2 - t $$

Encuentra la ecuación de una línea que pasa por $P(1 , -2 , 3)$ y es perpendicular a las dos líneas $L_1$ y $L_2$ dadas por:

Línea $L_1$: $$ \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{-4} = \frac{z + 9}{4} $$

Línea $L_2$: $$ x = 3t - 4, \quad y = -t + 6, \quad z = 5t $$

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Solución:

La línea $L$ (a encontrar) es perpendicular a las líneas $L_1$ y $L_2$, y por lo tanto es perpendicular a sus vectores dirección $\vec{d}_1$ y $\vec{d}_2$. Por lo tanto, el producto cruz de $\vec{d}_1$ y $\vec{d}_2$ da el vector dirección de la línea $L$.

A partir de la ecuación simétrica de $L_1$, el vector dirección es: $$ \vec{d}_1 = \langle 3, -4, 4 \rangle $$

El vector dirección de $L_2$ es: $$ \vec{d}_2 = \langle 3, -1, 5 \rangle $$

El vector dirección de la línea $L$ puede tomarse como el producto cruz:

$$ \vec{d} = \vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \langle 3, -4, 4 \rangle \times \langle 3, -1, 5 \rangle = \langle -16, -3, 9 \rangle $$

La ecuación para la línea $L$ que pasa por el punto $P(1, -2, 3)$ y es paralela al vector $\vec{d}$ está dada por:

$$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle -16, -3, 9 \rangle $$

Encuentra el punto de intersección de las líneas $L_1$ y $L_2$ en 3D definidas por:

Línea $L_1$: $$ x = 2t - 1, \quad y = -3t + 2, \quad z = 4t - 3 $$

Línea $L_2$: $$ \frac{x - 7}{4} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 2}{-3} $$

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Solución:

Escribe las ecuaciones de la línea $L_2$ en forma paramétrica usando un parámetro diferente $s$:

$$ x = 4s + 7, \quad y = 2s - 2, \quad z = -3s + 2 $$

Sea $A(x, y, z)$ el punto de intersección. Igualar las coordenadas da el sistema:

$$ 2t - 1 = 4s + 7 \quad (1) $$

$$ -3t + 2 = 2s - 2 \quad (2) $$

$$ 4t - 3 = -3s + 2 \quad (3) $$

Reescribe las ecuaciones (1) y (2):

$$ 2t - 4s = 8 \quad \text{y} \quad -3t - 2s = -4 $$

Resuelve para $t$ y $s$: $$ t = 2 \quad \text{y} \quad s = -1 $$

Comprueba esto en la ecuación (3):

Lado izquierdo: $4(2) - 3 = 5$. Lado derecho: $-3(-1) + 2 = 5$. Coinciden, por lo tanto se intersectan.

Sustituye $t=2$ de nuevo en las ecuaciones de $L_1$ para encontrar el punto de intersección:

$$ x = 3, \quad y = -4, \quad z = 5 $$

Encuentra el ángulo entre las líneas $L_1$ y $L_2$ con ecuaciones simétricas:

$$ L_1: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z}{-4} $$

$$ L_2: \frac{x + 3}{6} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{2} $$

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Solución:

Sean $\mathbf{d}_1$ y $\mathbf{d}_2$ los vectores dirección de las líneas $L_1$ y $L_2$.

$$ \mathbf{d}_1 = \langle 2, -2, -4 \rangle \quad \text{y} \quad \mathbf{d}_2 = \langle 6, 2, 2 \rangle $$

El ángulo $\theta$ entre las líneas $L_1$ y $L_2$ es igual al ángulo entre sus vectores dirección, dado por:

$$ \theta = \arccos\left( \frac{ \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 }{ |\mathbf{d}_1| \, |\mathbf{d}_2| } \right) $$

Calcula el producto punto:

$$ \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 = (2)(6) + (-2)(2) + (-4)(2) = 12 - 4 - 8 = 0 $$

Dado que el producto punto es $0$ y las magnitudes son distintas de cero:

$$ \theta = \arccos(0) = 90^\circ $$

Demuestra que las ecuaciones simétricas dadas a continuación representan la misma línea.

Línea $L_1$: $$ \frac{x - 2}{-1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{4} $$

Línea $L_2$: $$ \frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z - 3}{8} $$

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Solución:

Podemos demostrar que las dos líneas tienen dos puntos en común. Reescribe las dos ecuaciones en forma paramétrica como:

$$ L_1: \quad x = 2 - t, \quad y = 2t, \quad z = -1 + 4t $$

$$ L_2: \quad x = 1 - 2s, \quad y = 2 + 4s, \quad z = 3 + 8s $$

Punto $P_1$ en $L_1$: $(2, 0, -1)$

Punto $P_2$ en $L_2$: $(1, 2, 3)$

Comprueba que $P_1(2, 0, -1)$ está en $L_2$ usando las ecuaciones simétricas de $L_2$:

$$ \frac{2 - 1}{-2} = \frac{0 - 2}{4} = \frac{-1 - 3}{8} = -\frac{1}{2} $$

Todos los términos son iguales, por lo tanto, $P_1$ está en $L_2$.

Comprueba que $P_2(1, 2, 3)$ está en $L_1$ usando las ecuaciones simétricas de $L_1$:

$$ \frac{1 - 2}{-1} = \frac{2}{2} = \frac{3 + 1}{4} = 1 $$

Todos los términos son iguales, por lo tanto, $P_2$ está en $L_1$.

Como comparten al menos dos puntos distintos, las dos ecuaciones representan la misma línea.

Encuentra la distancia entre el punto $P_0(1, -2, 3)$ y la línea dada por la ecuación vectorial: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 2, 3, 0 \rangle + t \langle -2, 3, 1 \rangle $$

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Solución:

Según la ecuación, el punto $P(2, 3, 0)$ se encuentra en la línea. El vector dirección es $\vec{d} = \langle -2, 3, 1 \rangle$.

La distancia $D$ desde la línea hasta el punto $P_0$ está dada por:

$$ D = \frac{|\vec{P_0P} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|} $$

Sea $\vec{P_0P} = \langle 2-1, 3-(-2), 0-3 \rangle = \langle 1, 5, -3 \rangle$.

Entonces, $\vec{P_0P} \times \vec{d} = \langle 1, 5, -3 \rangle \times \langle -2, 3, 1 \rangle = \langle 14, 5, 13 \rangle$.

$$ |\vec{P_0P} \times \vec{d}| = \sqrt{14^2 + 5^2 + 13^2} = \sqrt{196 + 25 + 169} = \sqrt{390} $$

$$ |\vec{d}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{14} $$

$$ D = \frac{\sqrt{390}}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{195}}{\sqrt{7}} $$

Encuentra la distancia más corta entre las dos líneas $L_1$ y $L_2$ definidas por sus ecuaciones:

$$ L_1: \langle x, y, z \rangle = \langle 2, 0, -1 \rangle + t \langle -1, 4, -4 \rangle $$

$$ L_2: \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + m \langle -5, 2, -2 \rangle $$

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Solución:

Los puntos $P_1(2, 0, -1)$ y $P_2(1, -2, 3)$ son puntos en las líneas $L_1$ y $L_2$ respectivamente. Los vectores dirección son:

$$ \mathbf{d}_1 = \langle -1, 4, -4 \rangle \quad \text{y} \quad \mathbf{d}_2 = \langle -5, 2, -2 \rangle $$

La distancia más corta $D$ entre las dos líneas está dada por la fórmula:

$$ D = \frac{|\mathbf{n} \cdot \overrightarrow{P_1P_2}|}{|\mathbf{n}|} $$

donde $\mathbf{n}$ es el producto cruz de $\mathbf{d}_1$ y $\mathbf{d}_2$.

$$ \mathbf{n} = \mathbf{d}_1 \times \mathbf{d}_2 = \langle -1, 4, -4 \rangle \times \langle -5, 2, -2 \rangle = \langle 0, 18, 18 \rangle $$

$$ \overrightarrow{P_1P_2} = \langle 1-2, -2-0, 3-(-1) \rangle = \langle -1, -2, 4 \rangle $$

$$ D = \frac{| \langle 0, 18, 18 \rangle \cdot \langle -1, -2, 4 \rangle |}{\sqrt{0^2 + 18^2 + 18^2}} = \frac{| -36 + 72 |}{18\sqrt{2}} = \frac{36}{18\sqrt{2}} = \sqrt{2} $$

Encuentra el valor de $b$ para que las líneas $L_1$ y $L_2$ dadas por sus ecuaciones a continuación sean paralelas.

$$ L_1: \langle x, y, z \rangle = \langle 2, 0, -1 \rangle + t \langle 10, b, 4 \rangle $$

$$ L_2: \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + m \langle -5, 2, -2 \rangle $$

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Solución:

Los vectores dirección deben ser proporcionales: $$ \langle 10, b, 4 \rangle = k \langle -5, 2, -2 \rangle $$

A partir del primer componente: $$ 10 = -5k \implies k = -2 $$

A partir del tercer componente (para verificar): $$ 4 = k(-2) \implies k = -2 $$

A partir del segundo componente: $$ b = k(2) = -2 \times 2 = -4 $$

Encuentra la ecuación de una línea que pasa por el punto $P(1, -2, 3)$ que intersecta y es perpendicular a la línea dada por las ecuaciones paramétricas $$ x = -3 + t, \quad y = 3 + t, \quad z = -1 + t $$ Además, encuentra el punto de intersección de las dos líneas.

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Solución:

Ecuación de la línea a encontrar: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + s \langle a, b, c \rangle $$

Perpendicular a: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle -3, 3, -1 \rangle + t \langle 1, 1, 1 \rangle $$

La intersección requiere encontrar un punto específico $M(x_0, y_0, z_0)$ en la línea dada tal que $\vec{PM}$ sea perpendicular a la dirección de la línea dada $\langle 1,1,1 \rangle$.

$\vec{PM} = \langle -3+t - 1, 3+t - (-2), -1+t - 3 \rangle = \langle t-4, t+5, t-4 \rangle$.

Dado que $\vec{PM}$ es perpendicular a $\langle 1,1,1 \rangle$, su producto punto es cero:

$$ (t-4)(1) + (t+5)(1) + (t-4)(1) = 0 $$

$$ 3t - 3 = 0 \implies t = 1 $$

El punto de intersección $M$ (cuando $t=1$) es: $$ M(-3+1, 3+1, -1+1) = (-2, 4, 0) $$

El vector dirección $\vec{PM}$ es $\langle 1-4, 1+5, 1-4 \rangle = \langle -3, 6, -3 \rangle$. Esto puede escalarse a $\langle 1, -2, 1 \rangle$.

Ecuación de la nueva línea: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + s \langle 1, -2, 1 \rangle $$

¿Cuál de los puntos $A(3, 4, 4)$, $B(0, 5, 3)$ y $C(6, 3, 7)$ se encuentra en la línea definida por las ecuaciones paramétricas $$ x = 3t + 3, \quad y = -t + 4, \quad z = 2t + 5 $$

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Solución:

Escribe las ecuaciones en forma simétrica de la línea: $$ \frac{x - 3}{3} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z - 5}{2} $$

Punto A $(3, 4, 4)$: $$ \frac{3 - 3}{3} = 0, \quad \frac{4 - 4}{-1} = 0, \quad \frac{4 - 5}{2} = -\frac{1}{2} $$
La última expresión no es igual a las dos primeras, por lo tanto $A$ no está en la línea.

Punto B $(0, 5, 3)$: $$ \frac{0 - 3}{3} = -1, \quad \frac{5 - 4}{-1} = -1, \quad \frac{3 - 5}{2} = -1 $$
Todas las expresiones son iguales, por lo tanto $B$ está en la línea.

Punto C $(6, 3, 7)$: $$ \frac{6 - 3}{3} = 1, \quad \frac{3 - 4}{-1} = 1, \quad \frac{7 - 5}{2} = 1 $$
Todas las expresiones son iguales, por lo tanto $C$ está en la línea.