Resolver ecuaciones de forma cuadrática
¿Cómo resolver ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones cuadráticas mediante sustitución? Se presentan preguntas con soluciones detalladas. También se muestran soluciones gráficas para estas ecuaciones.
Pregunta 1
Resolver la ecuación 0.1 x4 - 1.3 x2 + 3.6 = 0.
Solución
Sea u = x2, lo que da u2 = x4 y reescribe la ecuación dada en términos de u
0.1 u2 - 1.3 u + 3.6 = 0
Resuelve la ecuación cuadrática anterior para encontrar u.
u = 4 y u = 9
Ahora usamos la sustitución u = x2 para resolver x.
u = 4 da dos soluciones: x = -2 y x = 2
u = 9 da dos soluciones: x = -3 y x = 3
Las cuatro intersecciones x del gráfico de y = 0.1 x4 - 1.3 x2 + 3.6 son las soluciones gráficas de la ecuación, como se muestra a continuación.
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Pregunta 2
Resolver la ecuación: √x = 3 - (1 / 4)x.
Solución
Sea u = √x, lo que da u2 = x y reescribe la ecuación dada en términos de u
u = 3 - u 2 / 4
Multiplica todos los términos por 4, simplifica y escribe la cuadrática en forma estándar y resuélvela para u.
u 2 + 4 u - 12 = 0
Dos soluciones: u = -6 y u = 2
Usa la sustitución u = √x para resolver x.
u = -6 = √x no tiene solución
u = 2 = √x tiene solución x = 4
A continuación se muestra el gráfico del lado derecho de la ecuación dada cuando se escribe con su lado derecho igual a cero. La intersección x del gráfico es la solución gráfica de la ecuación, como se muestra a continuación.
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Pregunta 3
Resolver la ecuación: \( (3 - \dfrac{4}{x})^2 - 6 (3 - \dfrac{4}{x}) = 16 \)
Solución
Sea y = 3 - 4 / x, lo que da y2 = (3 - 4 / x)2 y reescribe la ecuación dada en términos de y.
y 2 - 6 y = 16
Resuelve la ecuación anterior.
y 2 - 6 y - 16 = 0
y = -2 y y = 8
y = -2 y y = 8
Resuelve para x.
Primera solución: y = 3 - 4 / x = -2 da x = 4 / 5
Primera solución: y = 3 - 4 / x = 8 da x = - 4 / 5
El gráfico del lado derecho de la ecuación dada cuando se escribe con su lado derecho igual a cero. Las intersecciones x del gráfico son las soluciones gráficas de la ecuación, como se muestra a continuación.
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Pregunta 4
Resolver la ecuación: 2(x - 1)2 / 3 + 3(x - 1)1 / 3 - 2 = 0.
Solución
Sea y = (x - 1)1 / 3, lo que da y2 = (x - 1)2 / 3 y reescribe la ecuación dada en términos de y.
2 y 2 + 3 y - 2 = 0
y = -2 y y = 1 / 2
Resuelve para x.
y = (x - 1)1 / 3 = -2 da x = -7
y = (x - 1)1 / 3 = 1 / 2 da x = 9 / 8
El gráfico del lado derecho de la ecuación dada se muestra a continuación y sus intersecciones x son las soluciones gráficas de la ecuación dada.
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Pregunta 5
Encuentra todas las soluciones reales para la siguiente ecuación: \( 2\left(\dfrac{2}{x-3}\right)^2 -\dfrac{2}{x-3} - 3 = 0 \)
Solución
Sea u = 2 / (x - 3), lo que da y2 = (2 / (x - 3))2 y reescribe la ecuación dada en términos de u.
2 u 2 - u - 3 = 0
Resuelve para u.
u = -1 y u = 3 / 2
Resuelve para x.
y = 2 / (x - 3) = -1 da x = 1
y = 2 / (x - 3) = 3 / 2 da x = 13 / 3
A continuación se muestra el gráfico del lado derecho de la ecuación y sus intersecciones x, que son la solución gráfica de la ecuación dada.
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