Preguntas Resueltas sobre Producto Escalar y Vectorial de Vectores 3D
Explora soluciones detalladas paso a paso de ejercicios sobre producto punto y producto cruz de vectores 3D. Esta página ayuda a estudiantes a comprender operaciones vectoriales en tres dimensiones mediante explicaciones claras y ejemplos prácticos.
Pregunta 1
Calcula \( \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) \) dado que \( \vec{u} = \langle a,b,c \rangle \) y \( \vec{v} = \langle d,e,f \rangle \).
El producto cruz \( \vec{u} \times \vec{v} \) es un vector perpendicular a ambos vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \).
Por lo tanto, el producto punto de dos vectores perpendiculares \( \vec{u} \) y \( \vec{u} \times \vec{v} \) es igual a 0.
\[ \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = 0 \]
Pregunta 2
Encuentra \( k \) para que los vectores \( \vec{u} = \langle -2,-k,1 \rangle \) y \( \vec{v} = \langle 8,-2,-3 \rangle \) sean perpendiculares.
Si dos vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) son perpendiculares, su producto punto es igual a 0.
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \langle -2, -k, 1 \rangle \cdot \langle 8, -2, -3 \rangle = 0 \]
Expandimos el producto punto:
\[ (-2)(8) + (-k)(-2) + (1)(-3) = 0 \]
Simplificamos y resolvemos para \( k \):
\[ -16 + 2k - 3 = 0 \]
\[ k = \dfrac{19}{2} \]
Pregunta 3
Encuentra \( k \) para que los vectores \( \vec{u} = \langle -3,2,-2 \rangle \), \( \vec{v} = \langle 2,1,k \rangle \) y \( \vec{w} = \langle -1,3,-5 \rangle \) sean coplanares.
Tres vectores son coplanares si el volumen del paralelepípedo que forman es cero, calculado mediante el producto triple escalar:
\[ \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = 0 \]
Calculamos el determinante:
\[ \det \begin{bmatrix} -3 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & k \\ -1 & 3 & -5 \end{bmatrix} = 0 \]
Desarrollamos: \[ -3(-5 - 3k) - 2(-10 + k) - 2(6 + 1) = 21 + 7k = 0 \]
Resolviendo: \[ k = -3 \]
Los tres vectores yacen en el mismo plano:
Pregunta 4
Encuentra el ángulo \( \theta \) entre los vectores \( \vec{u} = \langle 2,0,1 \rangle \) y \( \vec{v} = \langle 8,-2,-3 \rangle \).
Usamos la definición del producto escalar:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\| \cos \theta \]
Calculamos magnitudes: \[ \|\vec{u}\| = \sqrt{5}, \quad \|\vec{v}\| = \sqrt{77} \]
Producto punto: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 13 \]
Sustituimos: \[ \cos \theta = \dfrac{13}{\sqrt{5} \sqrt{77}} \]
\[ \theta = \arccos\left( \dfrac{13}{\sqrt{5} \sqrt{77}} \right) \approx 48.5^\circ \]
Pregunta 5
Encuentra la proyección vectorial de \( \vec{u} = \langle -1,-1,1 \rangle \) sobre \( \vec{v} = \langle 2,1,1 \rangle \).
Fórmula de proyección: \[ \text{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2} \vec{v} \]
Calculamos: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = -2, \quad \|\vec{v}\|^2 = 6 \]
\[ \text{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \dfrac{-2}{6} \langle 2,1,1 \rangle = \langle -2/3, -1/3, -1/3 \rangle \]
Pregunta 6
Encuentra \( k \) para que los puntos \( A(-1,2,k) \), \( B(-3,6,3) \) y \( C(1,3,6) \) sean vértices de un triángulo rectángulo con ángulo recto en \( A \).
Vectores: \[ \vec{AB} = \langle -2, 4, 3 - k \rangle, \quad \vec{AC} = \langle 2, 1, 6 - k \rangle \]
Condición de perpendicularidad: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \]
\[ (-2)(2) + (4)(1) + (3-k)(6-k) = 0 \]
Simplificamos: \[ (3-k)(6-k) = 0 \]
Soluciones: \[ k = 3 \quad \text{o} \quad k = 6 \]
Pregunta 7
Dado el vector \( \vec{v} = \langle 3,-1,-2 \rangle \), encuentra el vector \( \vec{u} \) tal que \( \vec{v} \times \vec{u} = \langle 4,2,5 \rangle \) y \( \|\vec{u}\| = 3 \).
Sea \( \vec{u} = \langle a,b,c \rangle \). Calculamos \( \vec{v} \times \vec{u} \):
\[ \vec{v} \times \vec{u} = \langle -c+2b, -2a-3c, 3b+a \rangle = \langle 4,2,5 \rangle \]
Sistema de ecuaciones:
1) \( -c+2b = 4 \)
2) \( -2a-3c = 2 \)
3) \( 3b+a = 5 \)
Parametrizamos: sea \( a = t \). De (2): \( c = \frac{2+2t}{-3} \). De (3): \( b = \frac{5-t}{3} \).
Condición \( \|\vec{u}\|=3 \): \[ t^2 + \left(\frac{5-t}{3}\right)^2 + \left(\frac{2+2t}{-3}\right)^2 = 9 \]
Resolvemos: \[ 9t^2 + (5-t)^2 + (2+2t)^2 = 81 \]
Soluciones: \[ t = 2 \quad \text{o} \quad t = -\frac{13}{7} \]
Vectores resultantes:
Para \( t=2 \): \( \vec{u}_1 = \langle 2,1,-2 \rangle \)
Para \( t=-\frac{13}{7} \): \( \vec{u}_2 = \langle -\frac{13}{7}, \frac{16}{7}, \frac{4}{7} \rangle \)
Pregunta 8
Los puntos \( A, B, C \) y \( D \) forman un paralelogramo.
a) Encuentra las coordenadas de \( D \).
b) Calcula el área del paralelogramo.
a) Condición de paralelogramo: \( \vec{AB} = \vec{DC} \)
\[ \vec{AB} = \langle -2, -4, 2 \rangle \]
Sea \( D(a,b,c) \): \[ \langle -2, -4, 2 \rangle = \langle -2-a, -3-b, 1-c \rangle \]
Resolviendo: \[ D(0,1,-1) \]
b) Área = \( \|\vec{AB} \times \vec{BC}\| \)
\[ \vec{BC} = \langle -4, -5, -3 \rangle \]
\[ \vec{AB} \times \vec{BC} = \langle 22, 14, -6 \rangle \]
\[ \text{Área} = \sqrt{22^2 + 14^2 + (-6)^2} = 2\sqrt{179} \]
Pregunta 9
En el cubo siguiente, encuentra el ángulo entre las diagonales \( AG \) y \( BH \).
Vectores: \[ \vec{AG} = \langle 2,2,2 \rangle, \quad \vec{BH} = \langle -2,2,2 \rangle \]
Fórmula del ángulo: \[ \cos \theta = \frac{\vec{AG} \cdot \vec{BH}}{\|\vec{AG}\| \|\vec{BH}\|} \]
\[ \cos \theta = \frac{2\cdot(-2)+2\cdot2+2\cdot2}{\sqrt{12}\sqrt{12}} = \frac{1}{3} \]
\[ \theta = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) \approx 70.5^\circ \]
Pregunta 10
Encuentra un vector ortogonal al plano que contiene los puntos \( A(1,2,-3) \), \( B(0,-2,1) \) y \( C(-2,0,1) \).
Vectores en el plano: \[ \vec{AB} = \langle -1,-4,4 \rangle, \quad \vec{AC} = \langle -3,-2,4 \rangle \]
Vector normal = \( \vec{AB} \times \vec{AC} \):
\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \langle (-4)(4)-(4)(-2), -[(-1)(4)-(4)(-3)], (-1)(-2)-(-4)(-3) \rangle \]
\[ = \langle -8, -8, -10 \rangle \]
Pregunta 11
Calcula el área del triángulo con vértices \( A(1,0,-3) \), \( B(1,-2,0) \) y \( C(0,2,1) \).
Área = \( \frac{1}{2} \|\vec{AB} \times \vec{AC}\| \)
\[ \vec{AB} = \langle 0,-2,3 \rangle, \quad \vec{AC} = \langle -1,2,4 \rangle \]
\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \langle -14, -3, -2 \rangle \]
\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \sqrt{(-14)^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{209} \]
Pregunta 12
Calcula el volumen del paralelepípedo mostrado.
Volumen = \( |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})| \)
\[ \vec{u} = \langle -3,0,7 \rangle, \quad \vec{v} = \langle -8,0,0 \rangle, \quad \vec{w} = \langle 0,-9,0 \rangle \]
\[ \vec{v} \times \vec{w} = \langle 0,0,72 \rangle \]
\[ \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = 7 \cdot 72 = 504 \]
Volumen = 504 unidades³