Soluciones detalladas a preguntas sobre Productos Escalares y Cruzados de Vectores 3D se presentan a continuación.
1) Calcular \( \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) \) dado que \( \vec{u} = \lt a,b,c \gt \) y \( \vec{v} = \lt d,e,f \gt \).
Solución
El producto cruzado \( \vec{u} \times \vec{v}\) es un vector perpendicular a ambos vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \). Por lo tanto, el producto punto de dos vectores perpendiculares \( \vec{u} \) y \( \vec{u} \times \vec{v} \) es igual a 0.
\( \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = 0 \)
5) Encuentra la proyección vectorial de \( \vec{u} = \lt -1,-1,1 \gt \) sobre \( \vec{v} = \lt 2,1,1 > \).
Solución
La proyección vectorial de \( \vec{u} \) sobre \( \vec{v} \) se calcula mediante la fórmula
(ver la fórmula en Productos Escalares y Cruzados de Vectores 3D):
\( \text{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^2} \vec{v} \)
\( = \dfrac{ \lt -1,-1,1 \gt \cdot \lt 2,1,1>}{2^2+1^2+1^2} \lt 2,1,1> = \dfrac{(-1)(2)+(-1)(1)+(1)(1)}{6} \lt 2,1,1 >\)
\( = -\dfrac{2}{6} \lt 2,1,1> = \lt -2/3,-1/3,-1/3> \)
Los vectores \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) y \( \text{proj}_{\vec{v}}\vec{u} \) se muestran a continuación.
6) Encuentra el valor de \( k \) para que los puntos \( A(-1,2,k) \), \( B(-3,6,3) \) y \( C(1,3,6) \) sean los vértices de un triángulo rectángulo con un ángulo recto en \( A \).
Solución
Para que el triángulo ABC sea rectángulo en A, los vectores \( \vec{AB} \) y \( \vec{AC} \) tienen que ser perpendiculares y, por lo tanto, su producto escalar debe ser igual a 0.
Comenzamos calculando las componentes de los vectores.
\( \vec{AB} = \lt -2,4,3-k> \)
\( \vec{AC} = \lt 2,1,6-k> \)
El producto escalar de \( \vec{AB} \) y \( \vec{AC} \) debe ser cero.
\( \lt -2,4,3-k> \cdot \lt 2,1,6-k > = 0 \)
\( -4 + 4 + (3-k)(6-k) = 0 \)
Simplifica y resuelve para \( k \).
Dos soluciones: \( k = 3 \) y \( k = 6 \)
7) Dado el vector \( \vec{v} = \lt 3,-1,-2 \gt \), encuentra el vector \( \vec{u} \) tal que \( \vec{v} \times \vec{u} = \lt 4,2,5 > \) y \( \|\vec{u}\| = 3 \).
Solución
Sean a, b y c las componentes del vector \( \vec{u} \). Por lo tanto,
\( \vec{v} \times \vec{u} = {\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j} &\vec{k} \\ 3 & -1 & -2 \\ a & b & c \end{vmatrix}} \)
\( = {\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ b & c \end{vmatrix}} \vec{i} - {\begin{vmatrix}3 & -2\\ a & c\end{vmatrix}} \vec{j} + {\begin{vmatrix}3 & -1\\ a& b\end{vmatrix}} \vec{k} = (-c+2b)\vec{i} + (-2a-3c)\vec{j} + (3b+a)\vec{k} \)
Ahora escribimos que las componentes de \( \vec{v} \times \vec{u} \) y \( \lt 4,2,5 > \) son iguales como se indica arriba. Por lo tanto,
\( -c+2b = 4 \)
\( -2a-3c = 2 \)
\( 3b+a = 5 \)
Nota que las ecuaciones en el sistema anterior no son independientes (añade -3 veces la primera ecuación -c+2b = 4 y la segunda ecuación -2a-3c = 2 y obtendrás una ecuación equivalente a la tercera ecuación 3b+a = 5) y, por lo tanto, tiene muchas soluciones. Deja a = t y usa la segunda ecuación para encontrar c.
\( -2t - 3c = 2 \)
\( c = \frac{2 + 2t}{-3} \)
Deja a = t nuevamente y usa la tercera ecuación para encontrar b.
\( 3b + t = 5 \)
\( b = \frac{5 - t}{3} \)
Ahora usamos la condición \( \|\vec{u}\| = 3 \) para escribir la ecuación.
\( \sqrt{a^2+b^2+c^2} = 3 \)
Eleva ambos lados de la ecuación anterior al cuadrado y sustituye a, b y c por sus expresiones en términos de t.
\( t^2+ \left(\frac{5 - t}{3}\right)^2+ \left(\frac{2 + 2t}{-3}\right)^2 = 9 \)
Multiplica todos los términos de la ecuación por 9 y simplifica.
\( 9 t^2+(5 - t)^2+(2 + 2t)^2 = 81 \)
Expande lo anterior para obtener una ecuación cuadrática y resuélvela para encontrar
\( t = 2 \) y \( t = -\frac{13}{7} \)
Por lo tanto, dos soluciones para el vector \( \vec{u} \).
Para \( t = 2 \): \( \vec{u_1} = \lt t , \frac{5 - t}{3} , \frac{2 + 2t}{-3} > = \lt 2 , 1, -2 > \)
Para \( t = -\frac{13}{7} \): \( \vec{u_2} = \lt t , \frac{5 - t}{3} , \frac{2 + 2t}{-3} > = \lt -\frac{13}{7} , \frac{16}{7} , \frac{4}{7} > \)
8) Los puntos A, B, C y D forman un paralelogramo.
a) Encuentra las coordenadas del punto D.
b) Encuentra el área de un paralelogramo.
Solución
a) Sean a, b y c las coordenadas del punto D y determina las componentes de los vectores \( \vec{AB} \) y \( \vec{DC} \).
\( \vec{AB} = \lt 2 - 4 , 2 - 6 , 4 - 2 > = \lt -2 ,-4 ,2> \)
\( \vec{DC} = \lt -2 - a , -3 - b , 1 - c> \)
Para que A, B, C y D formen un paralelogramo, los vectores \( \vec{AB} \) y \( \vec{DC} \) tienen que ser iguales (equivalentes). Por lo tanto, la ecuación vectorial
\( \lt -2 , -4 , 2 > = \lt -2 - a , -3 - b , 1 - c> \)
Que da 3 ecuaciones algebraicas.
\( -2 - a = -2 \)
\( -3 - b = -4 \)
\( 1 - c = 2 \)
Que da las coordenadas del punto D.
D(0, 1 , -1)
b) El área A del paralelogramo se da por (ver fórmula en
Productos Escalares y Cruzados de Vectores 3D)
\( A = || \vec{AB} \times \vec{BC} || \)
Calculemos primero el producto cruzado,
\( \vec{AB} \times \vec{BC} = {\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j} &\vec{k} \\ -2 & -4 & 2 \\ -4 & -5 & -3 \end{vmatrix}} = {\begin{vmatrix} -4 & 2 \\ -5 & -3 \end{vmatrix}} \vec{i} - {\begin{vmatrix}-2 & 2\\ -4 & -3\end{vmatrix}} \vec{j} + {\begin{vmatrix}-2 & -4\\ -4& -5\end{vmatrix}} \vec{k} = 22\vec{i} + 14\vec{j} -6\vec{k} \)
luego su magnitud que es el área A.
\( A = ||\vec{AB} \times \vec{BC}|| = \sqrt{22^2+14^2+(-6)^2} = 2\sqrt{179} \)
9) En el cubo a continuación, encuentra el ángulo entre las diagonales AG y BH.
Solución
Primero encontramos las componentes de los vectores \( \vec{AG}\) y \( \vec{BH} \).
\( \vec{AG} = \lt 2,2,2> \)
\( \vec{BH} = \lt -2,2,2> \)
Usando el producto punto, con θ siendo el ángulo entre los vectores \( \vec{AG}\) y \( \vec{BH} \), tenemos (ver pregunta 5 arriba).
\( \cos \theta = \dfrac{\vec{AG} \cdot \vec{BG}}{||\vec{AG}|| || \vec{BH} ||} = \dfrac{2\cdot (-2)+2\cdot2+2\cdot2}{\sqrt{2^2+2^2+2^2}\sqrt{(-2)^2+2^2+2^2}} = \dfrac{1}{3}\)
\( \theta = \arccos \dfrac{1}{3} \approx 70.5^{\circ} \)
10) Encuentra un vector que sea ortogonal al plano que contiene los puntos A(1,2,-3), B(0,-2,1) y C(-2,0,1).
Solución
Un vector \( \vec{v} \) que es ortogonal al plano definido anteriormente podría ser dado por el producto cruzado de cualquier par de vectores distintos en el plano. Por lo tanto,
\( \vec{v} = \vec{AB} \times \vec{AC} = {\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j} &\vec{k} \\ -1 & -4 & 4 \\ -3 & -2 & 4 \end{vmatrix}} = {\begin{vmatrix} -4 & 4 \\ -2 & 4 \end{vmatrix}} \vec{i} - {\begin{vmatrix}-1 & 4\\ -3 & 4\end{vmatrix}} \vec{j} + {\begin{vmatrix}-1 & -4\\ -3& -2\end{vmatrix}} \vec{k} = -8\vec{i} - 8\vec{j} -10\vec{k} \)
Nota que hay un número infinito de soluciones.
11) Encuentra el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1,0,-3), B(1,-2,0) y C(0,2,1).
Solución
El área \( A_t \) de un triángulo se da por la mitad de la magnitud del producto cruzado de cualquier par de vectores formados por los lados del triángulo. Por lo tanto,
\( A_t = \vec{AB} \times \vec{AC} = {\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j} &\vec{k} \\ 0 & -2 & 3 \\ -1 & 2 & 4 \end{vmatrix}} = {\begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}} \vec{i} - {\begin{vmatrix}0 & 3\\ -1 & 4\end{vmatrix}} \vec{j} + {\begin{vmatrix}0 & -2\\ -1& 2\end{vmatrix}} \vec{k} = -14\vec{i} - 3\vec{j} -2\vec{k} \)
\( A_t = (1/2) || \vec{AB} \times \vec{AC} || = \sqrt{(-14)^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = (1/2) \sqrt{209} \) unidades2
12) Encuentra el volumen del paralelepípedo mostrado abajo.
Solución
El volumen V del paralelepípedo se da por
\( V = |\vec{u}\cdot (\vec{v} \times \vec{w})| = | \vec{v}\cdot (\vec{w} \times \vec{u})| = | \vec{w}\cdot (\vec{v} \times \vec{u})| \)
Primero encontremos las componentes de los vectores \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) y \( \vec{w}\).
\( \vec{u} = \lt -3,0,7 > \)
\( \vec{v} = \lt -8,0,0 > \)
\( \vec{w} = \lt 0,-9,0 > \)
\( \vec{u}\cdot (\vec{v} \times \vec{w})= \lt -3 , 0 , 7 > \cdot {\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j} &\vec{k} \\ -8 & 0 & 0 \\ 0 & -9 & 0 \end{vmatrix}}\)
\( = \lt -3 , 0 , 7 > \cdot \left\{ {\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -9 & 0 \end{vmatrix}} \vec{i} - {\begin{vmatrix}-8 & 0\\ 0 & 0\end{vmatrix}} \vec{j} + {\begin{vmatrix}-8 & 0\\ 0 & -9\end{vmatrix}} \vec{k} \right\} \)
\( = \lt -3 , 0 , 7 > \cdot \lt 0 , 0 , 72 > = 0 + 0 + 7\cdot72 = 504\)
El volumen es
\( V = |504| = 504 \) unidades3
