Simplifique expresiones que incluyen
funciones trigonométricas inversas

Cómo simplificar las expresiones, incluidas las funciones trigonométricas inversas para el grado 12 de matemáticas. Soluciones detalladas también están incluidas.

  1. Simplificar las expresiones:

    a) sin(arcsin(x)) and arcsin(sin(x))

    b) cos(arccos(x)) and arccos(cos(x))

    c) tan(arctan(x)) and arctan(tan(x))

    Solución

    a) sin y arcsin son inversas entre sí y, por lo tanto, las propiedades de las funciones inversas pueden usarse para escribir

    sin(arcsin(x)) = x , for -1 ≤ x ≤ 1

    arcsin(sin(x)) = x    for x ∈ [-π/2 , π/2]

    NOTA: Si x en arcsin (sin (x)) no está en el intervalo [-π/2 , π/2], busca θ en el intervalo [- π/2, π/2] tal que sin(x) = sin(θ) y luego simplificar arcsin(sin(x)) = θ

    b) cos y arccos son inversos entre sí y, por lo tanto, las propiedades de las funciones inversas pueden usarse para escribir

    cos(arccos(x)) = x , for -1 ≤ x ≤ 1

    arccos(cos(x)) = x    for for x ∈ [0 , π]

    NOTA: Si x en arccos(cos(x)) no está en el intervalo [0/2 , π], busca θ en el intervalo [0, π] tal que cos(x) = cos(θ) y luego simplifique arccos (cos(x)) = θ

    c) tan y arctan son inversos entre sí y, por lo tanto, las propiedades de las funciones inversas pueden usarse para escribir

    tan(arctan(x)) = x

    arctan(tan(x)) = x    for x ∈ (-π/2 , π/2)

    NOTA: Si x en arctan (tan(x)) no está en el intervalo (-π/2 , π/2), busca θ en el intervalo (-π/2 , π/2) tal que tan(x) = tan(θ) y luego simplifique arctan (tan(x)) = θ


  2. Exprese lo siguiente como expresiones algebraicas:

    sin(arccos(x)) e tan(arccos(x))

    Solución

    Dejar A = arccos(x). Por lo tanto

    cos(A) = cos(arccos(x)) = x

    Usa el triángulo rectángulo con el ángulo A tal que cos(A) = x ( = x/1), busca el segundo tramo y calcule sin(A) e tan(A)

    triángulo para la pregunta 2.



    sin(arccos(x)) = sin(A) = √(1 - x2) / 1 = √(1 - x2)     for x ∈ [-1 , 1]

    tan(arccos(x)) = tan(A) = √(1 - x2) / x     for x ∈ [-1 , 0) ∪ (0 , 1]

  3. Exprese lo siguiente como expresiones algebraicas:

    cos(arcsin(x)) e tan(arcsin(x))

    Solución

    Dejar A = arcsin(x). Por lo tanto

    sin(A) = sin(arcsin(x)) = x

    Usa el triángulo rectángulo con el ángulo A de tal manera que sin(A) = x ( = x/1), busca la segunda pierna y calcule cos(A) y tan(A)

    triángulo para la pregunta 3.



    cos(arcsin(x)) = cos(A) = √(1 - x2) / 1 = √(1 - x2)     for x ∈ [-1 , 1]

    tan(arcsin(x)) = tan(A) = x / √(1 - x2)     for x ∈ (-1 , 1)

  4. Exprese lo siguiente como expresiones algebraicas:

    sin(arctan(x)) e cos(arctan(x))

    Solución

    Dejar A = arctan(x). Por lo tanto

    tan(A) = tan(arctan(x)) = x

    Use el triángulo rectángulo con un ángulo A tal que tan (A) = x ( = x/1), encontrar hipotenusa y calcular sin(A) y cos(A)

    triángulo para la pregunta 4.



    sin(arctan(x)) = sin(A) = x / √(1 + x2)

    cos(arctan(x)) = cos(A) = 1 / √(1 + x2)

  5. Simplifica las siguientes expresiones:

    a) arccos(0) , arcsin(-1) , arctan(-1)

    b) sin(arcsin(-1/2)) , arccos(cos(π/2)) , arccos(cos(-π/2))

    c) cos(arcsin(-1/2)) , arcsin(sin(π/3)) , arcsin(tan(3π/4))

    d) arccos(tan(7π/4)) , arcsin(sin(13π/3)) , arctan(tan(-17π/4)) , arcsin(sin(9π/5))

    Solución

    a) Use definición

    arccos(0) = π/2      because cos(π/2) = 0       and   π/2 está dentro del rango de arccos que es [0 , π]

    arcsin(-1) = -π/2      because sin(-π/2) = -1       and   -π/2 está dentro del rango de arcsin que es [-π/2 , π/2]

    arctan(-1) = -π/4      because tan(-π/4) = -1       and   -π/4 is está dentro del rango de arctan que es (-π/2 , π/2)

    b) Simplifica las funciones internas y luego las funciones externas usando definiciones.

    sin(arcsin(-1/2)) = sin(-π/6) = -1/2

    arccos(cos(π/2)) = arccos(0) = π/2

    arccos(cos(-π/2)) = arccos(0) = π/2

    c) Simplifica las funciones internas y luego las funciones externas usando definiciones.

    cos(arcsin(-1/2)) = cos(-π/6) = √3/2

    arcsin(sin(π/3)) = arcsin(√3/2) = π/3

    arcsin(tan(3π/4)) = arcsin(-1) = -π/2

    d) Simplifica las funciones internas y luego las funciones externas usando definiciones.

    arccos(tan(7π/4)) = arccos(-1) = π

    arcsin(sin(13π/3)) = arcsin(sin(4π + π/3)) = arcsin(sin(π/3)) = π/3

    arctan(tan(- 17π/4)) = arctan(tan(- 4π-π/4)) = arctan(tan(- π/4)) = - π/4

    arcsin(sin(9π/5)) = arcsin(sin(2π - π/5)) = arcsin(sin(- π/5)) = - π/5

  6. Deje A = arcsin(2/3) y B = arccos(-1/2). Encuentra el valor exacto de sin(A + B).

    Solución

    Usa la identidad sin (A + B) = sin (A) cos (B) + cos (A) sin (B) para expandir la expresión dada.

    sin(A + B) = sin(arcsin(2/3))cos(arccos(-1/2)) + cos(arcsin(2/3))sin(arccos(-1/2))

    Use las identidades anteriores para simplificar cada término en la expresión anterior.

    sin(arcsin(2/3)) = 2/3          (Hemos usado sin(arcsin(x)) = x))

    cos(arccos(-1/2)) = -1/2          (Hemos usado cos(arccos(x)) = x))

    cos(arcsin(2/3)) = √(1 - (2/3)2) = √5/3          (Hemos usado cos(arcsin(x)) = √(1 - x2))

    sin(arccos(-1/2)) = √(1 - (- 1/2)2) = √3/2          (Hemos usado sin(arccos(x)) = √(1 - x2))

    Sustituir y calcular.

    sin(A + B) = (2/3)(-1/2)+(√5/3)(√3/2) = -1/3 + √(15)/6

  7. Escribe Y = sin(2 arcsin(x)) como una expresión algebraica.

    Solución

    Deje A = arcsin(x). Por lo tanto, Y puede escribirse como

    Y = sin(2 A)

    Usa la identidad sin(2 A) = 2 sin(A) cos(A) para reescribir Y de la siguiente manera:

    Y = 2 sin(A) cos(A) = 2 sin(arcsin(x)) cos(arcsin(x))

    Usa las identidades sin(arcsin(x)) = x and cos(arcsin(x)) = √(1-x2) para reescribir Y de la siguiente manera:

    Y = 2 x √(1 - x2)

  8. Encuentre el valor exacto de Y = sin(2 arctan(3/4)).

    Solución

    Deja A = arctan(3/4). Por lo tanto, Y puede escribirse como

    Y = sin(2 A) = 2 sin(A) cos(A)

    sin(A) = sin(arctan(3/4)) = (3/4) / √(1 + (3/4)2) = 3/5

    cos(A) = cos(arctan(3/4)) = 1 / √(1 + (3/4)2) = 4 / 5

    Y = 2 (3 / 5)(4 / 5) = 24 / 25


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