Simplificar funciones trigonométricas inversas

Simplifica las expresiones:

1. $\sin(\arcsin(x))$ y $\arcsin(\sin(x))$
2. $\cos(\arccos(x))$ y $\arccos(\cos(x))$
3. $\tan(\arctan(x))$ y $\arctan(\tan(x))$

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Solución:

1. Seno y arcoseno son inversos el uno del otro. Por lo tanto, las propiedades de las funciones inversas pueden usarse para escribir:

   $$ \sin(\arcsin(x)) = x, \quad \text{para } -1 \leq x \leq 1 $$

   $$ \arcsin(\sin(x)) = x, \quad \text{para } x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $$

   NOTA: Si $x$ en $\arcsin(\sin(x))$ no está en el intervalo $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, encuentra $\theta$ en el intervalo $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ tal que $\sin(x) = \sin(\theta)$ y luego simplifica: $\arcsin(\sin(x)) = \theta$

2. Coseno y arcocoseno son funciones inversas el uno del otro:

   $$ \cos(\arccos(x)) = x, \quad \text{para } -1 \leq x \leq 1 $$

   $$ \arccos(\cos(x)) = x, \quad \text{para } x \in [0, \pi] $$

   NOTA: Si $x$ en $\arccos(\cos(x))$ no está en el intervalo $[0, \pi]$, encuentra $\theta$ en el intervalo $[0, \pi]$ tal que $\cos(x) = \cos(\theta)$, y luego simplifica $\arccos(\cos(x)) = \theta$.

3. Tangente y arcotangente son inversos el uno del otro:

   $$ \tan(\arctan(x)) = x $$

   $$ \arctan(\tan(x)) = x \quad \text{para } x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) $$

   NOTA: Si $x$ en $\arctan(\tan(x))$ no está en el intervalo $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$, encuentra $\theta$ en el intervalo $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ tal que $\tan(x) = \tan(\theta)$ y luego simplifica $\arctan(\tan(x)) = \theta$

Expresa lo siguiente como expresiones algebraicas:

$$ \sin(\arccos(x)) \quad \text{y} \quad \tan(\arccos(x)) $$

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Solución:

Sea $A = \arccos(x)$. Por lo tanto,

$$ \cos(A) = \cos(\arccos(x)) = x $$

Usa un triángulo rectángulo con ángulo $A$ tal que $\cos(A) = x$ (o $\frac{x}{1}$). Encuentra el segundo cateto y calcula $\sin(A)$ y $\tan(A)$.

$$ \sin(\arccos(x)) = \sin(A) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{1} = \sqrt{1 - x^2} \quad \text{para } x \in [-1, 1] $$

$$ \tan(\arccos(x)) = \tan(A) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \quad \text{para } x \in [-1, 0) \cup (0, 1] $$

Expresa lo siguiente como expresiones algebraicas:

$$ \cos(\arcsin(x)) \quad \text{y} \quad \tan(\arcsin(x)) $$

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Solución:

Sea $A = \arcsin(x)$. Por lo tanto,

$$ \sin(A) = \sin(\arcsin(x)) = x $$

Usa un triángulo rectángulo con ángulo $A$ tal que $\sin(A) = x$ (o $\frac{x}{1}$), encuentra el segundo cateto y calcula $\cos(A)$ y $\tan(A)$.

$$ \cos(\arcsin(x)) = \cos(A) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{1} = \sqrt{1 - x^2} \quad \text{para } x \in [-1, 1] $$

$$ \tan(\arcsin(x)) = \tan(A) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \quad \text{para } x \in (-1, 1) $$

Expresa lo siguiente como expresiones algebraicas:

$$ \sin(\arctan(x)) \quad \text{y} \quad \cos(\arctan(x)) $$

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Solución:

Sea $A = \arctan(x)$. Por lo tanto,

$$ \tan(A) = \tan(\arctan(x)) = x $$

Usa un triángulo rectángulo con ángulo $A$ tal que $\tan(A) = x$ (o $\frac{x}{1}$). Encuentra la hipotenusa y calcula $\sin(A)$ y $\cos(A)$.

$$ \sin(\arctan(x)) = \sin(A) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} $$

$$ \cos(\arctan(x)) = \cos(A) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} $$

Simplifica las siguientes expresiones:

1. $\arccos(0)$, $\arcsin(-1)$, $\arctan(-1)$
2. $\sin(\arcsin(-1/2))$, $\arccos(\cos(\pi/2))$, $\arccos(\cos(-\pi/2))$
3. $\cos(\arcsin(-1/2))$, $\arcsin(\sin(\pi/3))$, $\arcsin(\tan(3\pi/4))$
4. $\arccos(\tan(7\pi/4))$, $\arcsin(\sin(13\pi/3))$, $\arctan(\tan(-17\pi/4))$, $\arcsin(\sin(9\pi/5))$

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Solución:

1. Usa las definiciones directas de las funciones inversas:

   $$ \arccos(0) = \frac{\pi}{2} \quad \text{porque} \quad \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \quad \text{y} \quad \frac{\pi}{2} \in [0, \pi] $$

   $$ \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} \quad \text{porque} \quad \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 \quad \text{y} \quad -\frac{\pi}{2} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $$

   $$ \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} \quad \text{porque} \quad \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 \quad \text{y} \quad -\frac{\pi}{4} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $$

2. Simplifica las funciones internas y luego las externas usando las definiciones:

   $$ \sin\left(\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} $$

   $$ \arccos\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) = \arccos(0) = \frac{\pi}{2} $$

   $$ \arccos\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = \arccos(0) = \frac{\pi}{2} $$

3. Simplifica las funciones internas y luego las externas:

   $$ \cos\left(\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

   $$ \arcsin\left(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $$

   $$ \arcsin\left(\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right) = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} $$

4. Ajusta los ángulos para que caigan dentro de los intervalos correctos antes de aplicar las funciones inversas:

   $$ \arccos\big(\tan(7\pi/4)\big) = \arccos(-1) = \pi $$

   $$ \arcsin\big(\sin(13\pi/3)\big) = \arcsin\big(\sin(4\pi + \pi/3)\big) = \arcsin\big(\sin(\pi/3)\big) = \pi/3 $$

   $$ \arctan\big(\tan(-17\pi/4)\big) = \arctan\big(\tan(-4\pi - \pi/4)\big) = \arctan\big(\tan(-\pi/4)\big) = -\pi/4 $$

   $$ \arcsin\big(\sin(9\pi/5)\big) = \arcsin\big(\sin(2\pi - \pi/5)\big) = \arcsin\big(\sin(-\pi/5)\big) = -\pi/5 $$

Sea $A = \arcsin(2/3)$ y $B = \arccos(-1/2)$. Encuentra el valor exacto de $\sin(A + B)$.

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Solución:

Usa la identidad de suma de ángulos:

$$ \sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B) $$

Expande la expresión dada sustituyendo $A$ y $B$:

$$ \sin(A + B) = \sin(\arcsin(\tfrac{2}{3}))\cos(\arccos(-\tfrac{1}{2})) + \cos(\arcsin(\tfrac{2}{3}))\sin(\arccos(-\tfrac{1}{2})) $$

Usa las identidades inversas para simplificar cada término individual:

• $\sin(\arcsin(\tfrac{2}{3})) = \tfrac{2}{3}$
• $\cos(\arccos(-\tfrac{1}{2})) = -\tfrac{1}{2}$
• $\cos(\arcsin(\tfrac{2}{3})) = \sqrt{1 - \left(\tfrac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{5}{9}} = \tfrac{\sqrt{5}}{3}$
• $\sin(\arccos(-\tfrac{1}{2})) = \sqrt{1 - \left(-\tfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{3}{4}} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$

Sustituye estos valores en la ecuación expandida y calcula:

$$ \sin(A + B) = \left(\tfrac{2}{3}\right)\left(-\tfrac{1}{2}\right) + \left(\tfrac{\sqrt{5}}{3}\right)\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\tfrac{1}{3} + \tfrac{\sqrt{15}}{6} $$

Escribe $Y = \sin(2 \arcsin(x))$ como una expresión algebraica.

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Solución:

Sea $A = \arcsin(x)$. Por lo tanto, $Y$ puede escribirse como:

$$ Y = \sin(2A) $$

Usa la identidad de ángulo doble $\sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A)$ para reescribir $Y$:

$$ Y = 2 \sin(A) \cos(A) = 2 \sin(\arcsin(x)) \cos(\arcsin(x)) $$

Aplica las identidades estándar $\sin(\arcsin(x)) = x$ y $\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2}$ para obtener la expresión final:

$$ Y = 2 x \sqrt{1 - x^2} $$

Encuentra el valor exacto de $Y = \sin(2 \arctan(3/4))$.

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Solución:

Sea $A = \arctan\left(\frac{3}{4}\right)$. Por lo tanto, $Y$ puede escribirse como:

$$ Y = \sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A) $$

Evalúa las funciones internas usando las propiedades de conversión algebraica estándar para arcotangente:

$$ \sin(A) = \sin\left(\arctan\left(\frac{3}{4}\right)\right) = \frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2}} = \frac{3}{5} $$

$$ \cos(A) = \cos\left(\arctan\left(\frac{3}{4}\right)\right) = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2}} = \frac{4}{5} $$

Sustituye esto en la fórmula de ángulo doble:

$$ Y = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25} $$