Aprende a simplificar expresiones que involucran funciones trigonométricas inversas en matemáticas de 12º grado. Esta página incluye preguntas de práctica con soluciones paso a paso y explicaciones claras para ayudarte a dominar este tema importante.
Simplifica las expresiones:
sen y arcsen son inversas entre sí, por lo que se pueden usar las propiedades de las funciones inversas para escribir:
\[ \sin(\arcsin(x)) = x, \quad \text{para } -1 \leq x \leq 1 \]
\[ \arcsin(\sin(x)) = x, \quad \text{para } x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \]
NOTA:
Si \( x \) en \( \arcsin(\sin(x)) \) no está en el intervalo \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\), encuentra \( \theta \) en el intervalo \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) tal que \[ \sin(x) = \sin(\theta) \] y luego simplifica: \[ \arcsin(\sin(x)) = \theta \]
Coseno y arcocoseno son funciones inversas entre sí. Por lo tanto, se pueden usar las propiedades de las funciones inversas para escribir:
\[ \cos(\arccos(x)) = x, \quad \text{para } -1 \leq x \leq 1 \]
\[ \arccos(\cos(x)) = x, \quad \text{para } x \in [0, \pi] \]
NOTA:
Si \( x \) en \( \arccos(\cos(x)) \) no está en el intervalo \([0, \pi]\), encuentra \( \theta \) en el intervalo \([0, \pi]\) tal que \( \cos(x) = \cos(\theta) \), y luego simplifica \( \arccos(\cos(x)) = \theta \).
tan y arctan son inversas entre sí, por lo que se pueden usar las propiedades de las funciones inversas para escribir:
\[ \tan(\arctan(x)) = x \]
\[ \arctan(\tan(x)) = x \quad \text{para } x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \]
NOTA:
Si \( x \) en \( \arctan(\tan(x)) \) no está en el intervalo \( \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \), encuentra \( \theta \) en el intervalo \( \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \) tal que \( \tan(x) = \tan(\theta) \) y luego simplifica \( \arctan(\tan(x)) = \theta \).
Expresa lo siguiente como expresiones algebraicas:
\[ \sin(\arccos(x)) \quad \text{y} \quad \tan(\arccos(x)) \]
Sea \( A = \arccos(x) \). Por lo tanto, \[ \cos(A) = \cos(\arccos(x)) = x \]
Usa un triángulo rectángulo con ángulo \( A \) tal que \( \cos(A) = x \) (o \( \frac{x}{1} \)). Encuentra el segundo cateto y calcula \( \sin(A) \) y \( \tan(A) \).
\[ \sin(\arccos(x)) = \sin(A) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{1} = \sqrt{1 - x^2} \quad \text{para } x \in [-1, 1] \]
\[ \tan(\arccos(x)) = \tan(A) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \quad \text{para } x \in [-1, 0) \cup (0, 1] \]
Expresa lo siguiente como expresiones algebraicas:
\[ \cos(\arcsin(x)) \quad \text{y} \quad \tan(\arcsin(x)) \]
Sea \( A = \arcsin(x) \). Por lo tanto, \[ \sin(A) = \sin(\arcsin(x)) = x \]
Usa un triángulo rectángulo con ángulo \( A \) tal que \( \sin(A) = x \) (o \( \frac{x}{1} \)), encuentra el segundo cateto y calcula \( \cos(A) \) y \( \tan(A) \).
\[ \cos(\arcsin(x)) = \cos(A) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{1} = \sqrt{1 - x^2} \quad \text{para } x \in [-1, 1] \]
\[ \tan(\arcsin(x)) = \tan(A) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \quad \text{para } x \in (-1, 1) \]
Expresa lo siguiente como expresiones algebraicas:
\[ \sin(\arctan(x)) \quad \text{y} \quad \cos(\arctan(x)) \]
Sea \( A = \arctan(x) \). Por lo tanto, \[ \tan(A) = \tan(\arctan(x)) = x \]
Usa un triángulo rectángulo con ángulo \( A \) tal que \( \tan(A) = x \) (o \( \frac{x}{1} \)). Encuentra la hipotenusa y calcula \( \sin(A) \) y \( \cos(A) \).
\[ \sin(\arctan(x)) = \sin(A) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \]
\[ \cos(\arctan(x)) = \cos(A) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \]
Simplifica las siguientes expresiones:
Usa la definición.
\[ \arccos(0) = \frac{\pi}{2} \quad \text{porque} \quad \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \quad \text{y} \quad \frac{\pi}{2} \in [0, \pi] \]
\[ \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} \quad \text{porque} \quad \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 \quad \text{y} \quad -\frac{\pi}{2} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \]
\[ \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} \quad \text{porque} \quad \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 \quad \text{y} \quad -\frac{\pi}{4} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \]
Simplifica las funciones internas y luego las externas usando las definiciones.
\[ \sin(\arcsin(-\tfrac{1}{2})) = \sin\left(-\tfrac{\pi}{6}\right) = -\tfrac{1}{2} \]
\[ \arccos(\cos(\tfrac{\pi}{2})) = \arccos(0) = \tfrac{\pi}{2} \]
\[ \arccos(\cos(-\tfrac{\pi}{2})) = \arccos(0) = \tfrac{\pi}{2} \]
Simplifica las funciones internas y luego las externas usando las definiciones.
\[ \cos(\arcsin(-\tfrac{1}{2})) = \cos\left(-\tfrac{\pi}{6}\right) = \tfrac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \arcsin(\sin(\tfrac{\pi}{3})) = \arcsin\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \tfrac{\pi}{3} \]
\[ \arcsin(\tan(\tfrac{3\pi}{4})) = \arcsin(-1) = -\tfrac{\pi}{2} \]
Simplifica las funciones internas y luego las externas usando las definiciones.
\[ \arccos\big(\tan(7\pi/4)\big) = \arccos(-1) = \pi \]
\[ \arcsin\big(\sin(13\pi/3)\big) = \arcsin\big(\sin(4\pi + \pi/3)\big) = \arcsin\big(\sin(\pi/3)\big) = \pi/3 \]
\[ \arctan\big(\tan(-17\pi/4)\big) = \arctan\big(\tan(-4\pi - \pi/4)\big) = \arctan\big(\tan(-\pi/4)\big) = -\pi/4 \]
\[ \arcsin\big(\sin(9\pi/5)\big) = \arcsin\big(\sin(2\pi - \pi/5)\big) = \arcsin\big(\sin(-\pi/5)\big) = -\pi/5 \]
Sea \( A = \arcsin(2/3) \) y \( B = \arccos(-1/2) \). Encuentra el valor exacto de \( \sin(A + B) \).
Usa la identidad
\[
\sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)
\]
para expandir la expresión dada.
\[
\sin(A + B) = \sin(\arcsin(\tfrac{2}{3}))\cos(\arccos(-\tfrac{1}{2})) + \cos(\arcsin(\tfrac{2}{3}))\sin(\arccos(-\tfrac{1}{2}))
\]
Usa las identidades anteriores para simplificar cada término en la expresión.
\[
\sin(\arcsin(\tfrac{2}{3})) = \tfrac{2}{3}
\]
(hemos usado \(\sin(\arcsin(x)) = x\))
\[
\cos(\arccos(-\tfrac{1}{2})) = -\tfrac{1}{2}
\]
(hemos usado \(\cos(\arccos(x)) = x\))
\[
\cos(\arcsin(\tfrac{2}{3})) = \sqrt{1 - \left(\tfrac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{5}{9}} = \tfrac{\sqrt{5}}{3}
\]
(hemos usado \(\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2}\))
\[
\sin(\arccos(-\tfrac{1}{2})) = \sqrt{1 - \left(-\tfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{3}{4}} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}
\]
(hemos usado \(\sin(\arccos(x)) = \sqrt{1 - x^2}\))
Sustituye y calcula.
\[
\sin(A + B) = \left(\tfrac{2}{3}\right)\left(-\tfrac{1}{2}\right) + \left(\tfrac{\sqrt{5}}{3}\right)\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\tfrac{1}{3} + \tfrac{\sqrt{15}}{6}
\]
Escribe \( Y = \sin(2 \arcsin(x)) \) como una expresión algebraica.
Sea \( A = \arcsin(x) \). Por lo tanto, \( Y \) puede escribirse como \[ Y = \sin(2A) \] Usa la identidad \[ \sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A) \] para reescribir \( Y \) de la siguiente manera: \[ Y = 2 \sin(A) \cos(A) = 2 \sin(\arcsin(x)) \cos(\arcsin(x)) \] Usa las identidades \[ \sin(\arcsin(x)) = x \quad \text{y} \quad \cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2} \] para reescribir \( Y \) de la siguiente manera: \[ Y = 2 x \sqrt{1 - x^2} \]
Encuentra el valor exacto de \( Y = \sin(2 \arctan(3/4)) \).
Sea \( A = \arctan\left(\frac{3}{4}\right) \). Por lo tanto, \( Y \) puede escribirse como \[ Y = \sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A) \] \[ \sin(A) = \sin\left(\arctan\left(\frac{3}{4}\right)\right) = \frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2}} = \frac{3}{5} \] \[ \cos(A) = \cos\left(\arctan\left(\frac{3}{4}\right)\right) = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2}} = \frac{4}{5} \] \[ Y = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25} \]