Use funciones sinusoidales para resolver aplicaciones
problemas con soluciones


Resuelve los siguientes problemas.

  1. Una masa unida a un resorte se tira hacia el piso de modo que su altura sobre el piso sea de 10 mm (milímetros). La masa se libera y comienza a moverse hacia arriba y hacia abajo, alcanzando alturas máximas y mínimas de 20 y 10 mm, respectivamente, con un ciclo de 0,8 segundos.

    a) Suponga que la altura h(t) de la masa es una función sinusoidal, donde t es el tiempo en segundos, dibuje un gráfico de h desde t = 0 hasta t = 0,8 segundos. t = 0 es el tiempo en que se libera la masa.

    b) Encuentre una función sinusoidal para la altura h(t).

    c) ¿Por cuántos segundos se encuentra la altura de la masa por encima de 17 mm en un ciclo?

    Solución

    a) La masa se libera en t = 0 cuando h es mínimo. Medio ciclo después h alcanza su máximo y otro medio ciclo alcanza su mínimo nuevamente. Por lo tanto, durante un ciclo, h varía con t de la siguiente manera:

    Gráfico de y = h(t)


    b) De acuerdo con el gráfico obtenido en la parte a), h(t) puede ser modelado por una función coseno desplazada (traducida) verticalmente hacia arriba y horizontalmente hacia la derecha. Por lo tanto

    h(t) = a cos[ b(t - d) ] + c

    Deje hmax ser el valor máximo de hy hmin sea el valor mínimo de h. Por lo tanto

    |a| = (hmax - hmin) / 2 = (20 - 10) / 2 = 5 , a = ~+mn~5

    c = (hmax + hmin) / 2 = (20 + 10) / 2 = 15

    Período = 2π / |b| = 0,8, hence b = ~+mn~ 2,5π

    Usamos a = 5 y b = 2,5π. El desplazamiento de la función del coseno es a la derecha e igual a medio período. Por lo tanto d = 0,4

    h(t) = 5 cos[ 2,5π(t - 0,4) ] + 15

    Compruebe que h tiene un mínimo en t = 0: h(0) = 5 cos[ 2,5π(0 - 0,4) ] + 15 = 5 cos( -π ) + 15 = 10

    Compruebe que h tiene un máximo en t = 0,4: h(0) = 5 cos[ 2,5π(0,4 - 0,4) ] + 15 = 5 cos( 0 ) + 15 = 20

    c) A continuación se muestra el gráfico de y = h(t) e y = 17. Primero tenemos que encontrar t1 y t2 que son los valores de t para los cuales h (t) = 17 al resolver la ecuación

    Gráfico de y = h(t) e y = 17


    5 cos[ 2,5π(t - 0,4) ] + 15 = 17

    cos[ 2,5π(t - 0,4) ] + 15 = (17 - 15) / 5 = 0,4

    2,5π(t - 4) = arccos(0,4)

    t = arccos(0,4) / (2,5π) + 0,4 = 0,547 segundos

    La Solución t encontrada arriba es mayor que 0,4, que es la posición del máximo, y menor que 0.8 y, por lo tanto, corresponde a t2. Por lo tanto

    t2 = arccos(0,4) / (2,5π) + 0,4 = 0,547 segundos

    t1 se obtiene utilizando la simetría de las dos Soluciones con respecto a la posición del máximo en t = 0,4. Por lo tanto

    t1 = 0,4 - (0,547 - 0,4) = 0,252 segundos

    The height of the mass is more than 17 meters for

    t2 - t2 = 0,547 - 0,252 = 0,295 seconds

  2. El número de horas de luz diurna H en un área determinada se da aproximadamente por la función

    H(t) = 2,5 cos[ b(t - d) ] + 11,5

    donde H es en horas y t en días, y la función tiene un período de un año (365 días).

    a) Encuentre b (b> 0) yd si H es máximo el 21 de junio (el mes de febrero tiene 28 días).

    b) ¿Qué día es el más corto (tiene el menor número de horas de luz del día)?

    Solución

    a) Como el período es conocido e igual a 365 días, entonces .

    365 = 2π / b ,por lo tanto b = 2π / 365

    Si fijamos d = 0 en la función H (t) = 2,5 cos [b (t - D)] + 11,5, se convierte en H (t) = 2,5 cos [b t] + 11,5 que tiene un máximo a t = 0.

    En nuestro problema, el máximo ocurre el 21 de junio correspondiente a

    t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 21 = 172 (número de días del 1 de enero al 21 de junio)

    Por lo tanto, el desplazamiento horizontal (traslación) de 172 está a la derecha yd = 172. Por lo tanto,

    H(t) = 2,5 cos[ 42,2(t - 172) ] + 11,5

    b) El día más corto corresponde a t que da H mínimo que es igual a 11,5 - 2,5 = 9. Por lo tanto, tenemos que resolver la ecuación

    2,5 cos[ (2π / 365)(t - 172) ] + 11,5 = 9

    cos[ (2π / 365)(t - 172) ] = (9 - 11,5) / 2,5 = - 1

    (2π / 365)(t - 172) = π

    t = 365π/(2π) + 172 = 354,5 days

    NOTA Podríamos haber respondido la parte b) usando el hecho de que la distancia entre un máximo y el siguiente mínimo en una función sinusoidal es medio período y, por lo tanto, h es mínimo en t = 172 + (1/2) 365 = 354,5 días

    Durante los primeros 11 meses (de enero a noviembre) del año, t es dado por

    t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 = 334

    Número de días en diciembre

    354,5 - 334 = 20,5 cantidad de días en diciembre

    que corresponde aproximadamente al 21 de diciembre .

  3. La temperatura T promedio mensual (en ° C) en cierta ciudad, se puede aproximar por

    T(t) = a cos[ b(t - d) ] + c

    Donde t es el tiempo en meses, t = 0 corresponde a 1 de enero, y suponemos que la función T (t) tiene un período de 12 meses.

    Encuentre a, b (b > 0), c y d si T tiene un máximo de 22,4°C a mediados de julio (t = 6,5) y un mínimo de - 10 ° C.

    b) ¿En qué mes es T mínimo?

    c) Durante cuántos meses es mayor que T 18°C?

    Solución

    a) Los valores mínimo y máximo de T, Tmax y Tmin, respectivamente, nos permiten encontrar a y c de la siguiente manera

    Se nos da: Tmax = 22,4 and Tmin = -10

    c = (Tmax + Tmin) / 2 = 6,2

    |a| = (Tmax - Tmin) / 2 = 16,2 , tomamos a > 0 e igual a 16,2

    La gráfica de T es la de un cos(bt) desplazado 6,5 a la derecha. Por lo tanto

    T(t) = 16,2 cos[ b(t - 6,5) ] + 6,2

    Ahora usamos el período para encontrar b.

    El período es igual a 12 = 2π / b , por lo tanto b = π / 6

    T(t) está dada por

    T(t) = 16,2 cos[ (π / 6)(t - 6,5) ] + 6,2

    b) Encuentre t para lo que T es mínimo. El valor mínimo de T es igual a -10. De ahí que t haga que T mínimo se encuentre resolviendo

    16,2 cos[ (π / 6)(t - 6,5) ] + 6,2 = - 10,2

    cos[ (π / 6)(t - 6,5) ] = - 1

    (π / 6)(t - 6,5) = π

    t = 12,5

    NOTE Podríamos haber respondido a la parte b), usando el hecho de que la distancia entre un máximo y el siguiente mínimo en una función sinusoidal es la mitad de un período y, por tanto, T es mínimo a T = 6,5 + (1/2) 12 = 12,5 días.

    t = 12,5 es mayor que un período que es de 12. De ahí 12,5 corresponde a un período de 12 meses (un año) y 0,5 meses de enero. Entonces la temperatura es mínima a mediados de enero.

    c) (Ver el gráfico a continuación) Primero encontramos los tiempos t1 y t2 en los cuales T = 18 resolviendo la ecuación

    16,2 cos[ (π / 6)(t - 6,5) ] + 6,2 = 18

    cos[ (π / 6)(t - 6,5) ] = (18 - 6,2) / 16,2


    t = (6/π) arccos((18 - 6,2) / 16,2) + 6,5 = 7,94 meses

    Examinar la gráfica de T a continuación y la línea horizontal y = 18 (interpretación gráfica de la ecuación anterior), observamos que la Solución t = 7,94 es mayor que 6,5, que corresponde a t2 = 7,94. Por simetría t1 se puede calcular de la siguiente manera

    Gráfico de y = T(t) e y = 18


    t1 = 6,5 - (t2 - 6,5) = 6,5 - (7,94 - 6,5) = 5,06 meses

    El número de meses para los cuales T es mayor que 18 es igual a

    t2 - t1 = 7,94 - 5,06 = 2,88 ; aproximadamente 3 meses. ,>

  4. El diámetro de una noria grande es de 48 metros y la rueda necesita 2,8 minutos para completar una revolución. Un jinete se sube a la rueda en su punto más bajo que está a 60 cm del suelo en t = 0.

    a) Encuentre una función sinusoidal h(t) que da la altura h, en metros, del jinete sobre el suelo en función del tiempo t en minutos.

    b) Encuentra los intervalos de tiempo para el cual el jinete está a una altura de menos de 30 metros para el período de tiempo desde t = 0 a t = 2,8 minutos.

    c) ¿Cuántos minutos, desde t = 0, le toma al jinete alcanzar el punto más alto por segunda vez?

    Solución

    a) La altura mínima HMin por encima del suelo es de 0,6 metros. La altura máxima hmax es igual a la altura mínima más el diámetro del suelo.

    hmax = 0,6 + 48 = 48,6

    Como h(t) es mínimo en t = 0, sería más fácil modelarlo mediante una función reflejada cos(x). Por lo tanto

    h(t) = a cos[b(t - d)] + c

    |a| = (hmax - hmin) / 2 = -(48,6 - 0,6) / 2 = 24 , two Solucións for a = ~+mn~24

    We take a = -24 where the minus sign account for the reflection on the horizontal axis.

    c = (hmax + hmin) / 2 = (48,6 + 0,6) / 2 = 24,6

    The period = 2,8 = 2π/b , hence b = 2π/2,8

    h(t) = - 24 cos[ (2π/2,8)t ] + 24,6

    Compruebe que en t = 0, h(0) = 0,6 m la altura mínima y en t = 1,4 (medio período posterior)

    h(1,4) = - 24 cos((2π/2,8)×1,4) + 24,6 = - 24 cos(π) + 24,6 = 48,6 m es máximo.

    b) Primero tenemos que resolver la ecuación

    - 24 cos[ (2π/2,8)t ] + 24,6 = 30

    cos [ (2π/2,8)t ] = (30 - 24,6) / (- 24)

    t = 2,8 arccos [ (30 - 24,6) / (-24) ] / (2π) = 0,8 minutos

    La Solución encontró corresponde a t1, que es la intersección de la gráfica de h(t) e y = 30.

    t1 = 0,8 minutos e t2 = 2,8 - 0,8 = 2 minutos.

    h(t) es menor que 30 desde t = 0 hasta t = 0,8 minutos y desde t = 2 hasta t = 2,8 minutos, un total de 1,6 minutos.

    Gráfico de y = h(t) e y = 30


    c) El jinete alcanza el máximo en t = medio período por primera vez yt = medio período + un punto por segunda vez. Por lo tanto, se necesita

    (1/2)2,8 + 2,8 = 4,2 minutos para que el jinete alcance el máximo por segunda vez.

  5. Debido a las atracciones gravitacionales de la luna y el sol en la Tierra, el agua en los mares y océanos tiende a subir y bajar periódicamente, lo que se conoce como mareas altas y bajas. En una situación típica, el tiempo entre dos mareas altas es cerca de 12 horas. En una cierta área costal, la profundidad de agua puede ser aproximado por una función sinusoidal de la forma d(t) = - 2,5 cos[b(T - 2)] + 3,5, donde d es en metros y t en en horas donde t = 0 corresponde a las 12 a.m.

    a) Encuentre b (b > 0) si d tiene un período de 12 horas.

    b) Desde t = 0 hasta t = 12, ¿a qué hora d es la más pequeña (marea baja) y en qué hora es más alta (pleamar)?

    c) Desde t = 0 hasta t = 12, lo que es el intervalo de tiempo durante el cual la profundidad del agua de 4,5 metros o más?

    Solución

    a) Usando el período, tenemos

    12 = 2π/b

    b = π/6

    b) d(t) ahora está dado por

    d(t) = - 2,5 cos[ (π/6)(t - 2) ] + 3,5

    el valor más pequeño de d = -2,5 + 3,5 = 1

    por lo tanto, d es el más pequeño para t tal que - 2,5 cos[ (π/6)(t - 2) ] + 3,5 = 1

    Resuelve para obtener : cos[ (π/6)(t - 2) ] = 1

    (π/6)(t - 2) = 0

    t = 2 , correspondiente a las 2 a.m.

    el valor más alto de d = 2,5 + 3,5 = 6

    por lo tanto d es más grande para t tal que - 2,5 cos[ (π/6)(t - 2) ] + 3,5 = 6

    Resuelve para obtener : cos[ (π/6)(t - 2) ] = - 1

    (π/6)(t - 2) = π

    t = 8 , correspondiente a las 10 a.m.

    NOTA Podríamos haber respondido la parte b) utilizando el hecho de que la distancia entre un mínimo y el máximo siguiente en una función sinusoidal es medio período y, por lo tanto, d es máximo en t = 2 + (1/2) 12 = 8

    c) Primero necesitamos encontrar t para lo cual h(t) = 4,5 resolviendo la ecuación

    Graph of y = d(t) e y = 4,5


    - 2,5 cos[ (π/6)(t - 2) ] + 3,5 = 4,5

    t1 = 6 arccos(-1/2,5) + 2 = 5,8 horas

    t2 = 8 + (8 - 5,8) = 10,2 horas (use simetría con respecto a la posición del máximo)

    el número total de horas para las cuales d (t) es más de 4,5 m es : 10,2 - 5,8 = 4,4 horas.


  6. Debido a las mareas altas y bajas, la profundidad d de agua en una cierta área costal puede expresarse por una función sinusoidal. La marea alta se presenta a las 8 de la mañana y la marea más baja se produce 6 horas más tarde. El nivel máximo de agua es de 2,8 metros y el nivel más bajo de agua es de 0,4 metros.

    a) Use funciones sinusoidales para hallar la profundidad d (t) del agua, en metros, en función del tiempo t en horas. (Supongamos que las 8 a.m. corresponde a t = 0).

    b) Encuentra la profundidad del agua al mediodía.

    c) Use the graph of d(t) and analytical calculations to calcualte the interval of time during which the depth d is below 1,5 m from 12 pm to 6 pm. Utilice la gráfica de d(t) y los cálculos analíticos para calcular el intervalo de tiempo durante el cual la profundidad d es inferior a 1,5 m de 12 p.m a 6 p.m.

    Solución

    a) Deje d(t) escribirse como

    d(t) = a cos[b(t - d)] + c

    El dmin mínimo y el dmax máximo de d son

    dmin = 0,4

    dmax = 2,8

    c = (dmax + dmin) / 2 = (2,8 + 0,4) / 2 = 1,6

    |a| = (dmax - dmin) / 2 = (2,8 - 0,4) / 2 = 1,2

    Dado que d(t) tiene un mínimo en t = 0 (8 a.m.), podemos seleccionar a = - 1,2 e d = 0

    d(t) = -1,2 cos[b(t)] + 1,6 , donde es fácil verificar que d = -1,2 + 1,6 = 0,4 a t = 0.

    Ahora usamos el período para encontrar b (b > 0) de la siguiente manera

    periodo = 12 = 2π / b

    por lo tanto b = π / 6

    d(t) ahora está escrito como

    d(t) = -1,2 cos[ (π / 6)(t) ] + 1,6 , donde es fácil comprobar que el máximo se produce en t = 6.

    b) El mediodía corresponde a t = 4, por lo tanto

    d(4) = -1,2 cos[ (π / 6)(4) ] + 1,6 = 2,2 m

    c) La gráfica de d(t) se muestra a continuación con líneas verticales correspondientes a 12 p.m. a 6 p.m. y una línea horizontal que corresponde a d = 1,5. La profundidad del agua es menos de 1,5 de t0 a 6 p.m. (t = 10). Necesitamos encontrar t0 que es un punto de intersección de d(t) e y = 1,5 mediante la resolución de la ecuación.

    -1,2 cos[(π / 6)(t)] + 1,6 = 1,5

    Gráfico de y = d(t) and y = 1,5


    t = 6 arccos( (1,5 - 1,6)/(-1,2) ) / π ≈ 2,84

    La Solución encontrada corresponde al punto de intersección izquierdo de d (t) e y = 1,5. El punto correcto t0 se puede encontrar usando la simetría del gráfico con respecto al punto máximo. Por lo tanto

    t0 = 6 + (6 - 2,84) = 9,16 horas

    9,16 horas corresponden a 5 pm y 0,16 × 60 minutos ≈ 5:10 p.m.

    De 12 p.m. a 6 p.m., La profundidad del agua es inferior a 1,5 de 5:10 p.m a 6 p.m.

  7. Un sistema de paneles solares produce una potencia promedio diaria P que cambia durante el año. Es máximo el 21 de junio (día con mayor cantidad de luz diurna) e igual a 20 kwh / día. Suponemos que P varía con el tiempo t de acuerdo con la función sinusoidal

    P(t) = a cos[b(t - d)] + c

    donde t = 0 corresponde al primero de enero, P es la potencia en kwh/día y P (t) tiene un período de 365 días (28 días en febrero). El valor mínimo de P es 4 kwh / día.

    a) Encuentra los parámetros a, b, c y d.

    b) Sketch P(t) durante un período de t = 0 to t = 365.

    c) ¿Cuándo es mínima la potencia producida por el sistema solar?

    d) La potencia producida por este sistema solar es suficiente para alimentar un grupo de máquinas si la potencia producida por el sistema es mayor o igual a 16 kwh/día. ¿Por cuántos días, en un año, es suficiente la energía producida por el sistema?

    Solución



    a) Deje que P(t) se escriba como

    P(t) = a cos[b(t - d)] + c

    El mínimo Pmin y la Pmax máxima de P(t) se dan.

    Pmin = 4

    Pmax = 20

    c = (Pmax + Pmin) / 2 = (20 + 4) / 2 = 12

    |a| = (Pmax - Pmin) / 2 = (20 - 4) / 2 = 8

    Ahora necesitamos encontrar el número de días t después del 1 de enero en el que P(t) es máximo contando los días de los meses de enero a mayo y agregando 21 días en junio.

    t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 21 = 172

    Ahora usamos el período para encontrar b (b > 0) de la siguiente manera

    periodo = 365 = 2π / b

    por lo tanto b = 2π / 365

    Una función coseno sin desplazamiento tiene un máximo en t = 0. P(t) tiene un máximo en t = 172. Podemos modelar P (t) mediante una función cos (x) desplazada por 172 a la derecha de la siguiente manera:

    P(t) = 8 cos[(2π / 365)(t - 172)] + 12

    compruebe que P(t) es máximo en t = 172: P(172) = 8 cos[(2π/365)(172 - 172)] + 12 = 8 cos[(0)] + 12 = 20

    b) El gráfico de P(t) se muestra a continuación.

    Gráfico de y = P(t) e y = 16


    c) Hay una diferencia de medio período entre el máximo en t = 172 y el mínimo después de ese máximo. Por lo tanto, P (t) es mínimo en

    t = 172 + 0,5(365) = 354,5

    Los primeros 11 once meses tienen 334 días. Por lo tanto, t = 354,5 corresponde al 21 de diciembre, día en que P (t) es mínimo.

    d) Para encontrar el número de días para los cuales la energía producida es suficiente, necesitamos encontrar t1 y t2 correspondientes a los puntos de intersección de P (t) e y = 16 como se muestra en el gráfico al resolver la ecuación

    P(t) = 16

    8 cos[(2π / 365)(t - 172)] + 12 = 16

    cos[(2π / 365)(t - 172)] = 1/2

    t = 172 + 365 arccos(1/2) / 2π = 232,8

    La Solución encontrada arriba es mayor que 172 correspondiente al máximo. Por lo tanto, la Solución anterior corresponde a t2 en los gráficos (Solución a la derecha). La Solución de la izquierda se encuentra por simetría de la siguiente manera:

    t1 = 172 - (232,8 - 172) = 111,2

    t2 - t1 = 232,8 - 111,2 = 121,6 days

    El sistema produce suficiente energía durante aproximadamente 121 días.


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