Las funciones seno son herramientas matemáticas potentes utilizadas para modelar fenómenos periódicos que se repiten en el tiempo. Esta página web explora cómo las funciones seno ayudan a resolver problemas del mundo real que involucran movimiento, ciclos y oscilaciones. Ya sea analizando el movimiento de una masa oscilante, prediciendo el número de horas de luz solar a lo largo del año, estimando temperaturas promedio mensuales, modelando la rotación de una rueda de la fortuna, comprendiendo las mareas altas y bajas, u optimizando el rendimiento de paneles solares, las funciones seno proporcionan soluciones precisas y prácticas. Sumérgete en cada ejemplo para ver cómo las matemáticas se encuentran con el mundo real a través de modelos sinusoidales.
Problemas con soluciones
Problema 1
Una masa unida a un resorte es tirada hacia el suelo de modo que su altura sobre el suelo es de 10 mm (milímetros). La masa es luego liberada y comienza a moverse hacia arriba y hacia abajo alcanzando alturas máxima y mínima de 20 y 10 mm, respectivamente, con un ciclo de 0.8 segundos.
- Supón que la altura $h(t)$ de la masa es una función sinusoidal, donde $t$ es el tiempo en segundos. Esboza una gráfica de $h$ desde $t = 0$ hasta $t = 0.8$ segundos. $t = 0$ es el tiempo en el que la masa es liberada.
- Encuentra una función sinusoidal para la altura $h(t)$.
- ¿Durante cuántos segundos la altura de la masa está por encima de los 17 mm en un ciclo?
Solución
-
La masa es liberada en $t = 0$ cuando $h$ es mínima. Medio ciclo después, $h$ alcanza su máximo y otro medio ciclo después alcanza su mínimo nuevamente. Por lo tanto, durante un ciclo, $h$ varía con $t$ de la siguiente manera:
-
De acuerdo con la gráfica obtenida en la parte a), $h(t)$ podría ser modelada por una función coseno trasladada verticalmente hacia arriba y horizontalmente hacia la derecha. Por lo tanto:
$$ h(t) = a \cos[ b(t - d) ] + c $$
Sea $h_{\text{máx}}$ el valor máximo de $h$ y $h_{\text{mín}}$ el valor mínimo de $h$. Por lo tanto:
$$ |a| = \frac{h_{\text{máx}} - h_{\text{mín}}}{2} = \frac{20 - 10}{2} = 5 , \quad a = \pm 5 $$
$$ c = \frac{h_{\text{máx}} + h_{\text{mín}}}{2} = \frac{20 + 10}{2} = 15 $$
$$ \text{Período} = \frac{2\pi}{|b|} = 0.8 \Rightarrow b = \pm 2.5\pi $$
Usamos $a = 5$ y $b = 2.5\pi$. El desplazamiento de la función coseno es hacia la derecha e igual a medio período. Por lo tanto, $d = 0.4$
$$ h(t) = 5 \cos[ 2.5\pi(t - 0.4) ] + 15 $$
Comprueba que $h$ tiene un mínimo en $t = 0$:
$$ h(0) = 5 \cos[ 2.5\pi(0 - 0.4) ] + 15 = 5 \cos( -\pi ) + 15 = 10 $$
Comprueba que $h$ tiene un máximo en $t = 0.4$:
$$ h(0.4) = 5 \cos[ 2.5\pi(0.4 - 0.4) ] + 15 = 5 \cos( 0 ) + 15 = 20 $$
-
A continuación se muestra la gráfica de $y = h(t)$ y $y = 17$. Primero debemos encontrar $t_1$ y $t_2$, que son los valores de $t$ para los cuales $h(t) = 17$, resolviendo la ecuación:
$$ 5 \cos[ 2.5\pi(t - 0.4) ] + 15 = 17 $$
$$ \cos[ 2.5\pi(t - 0.4) ] = \frac{17 - 15}{5} = 0.4 $$
$$ 2.5\pi(t - 0.4) = \arccos(0.4) $$
$$ t = \frac{\arccos(0.4)}{2.5\pi} + 0.4 = 0.547 \text{ segundos} $$
La solución $t$ encontrada anteriormente es mayor que $0.4$, que es la posición del máximo, y menor que $0.8$, por lo que corresponde a $t_2$. Por lo tanto:
$$ t_2 = \frac{\arccos(0.4)}{2.5\pi} + 0.4 = 0.547 \text{ segundos} $$
$t_1$ se obtiene utilizando la simetría de las dos soluciones con respecto a la posición del máximo en $t = 0.4$. Por lo tanto:
$$ t_1 = 0.4 - (0.547 - 0.4) = 0.252 \text{ segundos} $$
La altura de la masa es mayor a 17 mm durante:
$$ t_2 - t_1 = 0.547 - 0.252 = 0.295 \text{ segundos} $$
Problema 2
El número de horas de luz solar $H$ en cierta área está dado aproximadamente por la función:
$$ H(t) = 2.5 \cos\left[ b(t - d) \right] + 11.5 $$
donde $H$ está en horas y $t$ en días, y la función tiene un período de un año (365 días).
- Encuentra $b$ ($b > 0$) y $d$ si $H$ es máximo el 21 de junio (el mes de febrero tiene 28 días).
- ¿Qué día es el más corto (tiene el menor número de horas de luz solar)?
Solución
-
Dado que el período es conocido e igual a 365 días, usamos la fórmula:
$$ 365 = \frac{2\pi}{b} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{2\pi}{365} $$
Si establecemos $d = 0$ en la función
$$ H(t) = 2.5 \cos[b(t - d)] + 11.5 $$
se convierte en
$$ H(t) = 2.5 \cos(bt) + 11.5 $$
la cual tiene un máximo en $t = 0$.
En nuestro problema, el máximo ocurre el 21 de junio, lo cual corresponde a:
$$ t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 21 = 172 $$
(días desde el 1 de enero hasta el 21 de junio).
Por lo tanto, el desplazamiento horizontal es de 172 unidades hacia la derecha, y $d = 172$. Por lo tanto:
$$ H(t) = 2.5 \cos\left[\frac{2\pi}{365}(t - 172)\right] + 11.5 $$
-
El día más corto corresponde al valor de $t$ que da el mínimo de $H$, el cual es:
$$ 11.5 - 2.5 = 9 $$
Resolvemos la ecuación:
$$ 2.5 \cos\left[\frac{2\pi}{365}(t - 172)\right] + 11.5 = 9 $$
$$ \cos\left[\frac{2\pi}{365}(t - 172)\right] = \frac{9 - 11.5}{2.5} = -1 = \cos(\pi) $$
lo cual da
$$ \frac{2\pi}{365}(t - 172) = \pi $$
$$ t = \frac{365\pi}{2\pi} + 172 = 354.5 \text{ días} $$
Nota: Podríamos determinar esto reconociendo que el tiempo desde un máximo hasta el siguiente mínimo en una función coseno es la mitad del período. Por lo tanto, el mínimo ocurre en:
$$ t = 172 + \frac{1}{2}(365) = 354.5 \text{ días} $$
Para calcular el número de días desde enero hasta noviembre:
$$ t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 = 334 $$
Entonces, el número de días en diciembre es:
$$ 354.5 - 334 = 20.5 $$
lo cual corresponde aproximadamente al 21 de diciembre.
Problema 3
La temperatura promedio mensual $T$ (en $^{\circ} \mathrm{C}$) en cierta ciudad puede aproximarse mediante
$$ T(t) = a \cos\left[ b(t - d) \right] + c $$
donde $t$ es el tiempo en meses, $t = 0$ corresponde al 1 de enero, y asumimos que la función $T(t)$ tiene un período de 12 meses.
- Encuentra $a$, $b$ (con $b > 0$), $c$ y $d$ si $T$ tiene un máximo de $22.4^{\circ} \mathrm{C}$ a mediados de julio ($t = 6.5$) y un mínimo de $-10^{\circ} \mathrm{C}$.
- ¿En qué mes es $T$ mínima?
- ¿Durante cuántos meses es $T$ mayor a $18^{\circ} \mathrm{C}$?
Solución
-
Los valores mínimo y máximo de $T$, denotados como $T_{\text{máx}}$ y $T_{\text{mín}}$ respectivamente, nos permiten encontrar $a$ y $c$ de la siguiente manera:
Dados:
$$ T_{\text{máx}} = 22.4 \quad \text{y} \quad T_{\text{mín}} = -10 $$
$$ c = \frac{T_{\text{máx}} + T_{\text{mín}}}{2} = 6.2 $$
$$ |a| = \frac{T_{\text{máx}} - T_{\text{mín}}}{2} = 16.2 \quad \text{(tomamos } a > 0 \text{)} $$
La gráfica de $T$ es la de una función coseno $a \cos(bt)$ desplazada 6.5 unidades a la derecha. Por lo tanto:
$$ T(t) = 16.2 \cos[ b(t - 6.5) ] + 6.2 $$
Ahora usamos el período para encontrar $b$. El período es 12, y dado que
$$ \text{Período} = \frac{2\pi}{b} = 12 , \quad \text{obtenemos } b = \frac{\pi}{6} $$
Por lo tanto, la función de temperatura es:
$$ T(t) = 16.2 \cos\left[ \frac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] + 6.2 $$
-
Encuentra $t$ para el cual $T$ es mínima. El valor mínimo de $T$ es -10. Resolvemos:
$$ 16.2 \cos\left[ \frac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] + 6.2 = -10 $$
$$ \cos\left[ \frac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] = -1 = \cos(\pi) $$
$$ \frac{\pi}{6}(t - 6.5) = \pi $$
$$ t = 12.5 $$
Nota: Podríamos haber respondido esto usando el hecho de que la distancia entre un máximo y el mínimo siguiente en una función sinusoidal es la mitad del período. Por lo tanto:
$$ t = 6.5 + \frac{1}{2}(12) = 12.5 \text{ meses} $$
Dado que $t = 12.5$ es ligeramente más que un período (12 meses), corresponde a mediados de enero, lo que significa que la temperatura es mínima alrededor de esa época.
-
Ahora encontramos los tiempos $t_1$ y $t_2$ en los que $T = 18$ resolviendo la ecuación:
$$ 16.2 \cos\left[ \frac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] + 6.2 = 18 $$
$$ \cos\left[ \frac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] = \frac{18 - 6.2}{16.2} $$
$$ \frac{\pi}{6}(t - 6.5) = \arccos\left( \frac{18 - 6.2}{16.2} \right) $$
$$ t = \frac{6}{\pi} \arccos\left( \frac{18 - 6.2}{16.2} \right) + 6.5 = 7.94 \text{ meses} $$
A partir de la gráfica de $T(t)$ y la línea horizontal $y = 18$, la solución $t = 7.94$ corresponde a $t_2 = 7.94$. Por simetría:
$$ t_1 = 6.5 - (t_2 - 6.5) = 6.5 - (7.94 - 6.5) = 5.06 \text{ meses} $$
El número de meses durante los cuales $T > 18$ es:
$$ t_2 - t_1 = 7.94 - 5.06 = 2.88 \text{ meses (aproximadamente 3 meses)} $$
Problema 4
El diámetro de una rueda de la fortuna grande es de 48 metros y la rueda tarda 2.8 minutos en completar una revolución. Un pasajero sube a la rueda en su punto más bajo, el cual está a 60 cm sobre el suelo, en $t = 0$.
- Encuentra una función sinusoidal $h(t)$ que dé la altura $h$, en metros, del pasajero sobre el suelo en función del tiempo $t$ en minutos.
- Encuentra los intervalos de tiempo para los cuales el pasajero está a una altura menor a 30 metros durante el período de tiempo de $t = 0$ a $t = 2.8$ minutos.
- ¿Cuántos minutos, desde $t = 0$, tarda el pasajero en alcanzar el punto más alto por segunda vez?
Solución
-
La altura mínima $h_{\text{mín}}$ sobre el suelo es de 0.6 metros. La altura máxima $h_{\text{máx}}$ es igual a la altura mínima más el diámetro de la rueda.
$$ h_{\text{máx}} = 0.6 + 48 = 48.6 $$
Dado que $h(t)$ es mínima en $t = 0$, sería más fácil modelarla mediante una función coseno reflejada. Por lo tanto:
$$ h(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$
$$ |a| = \frac{h_{\text{máx}} - h_{\text{mín}}}{2} = -\frac{48.6 - 0.6}{2} = 24 $$
Dos soluciones para $a$ son $\pm 24$.
Seleccionamos $a = -24$, donde el signo menos representa la reflexión sobre el eje horizontal. Por lo tanto:
$$ c = \frac{h_{\text{máx}} + h_{\text{mín}}}{2} = \frac{48.6 + 0.6}{2} = 24.6 $$
El período es 2.8, y dado que:
$$ \text{período} = \frac{2\pi}{b} \Rightarrow b = \frac{2\pi}{2.8} $$
$$ h(t) = -24 \cos\left( \frac{2\pi}{2.8} t \right) + 24.6 $$
Comprobación: En $t = 0$,
$$ h(0) = -24 \cos(0) + 24.6 = -24(1) + 24.6 = 0.6 \, \text{m} $$
En $t = 1.4$ (medio período después),
$$ h(1.4) = -24 \cos\left( \frac{2\pi}{2.8} \cdot 1.4 \right) + 24.6 = -24 \cos(\pi) + 24.6 = 48.6 \, \text{m} $$
-
Primero debemos resolver la ecuación:
$$ -24 \cos\left( \frac{2\pi}{2.8} t \right) + 24.6 = 30 $$
$$ \cos\left( \frac{2\pi}{2.8} t \right) = \frac{30 - 24.6}{-24} $$
$$ t = \frac{2.8}{2\pi} \arccos\left( \frac{30 - 24.6}{-24} \right) = 0.8 \, \text{minutos} $$
La solución corresponde a $t_1$, la primera intersección de la gráfica de $h(t)$ y la línea $y = 30$. Por lo tanto:
$$ t_1 = 0.8 \, \text{min}, \quad t_2 = 2.8 - 0.8 = 2 \, \text{min} $$
$h(t) \lt 30$ desde $t = 0$ hasta $t = 0.8$ y desde $t = 2$ hasta $t = 2.8$, para un total de 1.6 minutos.
-
El pasajero alcanza el máximo en $t = \frac{1}{2} \cdot 2.8$ por primera vez y nuevamente en:
$$ t = \frac{1}{2} \cdot 2.8 + 2.8 = 4.2 \, \text{minutos} $$
para alcanzar la altura máxima por segunda vez.
Problema 5
Debido a las atracciones gravitacionales de la luna y el sol sobre la Tierra, el agua en mares y océanos tiende a subir y bajar periódicamente, correspondiendo a lo que se llama mareas altas y bajas. En una situación típica, el tiempo entre dos mareas altas es cercano a las 12 horas. En cierta área costera, la profundidad del agua puede aproximarse mediante una función sinusoidal de la forma:
$$ d(t) = -2.5 \cos[ b(t - 2) ] + 3.5 $$
donde $d$ está en metros y $t$ en horas, con $t = 0$ correspondiente a las 12 am.
- Encuentra $b$ ($b > 0$) si $d$ tiene un período de 12 horas.
- Desde $t = 0$ hasta $t = 12$, ¿a qué hora es $d$ la más pequeña (marea baja) y a qué hora es la más alta (marea alta)?
- Desde $t = 0$ hasta $t = 12$, ¿cuáles son los intervalos de tiempo durante los cuales la profundidad del agua es de 4.5 metros o más?
Solución
-
Usando el período, tenemos:
$$ 12 = \frac{2\pi}{b} $$
$$ b = \frac{\pi}{6} $$
-
$d(t)$ está dada ahora por:
$$ d(t) = -2.5 \cos\left( \frac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3.5 $$
El valor más pequeño de $d$ es:
$$ -2.5 + 3.5 = 1 $$
Por lo tanto, $d$ es mínima para $t$ tal que:
$$ -2.5 \cos\left( \frac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3.5 = 1 $$
Resuelve para obtener:
$$ \cos\left( \frac{\pi}{6}(t - 2) \right) = 1 $$
$$ \frac{\pi}{6}(t - 2) = 0 $$
$$ t = 2 \quad \text{(correspondiente a las 2 am)} $$
El valor más alto de $d$ es:
$$ 2.5 + 3.5 = 6 $$
Por lo tanto, $d$ es máxima para $t$ tal que:
$$ -2.5 \cos\left( \frac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3.5 = 6 $$
Resuelve para obtener:
$$ \cos\left( \frac{\pi}{6}(t - 2) \right) = -1 $$
$$ \frac{\pi}{6}(t - 2) = \pi $$
$$ t = 8 \quad \text{(correspondiente a las 10 am)} $$
NOTA: Podríamos haber respondido la parte b) usando el hecho de que la distancia entre un mínimo y el máximo siguiente en una función sinusoidal es la mitad de un período. Por lo tanto:
$$ d \text{ es máxima en } t = 2 + \frac{1}{2} \cdot 12 = 8 $$
-
Primero necesitamos encontrar $t$ para el cual $h(t) = 4.5$ resolviendo la ecuación:
$$ -2.5 \cos\left( \frac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3.5 = 4.5 $$
que puede escribirse como:
$$ \cos\left( \frac{\pi}{6}(t - 2) \right) = \dfrac{1}{-2.5} $$
Resuelve para $t$:
$$ t_1 = \dfrac{6}{\pi}\cdot \arccos\left( -\frac{1}{2.5} \right) + 2 = 5.8 \text{ horas} $$
$$ t_2 = 8 + (8 - 5.8) = 10.2 \text{ horas (usando simetría respecto a la posición del máximo)} $$
El número total de horas durante las cuales $d(t) > 4.5 \, \text{m}$ es:
$$ 10.2 - 5.8 = 4.4 \text{ horas} $$
Problema 6
Debido a las mareas altas y bajas, la profundidad $d$ del agua en cierta zona costera puede expresarse mediante una función sinusoidal. La marea más alta ocurre a las 8 am y la marea más baja ocurre 6 horas después. El nivel máximo de agua es de 2.8 metros y el nivel más bajo es de 0.4 metros.
- Usa funciones sinusoidales para encontrar la profundidad $d(t)$ del agua, en metros, como una función del tiempo $t$ en horas. (Asume que las 8 am corresponden a $t = 0$).
- Encuentra la profundidad del agua al mediodía.
- Usa la gráfica de $d(t)$ y cálculos analíticos para calcular el intervalo de tiempo durante el cual la profundidad $d$ está por debajo de $1.5 \, \text{m}$ desde las 12 pm hasta las 6 pm.
Solución
-
Sea $d(t)$ escrita como:
$$ d(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$
El mínimo $d_{\text{mín}}$ y el máximo $d_{\text{máx}}$ de $d$ son:
$$ d_{\text{mín}} = 0.4 $$
$$ d_{\text{máx}} = 2.8 $$
$$ c = \frac{d_{\text{máx}} + d_{\text{mín}}}{2} = \frac{2.8 + 0.4}{2} = 1.6 $$
$$ |a| = \frac{d_{\text{máx}} - d_{\text{mín}}}{2} = \frac{2.8 - 0.4}{2} = 1.2 $$
Dado que $d(t)$ tiene un mínimo en $t = 0$ (8 am), podemos seleccionar $a = -1.2$ y $d = 0$:
$$ d(t) = -1.2 \cos(bt) + 1.6 $$
donde es fácil verificar que $d = -1.2 + 1.6 = 0.4$ en $t = 0$.
Ahora usamos el período para encontrar $b$ ($b > 0$) de la siguiente manera:
$$ \text{período} = 12 = \frac{2\pi}{b} $$
$$ \Rightarrow b = \frac{\pi}{6} $$
$d(t)$ se escribe ahora como:
$$ d(t) = -1.2 \cos\left( \frac{\pi}{6}t \right) + 1.6 $$
donde es fácil verificar que el máximo ocurre en $t = 6$.
-
Al mediodía $t = 4$, por lo tanto:
$$ d(4) = -1.2 \cos\left( \frac{\pi}{6} \cdot 4 \right) + 1.6 = 2.2 \, \text{m} $$
-
La gráfica de $d(t)$ se muestra a continuación con líneas verticales que corresponden de 12 pm a 6 pm y una línea horizontal correspondiente a $d = 1.5$. La profundidad del agua es menor a 1.5 desde $t_0$ hasta las 6 pm ($t = 10$). Necesitamos encontrar $t_0$, que es un punto de intersección de $d(t)$ y $y = 1.5$, resolviendo la ecuación:
$$ -1.2 \cos\left( \frac{\pi}{6}t \right) + 1.6 = 1.5 $$
$$ t = \frac{6 \cdot \arccos\left( \frac{1.5 - 1.6}{-1.2} \right)}{\pi} \approx 2.84 $$
La solución encontrada corresponde al punto de intersección izquierdo de $d(t)$ y $y = 1.5$. El punto derecho $t_0$ puede encontrarse usando la simetría de la gráfica con respecto al punto máximo. Por lo tanto:
$$ t_0 = 6 + (6 - 2.84) = 9.16 \, \text{horas} $$
$0.16$ horas corresponden a:
$$ 0.16 \times 60 \, \text{minutos} \approx 10 \text{ minutos} $$
$9.16$ horas corresponden a:
$$ \approx 5:10 \, \text{pm} $$
Desde las 12 pm hasta las 6 pm, la profundidad del agua está por debajo de 1.5 desde las 5:10 pm hasta las 6 pm.
Problema 7
Un sistema de paneles solares produce una potencia promedio diaria $P$ que cambia durante el año. Es máxima el 21 de junio (día con mayor número de horas de luz solar) e igual a $20 \ \text{kWh/día}$. Asumimos que $P$ varía con el tiempo $t$ según la función sinusoidal:
$$ P(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$
donde $t = 0$ corresponde al 1 de enero, $P$ es la potencia en kWh/día, y $P(t)$ tiene un período de 365 días (28 días en febrero). El valor mínimo de $P$ es $4 \ \text{kWh/día}$.
- Encuentra los parámetros $a$, $b$, $c$ y $d$.
- Esboza $P(t)$ en un período de $t = 0$ a $t = 365$.
- ¿Cuándo es mínima la potencia producida por el sistema solar?
- La potencia producida por este sistema solar es suficiente para alimentar un grupo de máquinas si la potencia producida por el sistema es mayor o igual a $16 \ \text{kWh/día}$. ¿Durante cuántos días, en un año, es suficiente la potencia producida por el sistema?
Solución
-
Sea $P(t)$ escrita como:
$$ P(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$
El mínimo $P_{\text{mín}}$ y el máximo $P_{\text{máx}}$ de $P(t)$ son dados:
$$ P_{\text{mín}} = 4 $$
$$ P_{\text{máx}} = 20 $$
$$ c = \frac{P_{\text{máx}} + P_{\text{mín}}}{2} = \frac{20 + 4}{2} = 12 $$
$$ |a| = \frac{P_{\text{máx}} - P_{\text{mín}}}{2} = \frac{20 - 4}{2} = 8 $$
Ahora necesitamos encontrar el número de días $t$ después del 1 de enero en el que $P(t)$ es máxima contando los días de los meses de enero a mayo y sumando 21 días de junio:
$$ t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 21 = 172 $$
Ahora usamos el período para encontrar $b$ (con $b > 0$) de la siguiente manera:
$$ \text{período} = 365 = \frac{2\pi}{b} $$
$$ \Rightarrow b = \frac{2\pi}{365} $$
Una función coseno sin desplazamiento tiene un máximo en $t = 0$. $P(t)$ tiene un máximo en $t = 172$. Podemos modelar $P(t)$ mediante una función coseno desplazada 172 unidades a la derecha:
$$ P(t) = 8 \cos\left(\frac{2\pi}{365}(t - 172)\right) + 12 $$
Comprobación de que $P(t)$ es máxima en $t = 172$:
$$ P(172) = 8 \cos\left(\frac{2\pi}{365}(172 - 172)\right) + 12 = 8 \cos(0) + 12 = 20 $$
-
La gráfica de $P(t)$ se muestra a continuación.
-
Existe una diferencia de medio período entre el máximo en $t = 172$ y el mínimo después de ese máximo. Por lo tanto, $P(t)$ es mínima en:
$$ t = 172 + 0.5(365) = 354.5 $$
Los primeros 11 meses tienen 334 días. Por lo tanto, 354.5 corresponde al 21 de diciembre, el día en que $P(t)$ es mínima.
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Para encontrar el número de días para los cuales la potencia producida es suficiente, necesitamos encontrar $t_1$ y $t_2$ correspondientes a los puntos de intersección de $P(t)$ y $y = 16$, como se muestra en la gráfica, resolviendo la ecuación:
$$ P(t) = 16 $$
$$ 8 \cos\left(\frac{2\pi}{365}(t - 172)\right) + 12 = 16 $$
$$ \cos\left(\frac{2\pi}{365}(t - 172)\right) = \frac{1}{2} $$
$$ t = 172 + \frac{365}{2\pi} \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 232.8 $$
La solución encontrada anteriormente es mayor que 172, correspondiente al máximo. Por lo tanto, la solución anterior corresponde a $t_2$ en la gráfica (solución del lado derecho). La solución a la izquierda se encuentra por simetría:
$$ t_1 = 172 - (232.8 - 172) = 111.2 $$
$$ t_2 - t_1 = 232.8 - 111.2 = 121.6 \text{ días} $$
El sistema produce suficiente potencia durante unos 121 días.