Gráfica de secante y cosecante

Se discute el trazado de las funciones secante y cosecante en la forma

y = a sec[ k ( x - d) ]    y    y = a csc[ k ( x - d)]
con ejemplos detallados.

Parámetros de las gráficas de y = sec(x) y y = csc(x)

Rango: (-∞ , -1) ∪ (1 , +∞)
Período = 2π
Desplazamiento horizontal (traslación) = d , a la izquierda si (- d) es positivo y a la derecha si (- d) es negativo.
Asíntotas verticales de y = sec(x) = 1 / cos(x) en los ceros de cos(x) dados por x = π/2 + kπ , k = 0 , ±1, ±2, ...
Asíntotas verticales de y = csc(x) = 1 / sin(x) en los ceros de sin(x) dados por x = kπ , k = 0 , ±1, ±2, ...
Necesitamos saber cómo trazar funciones de secante y cosecante básicas utilizando las identidades y = sec(x) = 1 / cos(x) y y = csc(x) = 1 / sin(x) para entender las asíntotas verticales.

y = sec(x) = 1 / cos(x)

Todos los ceros de cos(x) (que están en el denominador) son asíntotas verticales de sec(x).
gráfica de y = sec(x)

y = csc(x) = 1 / sin(x)

Todos los ceros de sin(x) (que están en el denominador) son asíntotas verticales de csc(x).
gráfica de y = csc(x)


Trazado y graficación de funciones secante y cosecante: Ejemplos con soluciones detalladas

Ejemplo 1

Dibuja la gráfica de y = sec(2x - π/3) en un período.

solución


Parámetros de las gráficas
Rango: (-∞ , - 1) ∪ (1, +∞)
Período = 2π/2 = π
Asíntotas verticales dadas por la solución a la ecuación: 2x - π/3 = π/2 + kπ que da: x = 5π/12 + kπ/2, , k = 0 , ±1, ±2, ...
Desplazamiento horizontal: Debido al término - π/3, la gráfica se desplaza horizontalmente. Primero reescribimos la función dada como: y = sec[2(x - π/6)] y ahora podemos escribir el desplazamiento como igual a π/6 a la derecha.
Dibujamos y = sec(2x - π/3) trasladando la gráfica de y = sec(2x) en π/6 hacia la derecha (gráfica roja abajo) para que el período trazado comience en π/6 y termine en π/6 + π = 7π/6, que es un período igual a π.
Gráfica de y = sec(2x - π/3)

Ejemplo 2

Dibuja la gráfica de y = - 3 csc(x/2 + π/2) en un período.

solución


Parámetros de las gráficas
Rango: (-∞ , -3) ∪ (3, +∞)
Período = 2π/|k| = 2 π / (1/2) = 4 π
Asíntotas verticales dadas por la solución a la ecuación: x/2 + π/2 = kπ que da: x = (2k-1)π, , k = 0 , ±1, ±2, ...
Desplazamiento horizontal: Debido al término π/2, la gráfica se desplaza horizontalmente. Primero reescribimos la función dada como: y = - 3 csc[(1/2)(x + π)] y ahora podemos escribir el desplazamiento como igual a π a la izquierda.
Dibujamos - 3 csc(x/2 + π/2) trasladando la gráfica de y = - 3 csc(x/2) a la izquierda por π (gráfica roja abajo) para que el período trazado comience en -π y termine en π + 4 π = 3π, que es un intervalo igual a un período.
Gráfica de  y = - 3 csc(x/2 + π/2)

Más referencias y enlaces

funciones secantes
Función cosecante
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