Aprende a resolver ecuaciones que involucran funciones trigonométricas inversas, como arcsen, arccos y arctan. Esta guía está diseñada para estudiantes de matemáticas de 12º grado e incluye soluciones paso a paso para ecuaciones trigonométricas inversas comunes. Cada solución también se verifica mediante un método gráfico, representando ambos lados de la ecuación en el mismo sistema de coordenadas. El punto de intersección proporciona una solución aproximada, ayudando a los estudiantes a visualizar la ecuación y comprender el concepto más profundamente.
Resuelve para x la ecuación \( 3 \arcsin(x) = \dfrac{\pi}{2} \).
Divide ambos lados de la ecuación por 3.
\[ \arcsin(x) = \dfrac{\pi}{6} \]Aplica la función seno a ambos lados y simplifica.
\[ \sin(\arcsin(x)) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \]Lo anterior se simplifica a
\[ x = \dfrac{1}{2} \]Debido al dominio de arcsen(x), debemos verificar que la solución obtenida sea válida.
Verificar solución
\[ x = \dfrac{1}{2} \]Lado derecho de la ecuación: \( 3 \arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right) = 3 \cdot \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} \)
Lado izquierdo de la ecuación: \( \dfrac{\pi}{2} \)
La solución de la ecuación es \( x = \dfrac{1}{2} \).
La aproximación gráfica de la solución a la ecuación dada se muestra a continuación. La coordenada x del punto de intersección de las gráficas del lado izquierdo y derecho de la ecuación dada es 0.5, que es la solución encontrada analíticamente.
Resuelve para x la ecuación \( 3 \cot(\arccos(x)) = 2 \).
Divide ambos lados de la ecuación dada por 3 y simplifica.
\[ \cot(\arccos(x)) = \dfrac{2}{3} \]Sea \( A = \arccos(x) \) y aplica coseno a ambos lados para obtener.
\[ \cos(A) = \cos(\arccos(x)) = x \]Usando la definición de A anterior, la ecuación puede escribirse como
\[ \cot(A) = \dfrac{2}{3} \]Usa \( \cot(A) = \dfrac{2}{3} \) para construir un triángulo rectángulo y encontrar \( \cos(A) \). Primero encuentra la hipotenusa h.
Ahora usamos el mismo triángulo mostrado arriba para encontrar \( \cos(A) \).
\[ x = \cos(A) = \dfrac{2}{\sqrt{13}} \approx 0.55 \]La aproximación gráfica a la solución de la ecuación dada se muestra a continuación.
Resuelve para x la ecuación \( \arcsin(x) = \arccos(x) \).
Aplica la función seno a ambos lados.
\[ \sin(\arcsin(x)) = \sin(\arccos(x)) \]Simplifica el lado izquierdo usando la identidad \( \sin(\arcsin(A)) = A \).
\[ x = \sin(\arccos(x)) \]Sea \( A = \arccos(x) \), entonces \( \cos(A) = x \).
\[ \sin(\arccos(x)) = \sin(A) = \pm \sqrt{1 - x^2} \]Usa lo anterior para reescribir la ecuación dada en forma algebraica.
\[ x = \pm \sqrt{1 - x^2} \]Eleva al cuadrado ambos lados.
\[ x^2 = 1 - x^2 \] \[ 2x^2 = 1 \] \[ x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} \]Debido al dominio de la función arccos y porque elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación, necesitamos verificar las soluciones y eliminar cualquier solución no válida (extraña).
Verificar solución
1) \( x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \)
Lado izquierdo: \( \arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{\pi}{4} \)
Lado derecho: \( \arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{\pi}{4} \)
\( x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \) es una solución de la ecuación dada.
2) \( x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \)
Lado izquierdo: \( \arcsin\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\dfrac{\pi}{4} \)
Lado derecho: \( \arccos\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{3\pi}{4} \)
\( x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \) no es una solución de la ecuación dada.
La aproximación gráfica a la solución de la ecuación dada se muestra a continuación. La coordenada x del punto de intersección 0.71 es cercana a \( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \).
Resuelve para x la ecuación \( \arccos(x) = \arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2} \).
Aplica la función coseno a ambos lados.
\[ \cos(\arccos(x)) = \cos\left(\arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}\right) \]Simplifica el lado izquierdo usando la identidad \( \cos(\arccos(A)) = A \).
\[ x = \cos\left(\arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}\right) \]Expande el lado derecho usando la identidad \( \cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) \).
\[ x = \cos(\arcsin(x))\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - \sin(\arcsin(x))\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \]Usa \( \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 \), \( \sin(\arcsin(x)) = x \), y \( \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1 \).
\[ x = -x \] \[ 2x = 0 \] \[ x = 0 \]Verificar solución
Lado izquierdo: \( \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} \)
Lado derecho: \( \arcsin(0) + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} \)
\( x = 0 \) es una solución de la ecuación dada.
La aproximación gráfica a la solución de la ecuación dada se muestra a continuación. La coordenada x del punto de intersección es igual a 0, exactamente como el valor calculado analíticamente arriba.
Resuelve para x la ecuación \( \arccos(2x) = \dfrac{\pi}{3} + \arccos(x) \).
Aplica la función coseno a ambos lados.
\[ \cos(\arccos(2x)) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)\right) \]Simplifica el lado izquierdo usando la identidad y expande el lado derecho.
Lado izquierdo: \( \cos(\arccos(2x)) = 2x \)
Lado derecho:
\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos(\arccos(x)) - \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin(\arccos(x)) \] \[ = \dfrac{1}{2}x \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - x^2} \]Reescribe la ecuación con el radical en el lado derecho.
\[ 2x = \dfrac{x}{2} \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - x^2} \] \[ \dfrac{3x}{2} = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - x^2} \]Eleva al cuadrado ambos lados.
\[ \dfrac{9x^2}{4} = \dfrac{3}{4}(1 - x^2) \] \[ \dfrac{12x^2}{4} = \dfrac{3}{4} \] \[ x^2 = \dfrac{1}{4} \] \[ x = \pm \dfrac{1}{2} \]Verificar solución
1) \( x = \dfrac{1}{2} \)
Lado izquierdo: \( \arccos(2x) = \arccos(1) = 0 \)
Lado derecho: \( \dfrac{\pi}{3} + \arccos\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3} \)
\( x = \dfrac{1}{2} \) NO es una solución.
2) \( x = -\dfrac{1}{2} \)
Lado izquierdo: \( \arccos(-1) = \pi \)
Lado derecho: \( \dfrac{\pi}{3} + \arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{3} = \pi \)
\( x = -\dfrac{1}{2} \) es una solución de la ecuación dada.
La aproximación gráfica a la solución de la ecuación dada se muestra a continuación. El punto de intersección tiene una coordenada x igual a -0.5, que es exactamente la solución encontrada analíticamente.
