Resolver ecuaciones que incluyen funciones trigonométricas inversas

Resuelva para $x$ la ecuación $3 \arcsin(x) = \dfrac{\pi}{2}$.

---

Solución:

Divida ambos lados de la ecuación por 3.

$$ \arcsin(x) = \dfrac{\pi}{6} $$

Aplique $\sin$ a ambos lados y simplifique.

$$ \sin(\arcsin(x)) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) $$

Lo anterior se simplifica a

$$ x = \dfrac{1}{2} $$

Debido al dominio de $\arcsin(x)$, necesitamos verificar que la solución obtenida sea válida.

Verificar solución:

Para $x = \dfrac{1}{2}$

• Lado derecho de la ecuación: $3 \arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right) = 3 \cdot \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$
• Lado izquierdo de la ecuación: $\dfrac{\pi}{2}$

La solución a la ecuación anterior es $x = \dfrac{1}{2}$.

La aproximación gráfica a la solución de la ecuación dada se muestra a continuación. La coordenada x del punto de intersección de las gráficas que conforman el lado izquierdo y el lado derecho de la ecuación dada es $0.5$, que es la solución encontrada analíticamente.

Resuelva para $x$ la ecuación $3 \cot(\arccos(x)) = 2$.

---

Solución:

Divida ambos lados de la ecuación dada por 3 y simplifique.

$$ \cot(\arccos(x)) = \dfrac{2}{3} $$

Sea $A = \arccos(x)$ y aplique $\cos$ a ambos lados para obtener.

$$ \cos(A) = \cos(\arccos(x)) = x $$

Usando la definición de $A$ arriba, la ecuación puede escribirse como

$$ \cot(A) = \dfrac{2}{3} $$

Use $\cot(A) = \dfrac{2}{3}$ para construir un triángulo rectángulo y hallar $\cos(A)$. Primero encuentre la hipotenusa $h$.

$$ h = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} $$

Ahora usamos el mismo triángulo mostrado arriba para hallar $\cos(A)$.

$$ x = \cos(A) = \dfrac{2}{\sqrt{13}} \approx 0.55 $$

La aproximación gráfica a la solución de la ecuación dada se muestra a continuación.

Resuelva para $x$ la ecuación $\arcsin(x) = \arccos(x)$.

---

Solución:

Aplique la función $\sin$ a ambos lados.

$$ \sin(\arcsin(x)) = \sin(\arccos(x)) $$

Simplifique el lado izquierdo usando la identidad $\sin(\arcsin(A)) = A$.

$$ x = \sin(\arccos(x)) $$

Sea $A = \arccos(x)$, entonces $\cos(A) = x$. Usando trigonometría de triángulo rectángulo (o la identidad pitagórica):

$$ \sin(\arccos(x)) = \sin(A) = \pm \sqrt{1 - x^2} $$

Use lo anterior para reescribir la ecuación dada en forma algebraica.

$$ x = \pm \sqrt{1 - x^2} $$

Eleve al cuadrado ambos lados.

$$ x^2 = 1 - x^2 $$

$$ 2x^2 = 1 $$

$$ x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} $$

Debido al dominio de la función arccos y al hecho de que elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación, necesitamos verificar las soluciones y eliminar cualquier solución inválida (extraña).

Verificar solución:

1) Para $x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

• Lado izquierdo: $\arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{\pi}{4}$
• Lado derecho: $\arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{\pi}{4}$

$\implies x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ es una solución a la ecuación dada.

2) Para $x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

• Lado izquierdo: $\arcsin\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\dfrac{\pi}{4}$
• Lado derecho: $\arccos\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{3\pi}{4}$

$\implies x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ no es una solución a la ecuación dada.

La aproximación gráfica a la solución de la ecuación dada se muestra a continuación. La coordenada x del punto de intersección $0.71$ está cerca de $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

Resuelva para $x$ la ecuación $\arccos(x) = \arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}$.

---

Solución:

Aplique la función $\cos$ a ambos lados.

$$ \cos(\arccos(x)) = \cos\left(\arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}\right) $$

Simplifique el lado izquierdo usando la identidad $\cos(\arccos(A)) = A$.

$$ x = \cos\left(\arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}\right) $$

Expanda el lado derecho usando la identidad de ángulo compuesto $\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$.

$$ x = \cos(\arcsin(x))\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - \sin(\arcsin(x))\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) $$

Use los valores conocidos: $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$, $\sin(\arcsin(x)) = x$, y $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$.

$$ x = \cos(\arcsin(x)) \cdot 0 - x \cdot 1 $$

$$ x = -x $$

$$ 2x = 0 $$

$$ x = 0 $$

Verificar solución:

• Lado izquierdo: $\arccos(0) = \dfrac{\pi}{2}$
• Lado derecho: $\arcsin(0) + \dfrac{\pi}{2} = 0 + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2}$

$x = 0$ es una solución válida a la ecuación dada.

La aproximación gráfica a la solución de la ecuación dada se muestra a continuación. La coordenada x del punto de intersección es igual a $0$, exactamente como el valor calculado analíticamente arriba.

Resuelva para $x$ la ecuación $\arccos(2x) = \dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)$.

---

Solución:

Aplique la función coseno a ambos lados.

$$ \cos(\arccos(2x)) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)\right) $$

Simplifique el lado izquierdo usando la identidad inversa, y expanda el lado derecho usando la fórmula de ángulo compuesto.

Lado izquierdo: $\cos(\arccos(2x)) = 2x$

Lado derecho:

$$ \cos\left(\dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos(\arccos(x)) - \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin(\arccos(x)) $$

$$ = \dfrac{1}{2}x \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - x^2} $$

Igualando ambos lados, reescriba la ecuación con el radical aislado en el lado derecho.

$$ 2x = \dfrac{x}{2} \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - x^2} $$

$$ \dfrac{3x}{2} = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - x^2} $$

Eleve al cuadrado ambos lados.

$$ \dfrac{9x^2}{4} = \dfrac{3}{4}(1 - x^2) $$

Multiplique por 4 para eliminar los denominadores:

$$ 9x^2 = 3(1 - x^2) $$

$$ 9x^2 = 3 - 3x^2 $$

$$ 12x^2 = 3 $$

$$ x^2 = \dfrac{1}{4} $$

$$ x = \pm \dfrac{1}{2} $$

Verificar solución:

1) Para $x = \dfrac{1}{2}$

• Lado izquierdo: $\arccos\left(2 \cdot \dfrac{1}{2}\right) = \arccos(1) = 0$
• Lado derecho: $\dfrac{\pi}{3} + \arccos\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$

$\implies x = \dfrac{1}{2}$ NO es una solución.

2) Para $x = -\dfrac{1}{2}$

• Lado izquierdo: $\arccos\left(2 \cdot -\dfrac{1}{2}\right) = \arccos(-1) = \pi$
• Lado derecho: $\dfrac{\pi}{3} + \arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{3} = \pi$

$\implies x = -\dfrac{1}{2}$ es una solución válida a la ecuación dada.

La aproximación gráfica a la solución de la ecuación dada se muestra a continuación. El punto de intersección tiene una coordenada x igual a $-0.5$, que es exactamente la solución encontrada analíticamente.