Resolver ecuaciones de forma cuadrática

Resuelve la ecuación:

$$ 0.1x^4 - 1.3x^2 + 3.6 = 0 $$

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Solución:

Sea $u = x^2$, lo que resulta en $u^2 = x^4$, y reescribe la ecuación dada en términos de $u$:

$$ 0.1u^2 - 1.3u + 3.6 = 0 $$

Resuelve la ecuación cuadrática anterior para encontrar $u$.

$$ u = 4 \quad \text{y} \quad u = 9 $$

Ahora usamos la sustitución $u = x^2$ para resolver para $x$.

$$ x^2 = 4 \implies x = \pm 2 $$

$$ x^2 = 9 \implies x = \pm 3 $$

Las cuatro intersecciones con el eje x de la gráfica de $y = 0.1x^4 - 1.3x^2 + 3.6$ son las soluciones gráficas de la ecuación, como se muestra a continuación.

Resuelve la ecuación:

$$ \sqrt{x} = 3 - \dfrac{1}{4}x $$

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Solución:

Sea $u = \sqrt{x}$, lo que resulta en $u^2 = x$, y reescribe la ecuación en términos de $u$:

$$ u = 3 - \dfrac{u^2}{4} $$

Multiplica todos los términos por 4, simplifica, escribe la cuadrática en forma estándar y resuelve:

$$ 4u = 12 - u^2 $$

$$ u^2 + 4u - 12 = 0 $$

$$ (u + 6)(u - 2) = 0 $$

$$ u = -6 \quad \text{y} \quad u = 2 $$

Usa la sustitución $u = \sqrt{x}$ para resolver para $x$.

$$ \sqrt{x} = -6 \implies \text{sin solución real} $$

$$ \sqrt{x} = 2 \implies x = 4 $$

La intersección con el eje x de la gráfica es la solución gráfica de la ecuación, como se muestra a continuación.

Resuelve la ecuación:

$$ \left(3 - \dfrac{4}{x}\right)^2 - 6\left(3 - \dfrac{4}{x}\right) = 16 $$

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Solución:

Sea $y = 3 - \dfrac{4}{x}$, lo que da $y^2 = \left(3 - \dfrac{4}{x}\right)^2$, y reescribe la ecuación en términos de $y$:

$$ y^2 - 6y = 16 $$

Simplifica y resuelve:

$$ y^2 - 6y - 16 = 0 $$

$$ (y - 8)(y + 2) = 0 $$

$$ y = -2 \quad \text{y} \quad y = 8 $$

Resuelve para $x$.

Para $y = -2$, sustituimos de regreso en la ecuación para $x$:

$$ 3 - \dfrac{4}{x} = -2 \implies \dfrac{4}{x} = 5 \implies x = \dfrac{4}{5} $$

Para $y = 8$, sustituimos de regreso en la ecuación para $x$:

$$ 3 - \dfrac{4}{x} = 8 \implies \dfrac{4}{x} = -5 \implies x = -\dfrac{4}{5} $$

Las intersecciones con el eje x de la gráfica son las soluciones gráficas de la ecuación, como se muestra a continuación.

Resuelve la ecuación:

$$ 2(x - 1)^{2/3} + 3(x - 1)^{1/3} - 2 = 0 $$

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Solución:

Sea $y = (x - 1)^{1/3}$, lo que da $y^2 = (x - 1)^{2/3}$, y reescribe la ecuación en términos de $y$:

$$ 2y^2 + 3y - 2 = 0 $$

$$ (2y - 1)(y + 2) = 0 $$

$$ y = -2 \quad \text{y} \quad y = \dfrac{1}{2} $$

Resuelve para $x$.

$$ (x - 1)^{1/3} = -2 \implies x - 1 = (-2)^3 \implies x - 1 = -8 \implies x = -7 $$

$$ (x - 1)^{1/3} = \dfrac{1}{2} \implies x - 1 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 \implies x - 1 = \dfrac{1}{8} \implies x = \dfrac{9}{8} $$

Las intersecciones con el eje x de la gráfica son las soluciones gráficas de la ecuación, como se muestra a continuación.

Encuentra todas las soluciones reales para la ecuación:

$$ 2\left(\dfrac{2}{x - 3}\right)^2 - \dfrac{2}{x - 3} - 3 = 0 $$

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Solución:

Sea $u = \dfrac{2}{x - 3}$, lo que da $u^2 = \left(\dfrac{2}{x - 3}\right)^2$, y reescribe la ecuación en términos de $u$:

$$ 2u^2 - u - 3 = 0 $$

$$ (2u - 3)(u + 1) = 0 $$

$$ u = -1 \quad \text{y} \quad u = \dfrac{3}{2} $$

Resuelve para $x$.

$$ \dfrac{2}{x - 3} = -1 \implies x - 3 = -2 \implies x = 1 $$

$$ \dfrac{2}{x - 3} = \dfrac{3}{2} \implies 3(x - 3) = 4 \implies 3x - 9 = 4 \implies 3x = 13 \implies x = \dfrac{13}{3} $$

Las intersecciones con el eje x de la gráfica son las soluciones gráficas de la ecuación, como se muestra a continuación.

Resuelve la ecuación para todos los valores reales de $x$:

$$ x^{-2} - 3x^{-1} - 4 = 0 $$

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Solución:

Esta ecuación está en forma cuadrática si hacemos $u = x^{-1}$ (lo que significa $u = \dfrac{1}{x}$). Observa que $u^2 = (x^{-1})^2 = x^{-2}$.

Reescribe la ecuación en términos de $u$:

$$ u^2 - 3u - 4 = 0 $$

Factoriza la cuadrática:

$$ (u - 4)(u + 1) = 0 $$

Esto nos da dos soluciones para $u$:

$$ u = 4 \quad \text{y} \quad u = -1 $$

Ahora, sustituye $x^{-1}$ de nuevo por $u$ para resolver para $x$:

Para $u = 4$:

$$ \dfrac{1}{x} = 4 \implies x = \dfrac{1}{4} $$

Para $u = -1$:

$$ \dfrac{1}{x} = -1 \implies x = -1 $$

Ambas soluciones son válidas ya que $x \neq 0$.

Respuestas finales: $x = \dfrac{1}{4}, \ x = -1$

Encuentra las soluciones reales exactas para la ecuación exponencial:

$$ e^{2x} - 5e^x + 6 = 0 $$

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Solución:

Usando las propiedades de los exponentes, reconoce que $e^{2x} = (e^x)^2$. Esto significa que la ecuación tiene forma cuadrática.

Sea $u = e^x$. La ecuación se convierte en:

$$ u^2 - 5u + 6 = 0 $$

Factoriza la ecuación cuadrática:

$$ (u - 2)(u - 3) = 0 $$

Esto produce las raíces:

$$ u = 2 \quad \text{y} \quad u = 3 $$

Ahora sustituye de vuelta $u = e^x$:

Para $u = 2$:

$$ e^x = 2 \implies \ln(e^x) = \ln(2) \implies x = \ln(2) $$

Para $u = 3$:

$$ e^x = 3 \implies \ln(e^x) = \ln(3) \implies x = \ln(3) $$

Dado que la función exponencial $e^x$ es siempre positiva, tanto $u=2$ como $u=3$ son válidas (no se producen raíces extrañas).

Respuestas finales: $x = \ln(2), \ x = \ln(3)$