Resolver Desigualdades Racionales
Ejemplos con Soluciones
Desigualdades Racionales se resuelven en los ejemplos a continuación. Sabiendo que el signo de una expresión algebraica cambia en sus ceros de multiplicidad impar, resolver una desigualdad puede reducirse a encontrar el signo de una expresión algebraica dentro de intervalos definidos por los ceros de la expresión en cuestión.
Resuelve las siguientes desigualdades
Pregunta 1
Solución
Primero organizamos los ceros del numerador y del denominador de la expresión racional a la izquierda del símbolo de desigualdad, en la recta numérica, de menor a mayor de la siguiente manera.| -∞ | - 1 | 2 | +∞ |
Seleccionamos un valor de x en cualquiera de los intervalos y lo usamos para encontrar el signo de la expresión racional. Ejemplo para x = -3 en el intervalo (-∞ , -1), la expresión racional (x - 2)/(x + 1) = (- 3 - 2)/(- 3 + 1) = 5 / 2. Por lo tanto, la expresión racional (x - 2)/(x + 1) es positiva en el intervalo (-∞ , -1).
| -∞ | + | - 1 | 2 | +∞ |
| -∞ | + | - 1 | - | 2 | + | +∞ |
Pregunta 2
Solución
Primero reescribimos la desigualdad dada con el lado derecho igual a cero.
Usamos x + 3 como denominador común para reescribir el lado izquierdo de la desigualdad como una única expresión racional de la siguiente manera.
Sumamos las dos expresiones racionales para obtener
Organizamos los ceros del numerador y del denominador en la recta numérica de menor a mayor de la siguiente manera.
| -∞ | - 5 | - 3 | +∞ |
Seleccionamos un valor de x en el intervalo (-∞ , - 5) y lo usamos para encontrar el signo de la expresión racional. Por ejemplo, para x = - 6, la expresión racional (-x - 5)(x + 3) = (6 - 5)/(- 6 + 3) = -1 / 3. Por lo tanto, la expresión racional (-x - 5)(x + 3) es negativa en el intervalo (-∞ , - 5) .
| -∞ | - | - 5 | - 3 | +∞ |
Los ceros - 5 y - 3 son de multiplicidad impar y, por lo tanto, el signo de (-x - 5)(x + 3) cambiará en ambos ceros. Por lo tanto, los signos de la expresión (-x - 5)(x + 3) al pasar de izquierda a derecha son
| -∞ | - | - 5 | + | - 3 | - | +∞ |
El conjunto solución de la desigualdad está dado por la unión de todos los intervalos donde (-x - 5)(x + 3) es negativo o igual a 0. Por lo tanto, el conjunto solución para la desigualdad anterior, en notación de intervalos, está dado por:
Pregunta 3
Solución
Necesitamos encontrar los ceros del numerador y el denominador factorizando (o cualquier otro método). Factorizamos el numerador y el denominador.4 x 2 + 5x - 9 = (4x + 9)(x - 1) y x 2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)
Reescribimos la desigualdad dada como
Organizamos los ceros del numerador y el denominador en la recta numérica y en orden de menor a mayor de la siguiente manera.
| -∞ | - 9 / 4 | - 2 | 1 | 3 | +∞ |
Seleccionamos un valor de x en el intervalo (-∞ , - 9/4) y lo usamos para encontrar el signo de la expresión racional. Por ejemplo, para x = - 3, la expresión racional ( (4x + 9)(x - 1) ) / ( (x - 3)(x + 2) ) = 2. Por lo tanto, la expresión racional ( (4x + 9)(x - 1)) / ( (x - 3)(x + 2) ) es positiva en el intervalo (-∞ , - 9/4) .
Todos los ceros son de multiplicidad impar y, por lo tanto, el signo de ( (4x + 9)(x - 1) ) / ( (x - 3)(x + 2) ) cambiará en todos los ceros. Por lo tanto, los signos de la expresión ( (4x + 9)(x - 1) ) / ( (x - 3)(x + 2) ) al pasar de izquierda a derecha son
| -∞ | + | - 9 / 4 | - | - 2 | + | 1 | - | 3 | + | +∞ |
El conjunto solución de la desigualdad está dado por la unión de todos los intervalos donde ( (4x + 9)(x - 1) ) / ( (x - 3)(x + 2) ) es positiva o igual a 0. Por lo tanto, el conjunto solución para la desigualdad anterior, en notación de intervalos, está dado por:
Pregunta 4
Solución
| -∞ | - 6 | - 4 | 2 | +∞ |
El signo de ( (x+4) 2(x+6) ) / ( (x 2+7)(x-2) 3) cambiará en los ceros -6 y 2 porque son de multiplicidad impar. El signo de ( (x+4) 2(x+6) ) / ( (x 2+7)(x-2) 3) no cambiará en - 4 porque es un cero de multiplicidad par. Por lo tanto, los signos de la expresión ( (x+4) 2(x+6) ) / ( (x 2+7)(x-2) 3) al pasar de izquierda a derecha son
| -∞ | + | - 6 | - | - 4 | - | 2 | + | +∞ |
El conjunto solución de la desigualdad está dado por la unión de todos los intervalos donde ( (x+4) 2(x+6) ) / ( (x 2+7)(x-2) 3) es negativa. Por lo tanto, el conjunto solución para la desigualdad anterior, en notación de intervalos, está dado por:
Pregunta 5
Solución:
Factorizamos el numerador y el denominador de la desigualdad dada.
x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 - x + 1) y x 2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
Reescribimos la desigualdad dada de la siguiente manera
La expresión racional en el lado izquierdo de la desigualdad tiene los ceros: - 3, - 1 y 3 ( x 2 - x + 1 no tiene ceros reales). Organizamos los tres ceros en la recta numérica y en orden de menor a mayor de la siguiente manera.
| -∞ | - 3 | - 1 | 3 | +∞ |
Seleccionamos un valor de x en el intervalo (-∞ , - 3) y lo usamos para encontrar el signo de la expresión racional. Por ejemplo, para x = - 4, la expresión racional ( x 3 + 1) / ( (x 2 - 9) ) = - 9. Por lo tanto, la expresión racional en el lado izquierdo de la desigualdad dada es negativa en el intervalo (-∞ , - 3) .
El signo de la expresión racional en el lado izquierdo de la desigualdad dada cambiará en los ceros - 1 y 3 porque son de multiplicidad impar. Por lo tanto, los signos de la expresión racional al pasar de izquierda a derecha son
| -∞ | - | - 3 | + | - 1 | - | 3 | + | +∞ |
El conjunto solución de la desigualdad está dado por la unión de todos los intervalos donde la expresión racional en el lado izquierdo de la desigualdad dada es negativa. Por lo tanto, el conjunto solución para la desigualdad anterior, en notación de intervalos, está dado por:
Pregunta 6
Solución
Primero reescribimos la desigualdad dada con el lado derecho igual a cero.
Encuentra el LCD (mínimo común denominador) de (x - 2)(x + 3) y x - 2, que es (x - 2)(x + 3).
Reescribimos con el LCD común.
Sumamos las expresiones racionales a la izquierda y simplificamos.
La expresión racional en el lado izquierdo de la desigualdad tiene ceros en: -3, 1 - √14, 2 y 1 + √14. Organizamos todos los ceros en la recta numérica y en orden de menor a mayor de la siguiente manera.
| -∞ | - 3 | | 2 |
| +∞ |
Seleccionamos un valor de x en el intervalo (-∞ , - 3) y lo usamos para encontrar el signo de la expresión racional. Por ejemplo, para x = - 4, la expresión racional (-x 2 + 2x + 13) / ( (x-2)(x+3) ) = -11/6. Por lo tanto, la expresión racional en el lado izquierdo de la desigualdad dada es negativa en el intervalo (-∞ , - 3) .
El signo de la expresión racional en el lado izquierdo de la desigualdad dada cambiará en todos los ceros porque todos tienen multiplicidad impar. Por lo tanto, los signos de la expresión racional al pasar de izquierda a derecha son
| -∞ | - | - 3 | + | | - | 2 | + | - | +∞ |
El conjunto solución de la desigualdad es:
Pregunta 7
Resuelve gráficamente
Solución
Dibuja ambos lados de la desigualdad y aproxima las coordenadas de los puntos de intersección de las dos gráficas; luego determina los intervalos en los que (x + 2)/(x - 1) es mayor o igual que ln(x + 1).
ln(x + 1) está definido para x > -1, por lo que cualquier conjunto de soluciones debe cumplir con la condición x > -1. (x + 2)/(x - 1) tiene una asíntota vertical en x = 1. De las dos gráficas, (x + 2)/(x - 1) (verde) es mayor o igual que ln(x + 1) (rojo) para
(-1, -0.59] ∪ (1 , 4.88]
Referencias y Enlaces
Resolver Desigualdades Racionales - TutorialResolver Desigualdades Racionales - Más Ejemplos
Expresiones Racionales
Matemáticas de Escuela Secundaria (Grados 10, 11 y 12) - Preguntas y Problemas Gratuitos con Respuestas
Matemáticas de Escuela Intermedia (Grados 6, 7, 8, 9) - Preguntas y Problemas Gratuitos con Respuestas
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