Resolver desigualdades racionales es una habilidad esencial en matemáticas de bachillerato, especialmente en preparación para temas avanzados como cálculo y álgebra universitaria. Esta página proporciona un enfoque detallado paso a paso para resolver desigualdades racionales, incluyendo cómo encontrar puntos críticos, analizar tablas de signos y determinar intervalos de solución. Con explicaciones claras y ejemplos resueltos, esta lección está diseñada para ayudar a estudiantes de 12º grado a entender no solo el cómo, sino también el porqué detrás de cada paso. Ya sea que estés repasando para un examen o construyendo una comprensión más profunda, esta página ofrece el apoyo que necesitas para dominar las desigualdades racionales.
Resuelve la desigualdad: \[ \dfrac{x-2}{x+1} \ge 0 \]
Paso 1: Identificar los puntos críticos (ceros del numerador y denominador)
Los puntos críticos ocurren donde la expresión es cero o indefinida.
Numerador: \( x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)
Denominador: \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \)
Los puntos críticos son: \[ x = -1 \quad \text{(indefinido)}, \quad x = 2 \quad \text{(cero)} \]
Paso 2: Dividir la recta numérica en intervalos
Usar los puntos críticos para dividir la recta numérica:
Intervalo 1: \( (-\infty, -1) \)
Intervalo 2: \( (-1, 2) \)
Intervalo 3: \( (2, \infty) \)
Paso 3: Probar un punto en cada intervalo
Elegir un valor en cada intervalo y probar el signo de la expresión.
Intervalo 1: \( x = -2 \) \[ \dfrac{-2 - 2}{-2 + 1} = \dfrac{-4}{-1} = 4 > 0 \]
Intervalo 2: \( x = 0 \) \[ \dfrac{0 - 2}{0 + 1} = \dfrac{-2}{1} = -2 \lt 0 \]
Intervalo 3: \( x = 3 \) \[ \dfrac{3 - 2}{3 + 1} = \dfrac{1}{4} > 0 \]
Paso 4: Incluir o excluir los puntos críticos
\( x = -1 \) hace el denominador cero y por lo tanto se excluye.
\( x = 2 \) hace el numerador cero, lo que satisface \( \ge 0 \), y por lo tanto se incluye.
Respuesta final: El conjunto solución de la desigualdad dada es: \[ (-\infty, -1) \cup [2, \infty) \]
Resuelve la desigualdad: \[ \dfrac{x+1}{x+3} \le 2 \]
Paso 1: Reescribir la desigualdad con cero en un lado
\[ \dfrac{x + 1}{x + 3} - 2 \le 0 \]
Reescribir con denominador común: \[ \dfrac{x + 1 - 2(x + 3)}{x + 3} \le 0 \]
Simplificar el numerador: \[ \dfrac{x + 1 - 2x - 6}{x + 3} = \dfrac{-x - 5}{x + 3} \]
La desigualdad se convierte en: \[ \dfrac{-x - 5}{x + 3} \le 0 \]
Paso 2: Identificar los puntos críticos
Numerador: \( -x - 5 = 0 \Rightarrow x = -5 \)
Denominador: \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \)
Puntos críticos: \[ x = -5 \quad \text{(cero)}, \quad x = -3 \quad \text{(indefinido)} \]
Paso 3: Dividir la recta numérica en intervalos
Intervalo 1: \( (-\infty, -5) \)
Intervalo 2: \( (-5, -3) \)
Intervalo 3: \( (-3, \infty) \)
Paso 4: Probar un punto en cada intervalo
Intervalo 1: \( x = -6 \) \[ \dfrac{-(-6) - 5}{-6 + 3} = \dfrac{6 - 5}{-3} = -\dfrac{1}{3} \lt 0 \]
Intervalo 2: \( x = -4 \) \[ \dfrac{-(-4) - 5}{-4 + 3} = \dfrac{4 - 5}{-1} = 1 \gt 0 \]
Intervalo 3: \( x = 0 \) \[ \dfrac{-0 - 5}{0 + 3} = \dfrac{-5}{3} \lt 0 \]
Paso 5: Incluir o excluir los puntos críticos
\( x = -3 \) hace el denominador cero y se excluye.
\( x = -5 \) hace el numerador cero, satisface \( \le 0 \), y se incluye.
Respuesta final: El conjunto solución es: \[ (-\infty, -5] \cup (-3, \infty) \]
Resuelve la desigualdad: \[ \dfrac{4x^2+5x-9}{x^2-x-6} \ge 0 \]
Paso 1: Factorizar numerador y denominador
\[ 4x^2 + 5x - 9 = (4x + 9)(x - 1) \]
\[ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) \]
La desigualdad se convierte en: \[ \dfrac{(4x + 9)(x - 1)}{(x - 3)(x + 2)} \ge 0 \]
Paso 2: Identificar los puntos críticos
Numerador: \( 4x + 9 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{9}{4} \), \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \)
Denominador: \( x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \), \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \)
Puntos críticos: \[ x = -\dfrac{9}{4}, \quad x = -2, \quad x = 1, \quad x = 3 \]
Paso 3: Ordenar los puntos críticos en la recta numérica
De izquierda a derecha: \( -\infty, -\dfrac{9}{4}, -2, 1, 3, +\infty \)
Intervalos:
Paso 4: Probar un punto en cada intervalo
Intervalo 1: \( x = -3 \) \[ \dfrac{(4(-3) + 9)(-3 - 1)}{(-3 - 3)(-3 + 2)} = \dfrac{(-3)(-4)}{6} = 2 > 0 \]
Intervalo 2: \( x = -2.1 \) \[ \dfrac{(4(-2.1) + 9)(-2.1 - 1)}{(-2.1 - 3)(-2.1 + 2)} \approx -3.647 \lt 0 \]
Intervalo 3: \( x = 0 \) \[ \dfrac{(9)(-1)}{(-3)(2)} = \dfrac{-9}{-6} = 1.5 > 0 \]
Intervalo 4: \( x = 2 \) \[ \dfrac{(8 + 9)(1)}{(-1)(4)} = \dfrac{17}{-4} = -4.25 \lt 0 \]
Intervalo 5: \( x = 4 \) \[ \dfrac{(16 + 9)(3)}{(1)(6)} = \dfrac{75}{6} > 0 \]
Paso 5: Incluir o excluir los puntos críticos
Respuesta final: \[ (-\infty, -\dfrac{9}{4}] \cup (-2, 1] \cup (3, \infty) \]
Resuelve la desigualdad: \[ \dfrac{x^3+1}{x^2-9} \lt 0 \]
Paso 1: Factorizar la expresión
Numerador: \( x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) \)
Denominador: \( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \)
La desigualdad se convierte en: \[ \dfrac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} < 0 \]
Paso 2: Identificar los puntos críticos
\( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \)
\( x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \)
\( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \)
Nota: \( x^2 - x + 1 \) no tiene raíces reales (discriminante negativo).
Puntos críticos: \[ x = -3 \text{ (indefinido)}, \quad x = -1 \text{ (cero)}, \quad x = 3 \text{ (indefinido)} \]
Paso 3: Dividir la recta numérica en intervalos
Intervalo 1: \( (-\infty, -3) \)
Intervalo 2: \( (-3, -1) \)
Intervalo 3: \( (-1, 3) \)
Intervalo 4: \( (3, \infty) \)
Paso 4: Probar un punto en cada intervalo
Intervalo 1: \( x = -4 \) \[ \dfrac{(-3)(21)}{(-7)(-1)} = -9 \lt 0 \]
Intervalo 2: \( x = -2 \) \[ \dfrac{(-1)(7)}{(-5)(1)} = \dfrac{7}{5} > 0 \]
Intervalo 3: \( x = 0 \) \[ \dfrac{(1)(1)}{(-3)(3)} = \dfrac{1}{-9} \lt 0 \]
Intervalo 4: \( x = 4 \) \[ \dfrac{(5)(13)}{(1)(7)} = \dfrac{65}{7} > 0 \]
Paso 5: Incluir o excluir los puntos críticos
\( x = -3 \) y \( x = 3 \) hacen el denominador cero → excluidos.
\( x = -1 \) hace el numerador cero, no satisface \( \lt 0 \) → excluido.
Respuesta final: El conjunto solución es: \[ (-\infty, -3) \cup (-1, 3) \]
Resuelve gráficamente:
Grafica ambos lados de la desigualdad y aproxima las coordenadas de los puntos de intersección de las dos gráficas; luego determina los intervalos donde \(\dfrac{x + 2}{x - 1}\) es mayor o igual que \(\ln(x + 1)\).
\(\ln(x + 1)\) está definida para \(x > -1\), por lo tanto cualquier conjunto solución debe satisfacer \(x > -1\). La función \(\dfrac{x + 2}{x - 1}\) tiene una asíntota vertical en \(x = 1\). De las gráficas, \(\dfrac{x + 2}{x - 1}\) (verde) es mayor o igual que \(\ln(x + 1)\) (rojo) para:
\[ (-1, -0.59] \cup (1, 4.88] \]