Ejemplos de resolución de desigualdades racionales con soluciones

Resuelva la desigualdad:

$$ \dfrac{x-2}{x+1} \ge 0 $$

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Solución:

Paso 1: Identificar los puntos críticos (ceros del numerador y denominador)

Los puntos críticos ocurren donde la expresión es cero o indefinida.

• Numerador: $x - 2 = 0 \implies x = 2$
• Denominador: $x + 1 = 0 \implies x = -1$

Por lo tanto, los puntos críticos son: $x = -1$ (indefinido) y $x = 2$ (cero).

Paso 2: Dividir la recta numérica en intervalos

Utilice los puntos críticos para dividir la recta numérica:

• Intervalo 1: $(-\infty, -1)$
• Intervalo 2: $(-1, 2)$
• Intervalo 3: $(2, \infty)$

Paso 3: Probar un punto en cada intervalo

Elija un valor en cada intervalo y pruebe el signo de la expresión.

Intervalo 1: $x = -2$

$$ \dfrac{-2 - 2}{-2 + 1} = \dfrac{-4}{-1} = 4 > 0 \quad (\text{Positivo}) $$

Intervalo 2: $x = 0$

$$ \dfrac{0 - 2}{0 + 1} = \dfrac{-2}{1} = -2 < 0 \quad (\text{Negativo}) $$

Intervalo 3: $x = 3$

$$ \dfrac{3 - 2}{3 + 1} = \dfrac{1}{4} > 0 \quad (\text{Positivo}) $$

Paso 4: Incluir o excluir los puntos críticos

$x = -1$ hace que el denominador sea cero y, por lo tanto, se excluye.

$x = 2$ hace que el numerador sea cero, lo cual satisface $\ge 0$ y, por lo tanto, se incluye.

Respuesta final: El conjunto solución de la desigualdad dada es:

$$ (-\infty, -1) \cup [2, \infty) $$

Resuelva la desigualdad:

$$ \dfrac{x+1}{x+3} \le 2 $$

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Solución:

Paso 1: Reescribir la desigualdad con cero en un lado

$$ \dfrac{x + 1}{x + 3} - 2 \le 0 $$

Reescriba con un denominador común:

$$ \dfrac{x + 1 - 2(x + 3)}{x + 3} \le 0 $$

Simplifique el numerador:

$$ \dfrac{x + 1 - 2x - 6}{x + 3} = \dfrac{-x - 5}{x + 3} $$

Así que la desigualdad se convierte en:

$$ \dfrac{-x - 5}{x + 3} \le 0 $$

Paso 2: Identificar los puntos críticos

• Numerador: $-x - 5 = 0 \implies x = -5$
• Denominador: $x + 3 = 0 \implies x = -3$

Por lo tanto, los puntos críticos son: $x = -5$ (cero) y $x = -3$ (indefinido).

Paso 3: Dividir la recta numérica en intervalos

• Intervalo 1: $(-\infty, -5)$
• Intervalo 2: $(-5, -3)$
• Intervalo 3: $(-3, \infty)$

Paso 4: Probar un punto en cada intervalo

Intervalo 1: $x = -6$

$$ \dfrac{-(-6) - 5}{-6 + 3} = \dfrac{6 - 5}{-3} = \dfrac{1}{-3} = -\dfrac{1}{3} < 0 $$

Intervalo 2: $x = -4$

$$ \dfrac{-(-4) - 5}{-4 + 3} = \dfrac{4 - 5}{-1} = \dfrac{-1}{-1} = 1 > 0 $$

Intervalo 3: $x = 0$

$$ \dfrac{-0 - 5}{0 + 3} = \dfrac{-5}{3} < 0 $$

Paso 5: Incluir o excluir los puntos críticos

$x = -3$ hace que el denominador sea cero y, por lo tanto, se excluye.

$x = -5$ hace que el numerador sea cero, lo cual satisface $\le 0$ y, por lo tanto, se incluye.

Respuesta final: El conjunto solución de la desigualdad dada es:

$$ (-\infty, -5] \cup (-3, \infty) $$

Resuelva la desigualdad:

$$ \dfrac{4x^2+5x-9}{x^2-x-6} \ge 0 $$

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Solución:

Paso 1: Factorizar el numerador y el denominador

$$ 4x^2 + 5x - 9 = (4x + 9)(x - 1) $$

$$ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) $$

Así que la desigualdad se convierte en:

$$ \dfrac{(4x + 9)(x - 1)}{(x - 3)(x + 2)} \ge 0 $$

Paso 2: Identificar los puntos críticos

Numerador:

• $4x + 9 = 0 \implies x = -\dfrac{9}{4}$
• $x - 1 = 0 \implies x = 1$

Denominador:

• $x - 3 = 0 \implies x = 3$
• $x + 2 = 0 \implies x = -2$

Por lo tanto, los puntos críticos son: $x = -\dfrac{9}{4}, x = -2, x = 1, x = 3$.

Paso 3: Organizar los puntos críticos en la recta numérica

De izquierda a derecha en la recta numérica: $-\infty, -\dfrac{9}{4}, -2, 1, 3, +\infty$. Por lo tanto, los intervalos son:

• Intervalo 1: $(-\infty, -\dfrac{9}{4})$
• Intervalo 2: $(-\dfrac{9}{4}, -2)$
• Intervalo 3: $(-2, 1)$
• Intervalo 4: $(1, 3)$
• Intervalo 5: $(3, \infty)$

Paso 4: Probar un punto en cada intervalo

Intervalo 1: $x = -3$

$$ \dfrac{(4(-3) + 9)(-3 - 1)}{(-3 - 3)(-3 + 2)} = \dfrac{(-3)(-4)}{(-6)(-1)} = \dfrac{12}{6} = 2 > 0 $$

Intervalo 2: $x = -2.1$

$$ \dfrac{(4(-2.1) + 9)(-2.1 - 1)}{(-2.1 - 3)(-2.1 + 2)} \approx -3.64705\dots < 0 $$

Intervalo 3: $x = 0$

$$ \dfrac{(4(0) + 9)(0 - 1)}{(0 - 3)(0 + 2)} = \dfrac{(9)(-1)}{(-3)(2)} = \dfrac{-9}{-6} = 1.5 > 0 $$

Intervalo 4: $x = 2$

$$ \dfrac{(4(2) + 9)(2 - 1)}{(2 - 3)(2 + 2)} = \dfrac{(17)(1)}{(-1)(4)} = \dfrac{17}{-4} = -4.25 < 0 $$

Intervalo 5: $x = 4$

$$ \dfrac{(4(4) + 9)(4 - 1)}{(4 - 3)(4 + 2)} = \dfrac{(25)(3)}{(1)(6)} = \dfrac{75}{6} > 0 $$

Paso 5: Incluir o excluir los puntos críticos

• $x = -\dfrac{9}{4}$ y $x = 1$ $\to$ ceros del numerador $\to$ satisfacen $\ge 0$ $\to$ incluidos
• $x = -2$ y $x = 3$ $\to$ hacen que el denominador sea cero $\to$ excluidos

Paso 6: Determinar dónde la expresión es $\ge 0$

• $(-\infty, -\dfrac{9}{4}]$: positivo $\to$ incluido
• $(-\dfrac{9}{4}, -2)$: negativo $\to$ excluido
• $(-2, 1]$: positivo $\to$ incluido
• $(1, 3)$: negativo $\to$ excluido
• $(3, \infty)$: positivo $\to$ incluido

Respuesta final:

$$ (-\infty, -\dfrac{9}{4}] \cup (-2, 1] \cup (3, \infty) $$

Resuelva la desigualdad:

$$ \dfrac{x^3+1}{x^2-9} < 0 $$

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Solución:

Paso 1: Factorizar la expresión

• Numerador: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$
• Denominador: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

Así que la desigualdad se convierte en:

$$ \dfrac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} < 0 $$

Paso 2: Identificar los puntos críticos

• $x + 1 = 0 \implies x = -1$
• $x - 3 = 0 \implies x = 3$
• $x + 3 = 0 \implies x = -3$

Nota: $x^2 - x + 1$ no tiene raíces reales porque su discriminante es negativo ($\Delta = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3$). Además, debido a que el coeficiente principal es positivo, este término es siempre positivo para todo $x$ real y no afectará la tabla de signos.

Por lo tanto, los puntos críticos son: $x = -3$ (indefinido), $x = -1$ (cero), $x = 3$ (indefinido).

Paso 3: Dividir la recta numérica en intervalos

• Intervalo 1: $(-\infty, -3)$
• Intervalo 2: $(-3, -1)$
• Intervalo 3: $(-1, 3)$
• Intervalo 4: $(3, \infty)$

Paso 4: Probar un punto en cada intervalo

Intervalo 1: $x = -4$

$$ \dfrac{(-3)(21)}{(-7)(-1)} = \dfrac{-63}{7} = -9 < 0 $$

Intervalo 2: $x = -2$

$$ \dfrac{(-1)(7)}{(-5)(1)} = \dfrac{-7}{-5} = \dfrac{7}{5} > 0 $$

Intervalo 3: $x = 0$

$$ \dfrac{(1)(1)}{(-3)(3)} = \dfrac{1}{-9} < 0 $$

Intervalo 4: $x = 4$

$$ \dfrac{(5)(13)}{(1)(7)} = \dfrac{65}{7} > 0 $$

Paso 5: Incluir o excluir los puntos críticos

$x = -3$ y $x = 3$ hacen que el denominador sea cero y, por lo tanto, se excluyen.

$x = -1$ hace que el numerador sea cero, lo cual no satisface $< 0$ (desigualdad estricta) y, por lo tanto, se excluye.

Respuesta final: El conjunto solución de la desigualdad dada es:

$$ (-\infty, -3) \cup (-1, 3) $$

Resuelva gráficamente:

$$ \dfrac{x + 2}{x - 1} \ge \ln(x + 1) $$

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Solución:

Grafique los dos lados de la desigualdad y aproxime las coordenadas de los puntos de intersección de las dos gráficas; luego determine los intervalos sobre los cuales $\dfrac{x + 2}{x - 1}$ es mayor o igual que $\ln(x + 1)$.

$\ln(x + 1)$ está definido para $x > -1$, por lo tanto, cualquier conjunto solución debe satisfacer $x > -1$. La función $\dfrac{x + 2}{x - 1}$ tiene una asíntota vertical en $x = 1$.

A partir de las gráficas, $\dfrac{x + 2}{x - 1}$ (verde) es mayor o igual que $\ln(x + 1)$ (rojo) para:

$$ (-1, -0.59] \cup (1, 4.88] $$

Resuelva la desigualdad racional doble:

$$ -1 < \dfrac{2x - 1}{x + 2} \le 3 $$

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Solución:

Una desigualdad doble debe resolverse separándola en dos desigualdades distintas. La solución final es la intersección (solapamiento) de los dos conjuntos solución.

Parte 1: Desigualdad izquierda

$$ -1 < \dfrac{2x - 1}{x + 2} \implies 0 < \dfrac{2x - 1}{x + 2} + 1 $$

Encuentre un denominador común:

$$ 0 < \dfrac{2x - 1 + x + 2}{x + 2} \implies \dfrac{3x + 1}{x + 2} > 0 $$

Puntos críticos: $x = -\dfrac{1}{3}$ y $x = -2$.

La tabla de signos para $(-\infty, -2)$, $(-2, -1/3)$, $(-1/3, \infty)$ produce resultados positivos en los intervalos exteriores.

Conjunto solución 1: $(-\infty, -2) \cup (-\dfrac{1}{3}, \infty)$

Parte 2: Desigualdad derecha

$$ \dfrac{2x - 1}{x + 2} \le 3 \implies \dfrac{2x - 1}{x + 2} - 3 \le 0 $$

Encuentre un denominador común:

$$ \dfrac{2x - 1 - 3(x + 2)}{x + 2} \le 0 \implies \dfrac{-x - 7}{x + 2} \le 0 $$

Puntos críticos: $x = -7$ y $x = -2$.

La tabla de signos para $(-\infty, -7)$, $(-7, -2)$, $(-2, \infty)$ produce resultados negativos en los intervalos exteriores. Incluimos $-7$ debido al signo $\le$.

Conjunto solución 2: $(-\infty, -7] \cup (-2, \infty)$

Intersección:

Debemos encontrar dónde la Solución 1 Y la Solución 2 se solapan.

• Los lados izquierdos se solapan desde $(-\infty, -7]$.
• Los lados derechos se solapan desde $(-\dfrac{1}{3}, \infty)$.

Respuesta final:

$$ (-\infty, -7] \cup \left(-\dfrac{1}{3}, \infty\right) $$

Resuelva la desigualdad:

$$ \dfrac{(x - 3)^2 (x + 1)}{(x - 2)^3} \le 0 $$

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Solución:

Este problema introduce el concepto de multiplicidad. Cuando un factor está al cuadrado (o tiene cualquier potencia par), el signo de la expresión no cambiará al cruzar ese punto crítico. Cuando un factor tiene una potencia impar, el signo sí cambiará.

Paso 1: Identificar puntos críticos

• Numerador: $x = 3$ (multiplicidad par), $x = -1$ (multiplicidad impar)
• Denominador: $x = 2$ (multiplicidad impar, excluido)

Paso 2: Tabla de signos

Intervalos a probar: $(-\infty, -1), (-1, 2), (2, 3), (3, \infty)$

• Prueba $x = -2$: $\dfrac{(+)(-)}{(-)} = (+) > 0$
• Prueba $x = 0$: $\dfrac{(+)(+)}{(-)} = (-) \le 0$ (Este intervalo funciona)
• Prueba $x = 2.5$: $\dfrac{(+)(+)}{(+)} = (+) > 0$
• Prueba $x = 4$: $\dfrac{(+)(+)}{(+)} = (+) > 0$ (Observe que el signo no cambió al cruzar $x=3$)

Paso 3: Analizar extremos

Necesitamos donde la función es negativa O exactamente cero.

• El intervalo $(-1, 2)$ es negativo.
• $x = -1$ hace que sea cero (Incluido).
• $x = 2$ hace que sea indefinida (Excluido).
• $x = 3$ hace que sea cero (Incluido).

Aunque el intervalo alrededor de $3$ es positivo, el punto exacto $x=3$ da como resultado $0$, lo cual satisface $\le 0$. Esto crea un punto de solución aislado.

Respuesta final:

$$ [-1, 2) \cup \{3\} $$