Resolver desigualdades racionales: Ejemplos con soluciones

Resuelve la desigualdad:

$$ \dfrac{x-2}{x+1} \ge 0 $$

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Solución:

Paso 1: Identificar los puntos críticos (ceros del numerador y denominador)

Los puntos críticos ocurren donde la expresión es cero o indefinida.

• Numerador: $x - 2 = 0 \implies x = 2$
• Denominador: $x + 1 = 0 \implies x = -1$

Por lo tanto, los puntos críticos son: $x = -1$ (indefinido) y $x = 2$ (cero).

Paso 2: Dividir la recta numérica en intervalos

Usa los puntos críticos para dividir la recta numérica:

• Intervalo 1: $(-\infty, -1)$
• Intervalo 2: $(-1, 2)$
• Intervalo 3: $(2, \infty)$

Paso 3: Probar un punto en cada intervalo

Elige un valor en cada intervalo y prueba el signo de la expresión.

Intervalo 1: $x = -2$

$$ \dfrac{-2 - 2}{-2 + 1} = \dfrac{-4}{-1} = 4 > 0 \quad (\text{Positivo}) $$

Intervalo 2: $x = 0$

$$ \dfrac{0 - 2}{0 + 1} = \dfrac{-2}{1} = -2 < 0 \quad (\text{Negativo}) $$

Intervalo 3: $x = 3$

$$ \dfrac{3 - 2}{3 + 1} = \dfrac{1}{4} > 0 \quad (\text{Positivo}) $$

Paso 4: Incluir o excluir los puntos críticos

$x = -1$ hace que el denominador sea cero y, por lo tanto, se excluye.

$x = 2$ hace que el numerador sea cero, lo cual satisface $\ge 0$, y por lo tanto se incluye.

Respuesta final: El conjunto de solución de la desigualdad dada es:

$$ (-\infty, -1) \cup [2, \infty) $$

Resuelve la desigualdad:

$$ \dfrac{x+1}{x+3} \le 2 $$

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Solución:

Paso 1: Reescribir la desigualdad con cero en un lado

$$ \dfrac{x + 1}{x + 3} - 2 \le 0 $$

Reescribe con un denominador común:

$$ \dfrac{x + 1 - 2(x + 3)}{x + 3} \le 0 $$

Simplifica el numerador:

$$ \dfrac{x + 1 - 2x - 6}{x + 3} = \dfrac{-x - 5}{x + 3} $$

Entonces la desigualdad se convierte en:

$$ \dfrac{-x - 5}{x + 3} \le 0 $$

Paso 2: Identificar los puntos críticos

• Numerador: $-x - 5 = 0 \implies x = -5$
• Denominador: $x + 3 = 0 \implies x = -3$

Entonces los puntos críticos son: $x = -5$ (cero) y $x = -3$ (indefinido).

Paso 3: Dividir la recta numérica en intervalos

• Intervalo 1: $(-\infty, -5)$
• Intervalo 2: $(-5, -3)$
• Intervalo 3: $(-3, \infty)$

Paso 4: Probar un punto en cada intervalo

Intervalo 1: $x = -6$

$$ \dfrac{-(-6) - 5}{-6 + 3} = \dfrac{6 - 5}{-3} = \dfrac{1}{-3} = -\dfrac{1}{3} < 0 $$

Intervalo 2: $x = -4$

$$ \dfrac{-(-4) - 5}{-4 + 3} = \dfrac{4 - 5}{-1} = \dfrac{-1}{-1} = 1 > 0 $$

Intervalo 3: $x = 0$

$$ \dfrac{-0 - 5}{0 + 3} = \dfrac{-5}{3} < 0 $$

Paso 5: Incluir o excluir los puntos críticos

$x = -3$ hace que el denominador sea cero y, por lo tanto, se excluye.

$x = -5$ hace que el numerador sea cero, lo cual satisface $\le 0$, y por lo tanto se incluye.

Respuesta final: El conjunto de solución de la desigualdad dada es:

$$ (-\infty, -5] \cup (-3, \infty) $$

Resuelve la desigualdad:

$$ \dfrac{4x^2+5x-9}{x^2-x-6} \ge 0 $$

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Solución:

Paso 1: Factorizar numerador y denominador

$$ 4x^2 + 5x - 9 = (4x + 9)(x - 1) $$

$$ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) $$

Entonces la desigualdad se convierte en:

$$ \dfrac{(4x + 9)(x - 1)}{(x - 3)(x + 2)} \ge 0 $$

Paso 2: Identificar los puntos críticos

Numerador:

• $4x + 9 = 0 \implies x = -\dfrac{9}{4}$
• $x - 1 = 0 \implies x = 1$

Denominador:

• $x - 3 = 0 \implies x = 3$
• $x + 2 = 0 \implies x = -2$

Entonces los puntos críticos son: $x = -\dfrac{9}{4}, x = -2, x = 1, x = 3$.

Paso 3: Organizar los puntos críticos en la recta numérica

De izquierda a derecha en la recta numérica: $-\infty, -\dfrac{9}{4}, -2, 1, 3, +\infty$. Por lo tanto, los intervalos son:

• Intervalo 1: $(-\infty, -\dfrac{9}{4})$
• Intervalo 2: $(-\dfrac{9}{4}, -2)$
• Intervalo 3: $(-2, 1)$
• Intervalo 4: $(1, 3)$
• Intervalo 5: $(3, \infty)$

Paso 4: Probar un punto en cada intervalo

Intervalo 1: $x = -3$

$$ \dfrac{(4(-3) + 9)(-3 - 1)}{(-3 - 3)(-3 + 2)} = \dfrac{(-3)(-4)}{(-6)(-1)} = \dfrac{12}{6} = 2 > 0 $$

Intervalo 2: $x = -2.1$

$$ \dfrac{(4(-2.1) + 9)(-2.1 - 1)}{(-2.1 - 3)(-2.1 + 2)} \approx -3.64705\dots < 0 $$

Intervalo 3: $x = 0$

$$ \dfrac{(4(0) + 9)(0 - 1)}{(0 - 3)(0 + 2)} = \dfrac{(9)(-1)}{(-3)(2)} = \dfrac{-9}{-6} = 1.5 > 0 $$

Intervalo 4: $x = 2$

$$ \dfrac{(4(2) + 9)(2 - 1)}{(2 - 3)(2 + 2)} = \dfrac{(17)(1)}{(-1)(4)} = \dfrac{17}{-4} = -4.25 < 0 $$

Intervalo 5: $x = 4$

$$ \dfrac{(4(4) + 9)(4 - 1)}{(4 - 3)(4 + 2)} = \dfrac{(25)(3)}{(1)(6)} = \dfrac{75}{6} > 0 $$

Paso 5: Incluir o excluir los puntos críticos

• $x = -\dfrac{9}{4}$ y $x = 1$ $\to$ ceros del numerador $\to$ satisfacen $\ge 0$ $\to$ incluidos
• $x = -2$ y $x = 3$ $\to$ hacen que el denominador sea cero $\to$ excluidos

Paso 6: Determinar dónde la expresión es $\ge 0$

• $(-\infty, -\dfrac{9}{4}]$: positiva $\to$ incluida
• $(-\dfrac{9}{4}, -2)$: negativa $\to$ excluida
• $(-2, 1]$: positiva $\to$ incluida
• $(1, 3)$: negativa $\to$ excluida
• $(3, \infty)$: positiva $\to$ incluida

Respuesta final:

$$ (-\infty, -\dfrac{9}{4}] \cup (-2, 1] \cup (3, \infty) $$

Resuelve la desigualdad:

$$ \dfrac{x^3+1}{x^2-9} < 0 $$

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Solución:

Paso 1: Factorizar la expresión

• Numerador: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$
• Denominador: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

Entonces la desigualdad se convierte en:

$$ \dfrac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} < 0 $$

Paso 2: Identificar los puntos críticos

• $x + 1 = 0 \implies x = -1$
• $x - 3 = 0 \implies x = 3$
• $x + 3 = 0 \implies x = -3$

Nota: $x^2 - x + 1$ no tiene raíces reales porque su discriminante es negativo ($\Delta = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3$). Además, debido a que el coeficiente principal es positivo, este término es siempre positivo para todos los $x$ reales y no afectará el diagrama de signos.

Entonces los puntos críticos son: $x = -3$ (indefinido), $x = -1$ (cero), $x = 3$ (indefinido).

Paso 3: Dividir la recta numérica en intervalos

• Intervalo 1: $(-\infty, -3)$
• Intervalo 2: $(-3, -1)$
• Intervalo 3: $(-1, 3)$
• Intervalo 4: $(3, \infty)$

Paso 4: Probar un punto en cada intervalo

Intervalo 1: $x = -4$

$$ \dfrac{(-3)(21)}{(-7)(-1)} = \dfrac{-63}{7} = -9 < 0 $$

Intervalo 2: $x = -2$

$$ \dfrac{(-1)(7)}{(-5)(1)} = \dfrac{-7}{-5} = \dfrac{7}{5} > 0 $$

Intervalo 3: $x = 0$

$$ \dfrac{(1)(1)}{(-3)(3)} = \dfrac{1}{-9} < 0 $$

Intervalo 4: $x = 4$

$$ \dfrac{(5)(13)}{(1)(7)} = \dfrac{65}{7} > 0 $$

Paso 5: Incluir o excluir los puntos críticos

$x = -3$ y $x = 3$ hacen que el denominador sea cero y, por lo tanto, se excluyen.

$x = -1$ hace que el numerador sea cero, lo cual no satisface $< 0$ (desigualdad estricta) y, por lo tanto, se excluye.

Respuesta final: El conjunto de solución de la desigualdad dada es:

$$ (-\infty, -3) \cup (-1, 3) $$

Resuelve gráficamente:

$$ \dfrac{x + 2}{x - 1} \ge \ln(x + 1) $$

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Solución:

Grafica los dos lados de la desigualdad y aproxima las coordenadas de los puntos de intersección de las dos gráficas; luego determina los intervalos donde $\dfrac{x + 2}{x - 1}$ es mayor o igual a $\ln(x + 1)$.

$\ln(x + 1)$ está definido para $x > -1$, por lo tanto, cualquier conjunto de solución debe satisfacer $x > -1$. La función $\dfrac{x + 2}{x - 1}$ tiene una asíntota vertical en $x = 1$.

A partir de las gráficas, $\dfrac{x + 2}{x - 1}$ (verde) es mayor o igual a $\ln(x + 1)$ (roja) para:

$$ (-1, -0.59] \cup (1, 4.88] $$

Resuelve la desigualdad racional doble:

$$ -1 < \dfrac{2x - 1}{x + 2} \le 3 $$

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Solución:

Una desigualdad doble debe resolverse dividiéndola en dos desigualdades separadas. La solución final es la intersección (superposición) de los dos conjuntos de solución.

Parte 1: Desigualdad izquierda

$$ -1 < \dfrac{2x - 1}{x + 2} \implies 0 < \dfrac{2x - 1}{x + 2} + 1 $$

Encuentra un denominador común:

$$ 0 < \dfrac{2x - 1 + x + 2}{x + 2} \implies \dfrac{3x + 1}{x + 2} > 0 $$

Puntos críticos: $x = -\dfrac{1}{3}$ y $x = -2$.

El diagrama de signos para $(-\infty, -2)$, $(-2, -1/3)$, $(-1/3, \infty)$ produce resultados positivos en los intervalos exteriores.

Conjunto de solución 1: $(-\infty, -2) \cup (-\dfrac{1}{3}, \infty)$

Parte 2: Desigualdad derecha

$$ \dfrac{2x - 1}{x + 2} \le 3 \implies \dfrac{2x - 1}{x + 2} - 3 \le 0 $$

Encuentra un denominador común:

$$ \dfrac{2x - 1 - 3(x + 2)}{x + 2} \le 0 \implies \dfrac{-x - 7}{x + 2} \le 0 $$

Puntos críticos: $x = -7$ y $x = -2$.

El diagrama de signos para $(-\infty, -7)$, $(-7, -2)$, $(-2, \infty)$ produce resultados negativos en los intervalos exteriores. Incluimos $-7$ debido al signo $\le$.

Conjunto de solución 2: $(-\infty, -7] \cup (-2, \infty)$

Intersección:

Debemos encontrar dónde la Solución 1 Y la Solución 2 se superponen.

• Los lados izquierdos se superponen desde $(-\infty, -7]$.
• Los lados derechos se superponen desde $(-\dfrac{1}{3}, \infty)$.

Respuesta final:

$$ (-\infty, -7] \cup \left(-\dfrac{1}{3}, \infty\right) $$

Resuelve la desigualdad:

$$ \dfrac{(x - 3)^2 (x + 1)}{(x - 2)^3} \le 0 $$

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Solución:

Este problema introduce el concepto de multiplicidad. Cuando un factor está al cuadrado (o tiene cualquier potencia par), el signo de la expresión no cambiará al cruzar ese punto crítico. Cuando un factor tiene una potencia impar, el signo sí cambiará.

Paso 1: Identificar puntos críticos

• Numerador: $x = 3$ (multiplicidad par), $x = -1$ (multiplicidad impar)
• Denominador: $x = 2$ (multiplicidad impar, excluido)

Paso 2: Diagrama de signos

Intervalos a probar: $(-\infty, -1), (-1, 2), (2, 3), (3, \infty)$

• Prueba $x = -2$: $\dfrac{(+)(-)}{(-)} = (+) > 0$
• Prueba $x = 0$: $\dfrac{(+)(+)}{(-)} = (-) \le 0$ (Este intervalo funciona)
• Prueba $x = 2.5$: $\dfrac{(+)(+)}{(+)} = (+) > 0$
• Prueba $x = 4$: $\dfrac{(+)(+)}{(+)} = (+) > 0$ (Nota que el signo no cambió al cruzar $x=3$)

Paso 3: Analizar puntos finales

Necesitamos dónde la función es negativa O exactamente cero.

• El intervalo $(-1, 2)$ es negativo.
• $x = -1$ lo hace cero (Incluido).
• $x = 2$ lo hace indefinido (Excluido).
• $x = 3$ lo hace cero (Incluido).

Aunque el intervalo alrededor de $3$ es positivo, el punto exacto $x=3$ produce $0$, lo cual satisface $\le 0$. Esto crea un punto de solución aislado.

Respuesta final:

$$ [-1, 2) \cup \{3\} $$