Encontrar Funciones Trigonométricas Dadas sus Gráficos con Desplazamiento de Fase (2)
Encuentra la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase de una función trigonométrica dada por sus gráficos. Luego encuentra su ecuación. Se presentan preguntas junto con soluciones detalladas y explicaciones. Tutoriales interactivos sobre Desplazamiento de Fase y Periodo de funciones trigonométricas pueden usarse primero para entender estos conceptos. Ejemplos sobre cómo encontrar ecuaciones de gráficos trigonométricos con desplazamientos verticales se encuentran en parte (1)
Preguntas
Pregunta 1
Encuentra la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase para las curvas en 1.a a 1.e, luego escribe la función en la forma y = a sin(bx + c).
a
b
c
d
e
Solución
Gráfico en 1.a Para una función de la forma y = a sin(bx + c), la amplitud está dada por el valor máximo de la función. En el gráfico 1.a, tenemos:
amplitud: = |a| = 2
Reproducimos el gráfico de 1.a a continuación y notamos lo siguiente:
4 divisiones pequeñas = π y, por lo tanto, 1 división pequeña = π/4
Un periodo = 16 divisiones pequeñas; Por lo tanto: 1 periodo = 16 × π/4 = 4 π
Desplazamiento de fase: Es el desplazamiento entre los gráficos de y = a sin(bx) e y = a sin(bx + c)
y está definido por - c / b.
En el gráfico de 1.a, el desplazamiento de fase es igual a -π/4 como se muestra a continuación. (1 división pequeña a la izquierda)
Ahora usamos los resultados encontrados anteriormente para escribir una ecuación de la forma y = a sin(bx + c) para el gráfico en 1.a
|a| = 2, entonces a = ± 2. sea a = 2.
1 periodo = 4π = 2π / b (suponiendo b > 0). Por lo tanto, b = 2π / 4π = 1 / 2
Desplazamiento de fase = -π/4 = - c / b
Por lo tanto, c = b × π/4 = (1 / 2)(π/4) = π/8
y = 2 sin (x / 2 + π/8)
Gráfico en 1.b
amplitud: = |a| = 1.5
Un periodo = 4
Desplazamiento de fase = 1 unidad a la derecha = 1
Ahora usamos los resultados encontrados anteriormente para escribir una ecuación de la forma y = a sin(bx + c) para el gráfico en 1.b
|a| = 1.5, entonces a = ± 1.5 sea a = 1.5
1 periodo = 4 = 2π / b (suponiendo b > 0). Por lo tanto, b = π / 2
Desplazamiento de fase = 1 = - c / b
Por lo tanto, c = - b = - π / 2
y = 1.5 sin ( πx / 2 - π/2)
Gráfico en 1.c
amplitud: = |a| = 10
1 división pequeña = π / 5 , 1 periodo = 8 divisiones
Por lo tanto, 1 periodo = 8 π / 5
Desplazamiento de fase = 2 divisiones = 2π / 5
Ahora usamos los resultados encontrados anteriormente para escribir una ecuación de la forma y = a sin(bx + c) para el gráfico en 1.c
|a| = 10, entonces a = ± 10 sea a = 10
1 periodo = 8 π / 5 = 2π / b (suponiendo b > 0). Por lo tanto, b = 5 / 4
Desplazamiento de fase = 2π / 5 = - c / b
Por lo tanto, c = - 2π b / 5 = - π / 2
y = 10 sin (5 x / 4 - π/2)
Gráfico en 1.d
amplitud: = |a| = 3
1 división pequeña = π / 12 , 1 periodo = 16 divisiones
Por lo tanto, 1 periodo = 16 × π / 12 = 4 π / 3
Desplazamiento de fase = 2 divisiones a la izquierda = - 2 π / 12 = - π / 6
Ahora usamos los resultados encontrados anteriormente para escribir una ecuación de la forma y = a sin(bx + c) para el gráfico en 1.d
|a| = 3, entonces a = ± 3 sea a = 3
1 periodo = 4 π / 3 = 2π / b (suponiendo b > 0). Por lo tanto, b = 3 / 2
Desplazamiento de fase = - π / 6 = - c / b
Por lo tanto, c = π b / 6 = π / 4
y = 3 sin (3 x / 2 + π/4)
Gráfico en 1.e
amplitud: = |a| = 2
1 división pequeña = π / 12 , 1 periodo = 8 divisiones
Por lo tanto, 1 periodo = 8 × π / 12 = 2 π / 3
Desplazamiento de fase = 1 división a la derecha = π / 12
Ahora usamos los resultados encontrados anteriormente para escribir una ecuación de la forma y = a sin(bx + c) para el gráfico en 1.e
|a| = 2, entonces a = ± 2 sea a = 2
1 periodo = 2 π / 3 = 2π / b (suponiendo b > 0). Por lo tanto, b = 3
Desplazamiento de fase = π / 12 = - c / b
Por lo tanto, c = - π b / 12 = - π / 4
y = 2 sin (3 x - π / 4)
Como ejercicio, grafica cada una de las funciones encontradas arriba y compara los gráficos obtenidos con los gráficos dados arriba.
Pregunta 2
Encuentra la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase para las curvas en Problemas 2.a a 2.c, luego escribe la función en la forma y = a cos(bx + c).
2.a
2.b
2.c
Solución
Gráfico en 2.a Para una función de la forma y = a cos(bx + c), la amplitud está dada por el valor máximo de la función. En el gráfico 2.a, tenemos:
Amplitud: = |a| = 4
Reproducimos el gráfico de 1.a a continuación y notamos lo siguiente:
Un periodo = 3 π/2
Desplazamiento de fase: Es el desplazamiento entre los gráficos de y = a cos(bx) e y = a cos(bx + c)
y está definido por - c / b.
En el gráfico de 2.a, el desplazamiento de fase es igual a 3 divisiones pequeñas a la derecha.
1 división pequeña = π / 8
Desplazamiento de fase = 3 × π / 8
Ahora usamos los resultados encontrados anteriormente para escribir una ecuación de la forma y = a cos(bx + c) para el gráfico en 2.a
|a| = 4, entonces a = ± 4; sea a = 4
1 periodo = 3 π/2 = 2π / b (suponiendo b > 0). Por lo tanto, b = 4 / 3
Desplazamiento de fase = 3 π / 8 = - c / b
Por lo tanto, c = - b × 3 π / 8 = - π / 2
y = 4 cos (4 x / 3 - π / 2)
Gráfico en 2.b
Amplitud: = |a| = 3
Un periodo = 1 (longitud del eje x de un ciclo)
Desplazamiento de fase = 1 / 2 (media unidad a la derecha)
Ahora usamos los resultados encontrados anteriormente para escribir una ecuación de la forma y = a cos(bx + c) para el gráfico en 2.b
|a| = 3, entonces a = ± 3; sea a = 3
1 periodo = 1 = 2π / b (suponiendo b > 0). Por lo tanto, b = 2 π
Desplazamiento de fase = 1 / 2 = - c / b
Por lo tanto, c = - b / 2 = - π
y = 3 cos ( 2 π x - π)
Gráfico en 2.c
Amplitud: = |a| = 40
1 división pequeña = (π / 2) / 4 = π / 8
1 periodo = 8 divisiones
Por lo tanto, 1 periodo = 8 × π / 8 = π
Desplazamiento de fase = 3 divisiones (a la derecha) = 3 × π / 8 = 3π / 8
Ahora usamos los resultados encontrados anteriormente para escribir una ecuación de la forma y = a cos(bx + c) para el gráfico en 2.c
|a| = 40, entonces a = ± 40; sea a = 40
1 periodo = π = 2π / b (suponiendo b > 0). Por lo tanto, b = 2
Desplazamiento de fase = 3π / 8 = - c / b
Por lo tanto, c = - 3π b / 8 = - 3π / 4
y = 40 cos (2 x - 3π / 4)
Como ejercicio, grafica cada una de las funciones encontradas arriba y compara los gráficos obtenidos con los gráficos dados arriba.
Pregunta 3
El gráfico de la función y = sin(bx + c) tiene una intersección en x = 6π/5 y un máximo en x = 11π/5, como se muestra a continuación.
a) ¿Cuál es el periodo de la función?
b) Encuentra b y c, y la ecuación del gráfico.
Solución
a) El valor absoluto de la diferencia de las coordenadas x de los puntos (6π/5 , 0) y (11π/5 , 1) da el cuarto del periodo. Por lo tanto, el periodo P es igual a:
P = 4(11π/5 - 6π/5) = 4π
b) El periodo encontrado anteriormente también se expresa como
P = 2π / | b |
Tomamos b como positivo y resolvemos la ecuación 2π / b = 4π para b
b = 1 / 2
El desplazamiento de fase del gráfico dado anteriormente es igual a 6π / 5 y también se expresa mediante la fórmula - c / b. Por lo tanto, la ecuación:
- c / b = 6π / 5
Resolvemos para c.
c = - 6π b / 5 = - 3π / 5
y = sin((1/2) x - 3π / 5)
b
c
e
2.b
2.c
