Encontrar Funciones Trigonométricas Dadas sus Gráficos con Desplazamiento de Fase (2)

Encuentra la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase de una función trigonométrica dada por sus gráficos. Luego encuentra su ecuación. Se presentan preguntas junto con soluciones detalladas y explicaciones. Tutoriales interactivos sobre Desplazamiento de Fase y Periodo de funciones trigonométricas pueden usarse primero para entender estos conceptos. Ejemplos sobre cómo encontrar ecuaciones de gráficos trigonométricos con desplazamientos verticales se encuentran en parte (1)

Preguntas

Pregunta 1

Encuentra la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase para las curvas en 1.a a 1.e, luego escribe la función en la forma y = a sin(bx + c).
a gráfico de la función seno pregunta 1.a b gráfico de la función seno pregunta 1.b c gráfico de la función seno pregunta 1.c

d gráfico de la función seno pregunta 1.d e gráfico de la función seno pregunta 1.2

Solución

Gráfico en 1.a Para una función de la forma y = a sin(bx + c), la amplitud está dada por el valor máximo de la función. En el gráfico 1.a, tenemos:
amplitud: = |a| = 2
Reproducimos el gráfico de 1.a a continuación y notamos lo siguiente:

periodo de la función seno pregunta 1.a
4 divisiones pequeñas = π y, por lo tanto, 1 división pequeña = π/4
Un periodo = 16 divisiones pequeñas; Por lo tanto: 1 periodo = 16 × π/4 = 4 π
Desplazamiento de fase: Es el desplazamiento entre los gráficos de y = a sin(bx) e y = a sin(bx + c) y está definido por - c / b.
En el gráfico de 1.a, el desplazamiento de fase es igual a -π/4 como se muestra a continuación. (1 división pequeña a la izquierda)

explicación del desplazamiento de fase pregunta 1.a
Ahora usamos los resultados encontrados anteriormente para escribir una ecuación de la forma y = a sin(bx + c) para el gráfico en 1.a
|a| = 2, entonces a = ± 2. sea a = 2.
1 periodo = 4π = 2π / b (suponiendo b > 0). Por lo tanto, b = 2π / 4π = 1 / 2
Desplazamiento de fase = -π/4 = - c / b
Por lo tanto, c = b × π/4 = (1 / 2)(π/4) = π/8
y = 2 sin (x / 2 + π/8)

Gráfico en 1.b
amplitud: = |a| = 1.5
Un periodo = 4
Desplazamiento de fase = 1 unidad a la derecha = 1
Ahora usamos los resultados encontrados anteriormente para escribir una ecuación de la forma y = a sin(bx + c) para el gráfico en 1.b
|a| = 1.5, entonces a = ± 1.5 sea a = 1.5
1 periodo = 4 = 2π / b (suponiendo b > 0). Por lo tanto, b = π / 2
Desplazamiento de fase = 1 = - c / b
Por lo tanto, c = - b = - π / 2
y = 1.5 sin ( πx / 2 - π/2)

Gráfico en 1.c
amplitud: = |a| = 10
1 división pequeña = π / 5 , 1 periodo = 8 divisiones
Por lo tanto, 1 periodo = 8 π / 5
Desplazamiento de fase = 2 divisiones = 2π / 5
Ahora usamos los resultados encontrados anteriormente para escribir una ecuación de la forma y = a sin(bx + c) para el gráfico en 1.c
|a| = 10, entonces a = ± 10 sea a = 10
1 periodo = 8 π / 5 = 2π / b (suponiendo b > 0). Por lo tanto, b = 5 / 4
Desplazamiento de fase = 2π / 5 = - c / b
Por lo tanto, c = - 2π b / 5 = - π / 2
y = 10 sin (5 x / 4 - π/2)

Gráfico en 1.d
amplitud: = |a| = 3
1 división pequeña = π / 12 , 1 periodo = 16 divisiones
Por lo tanto, 1 periodo = 16 × π / 12 = 4 π / 3
Desplazamiento de fase = 2 divisiones a la izquierda = - 2 π / 12 = - π / 6
Ahora usamos los resultados encontrados anteriormente para escribir una ecuación de la forma y = a sin(bx + c) para el gráfico en 1.d
|a| = 3, entonces a = ± 3 sea a = 3
1 periodo = 4 π / 3 = 2π / b (suponiendo b > 0). Por lo tanto, b = 3 / 2
Desplazamiento de fase = - π / 6 = - c / b
Por lo tanto, c = π b / 6 = π / 4
y = 3 sin (3 x / 2 + π/4)

Gráfico en 1.e
amplitud: = |a| = 2
1 división pequeña = π / 12 , 1 periodo = 8 divisiones
Por lo tanto, 1 periodo = 8 × π / 12 = 2 π / 3
Desplazamiento de fase = 1 división a la derecha = π / 12
Ahora usamos los resultados encontrados anteriormente para escribir una ecuación de la forma y = a sin(bx + c) para el gráfico en 1.e
|a| = 2, entonces a = ± 2 sea a = 2
1 periodo = 2 π / 3 = 2π / b (suponiendo b > 0). Por lo tanto, b = 3
Desplazamiento de fase = π / 12 = - c / b
Por lo tanto, c = - π b / 12 = - π / 4
y = 2 sin (3 x - π / 4)
Como ejercicio, grafica cada una de las funciones encontradas arriba y compara los gráficos obtenidos con los gráficos dados arriba.

Pregunta 2

Encuentra la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase para las curvas en Problemas 2.a a 2.c, luego escribe la función en la forma y = a cos(bx + c).
2.a gráfico de la función coseno pregunta 2.a 2.b gráfico de la función coseno pregunta 2.b 2.c gráfico de la función coseno pregunta 2.c

Solución

Gráfico en 2.a Para una función de la forma y = a cos(bx + c), la amplitud está dada por el valor máximo de la función. En el gráfico 2.a, tenemos:
Amplitud: = |a| = 4
Reproducimos el gráfico de 1.a a continuación y notamos lo siguiente:
Un periodo = 3 π/2
Desplazamiento de fase: Es el desplazamiento entre los gráficos de y = a cos(bx) e y = a cos(bx + c) y está definido por - c / b.
En el gráfico de 2.a, el desplazamiento de fase es igual a 3 divisiones pequeñas a la derecha.
1 división pequeña = π / 8
Desplazamiento de fase = 3 × π / 8

explicación del desplazamiento de fase pregunta 2.a
Ahora usamos los resultados encontrados anteriormente para escribir una ecuación de la forma y = a cos(bx + c) para el gráfico en 2.a
|a| = 4, entonces a = ± 4; sea a = 4
1 periodo = 3 π/2 = 2π / b (suponiendo b > 0). Por lo tanto, b = 4 / 3
Desplazamiento de fase = 3 π / 8 = - c / b
Por lo tanto, c = - b × 3 π / 8 = - π / 2
y = 4 cos (4 x / 3 - π / 2)

Gráfico en 2.b
Amplitud: = |a| = 3
Un periodo = 1 (longitud del eje x de un ciclo)
Desplazamiento de fase = 1 / 2 (media unidad a la derecha)
Ahora usamos los resultados encontrados anteriormente para escribir una ecuación de la forma y = a cos(bx + c) para el gráfico en 2.b
|a| = 3, entonces a = ± 3; sea a = 3
1 periodo = 1 = 2π / b (suponiendo b > 0). Por lo tanto, b = 2 π
Desplazamiento de fase = 1 / 2 = - c / b
Por lo tanto, c = - b / 2 = - π
y = 3 cos ( 2 π x - π)

Gráfico en 2.c
Amplitud: = |a| = 40
1 división pequeña = (π / 2) / 4 = π / 8
1 periodo = 8 divisiones
Por lo tanto, 1 periodo = 8 × π / 8 = π
Desplazamiento de fase = 3 divisiones (a la derecha) = 3 × π / 8 = 3π / 8
Ahora usamos los resultados encontrados anteriormente para escribir una ecuación de la forma y = a cos(bx + c) para el gráfico en 2.c
|a| = 40, entonces a = ± 40; sea a = 40
1 periodo = π = 2π / b (suponiendo b > 0). Por lo tanto, b = 2
Desplazamiento de fase = 3π / 8 = - c / b
Por lo tanto, c = - 3π b / 8 = - 3π / 4
y = 40 cos (2 x - 3π / 4)
Como ejercicio, grafica cada una de las funciones encontradas arriba y compara los gráficos obtenidos con los gráficos dados arriba.

Pregunta 3

El gráfico de la función y = sin(bx + c) tiene una intersección en x = 6π/5 y un máximo en x = 11π/5, como se muestra a continuación.

gráfico de la curva en la pregunta 4


a) ¿Cuál es el periodo de la función?
b) Encuentra b y c, y la ecuación del gráfico.

Solución

a) El valor absoluto de la diferencia de las coordenadas x de los puntos (6π/5 , 0) y (11π/5 , 1) da el cuarto del periodo. Por lo tanto, el periodo P es igual a:
P = 4(11π/5 - 6π/5) = 4π
b) El periodo encontrado anteriormente también se expresa como
P = 2π / | b |
Tomamos b como positivo y resolvemos la ecuación 2π / b = 4π para b
b = 1 / 2
El desplazamiento de fase del gráfico dado anteriormente es igual a 6π / 5 y también se expresa mediante la fórmula - c / b. Por lo tanto, la ecuación:
- c / b = 6π / 5
Resolvemos para c.
c = - 6π b / 5 = - 3π / 5
y = sin((1/2) x - 3π / 5)

Referencias y Enlaces

Propiedades de las Seis Funciones Trigonométricas
Matemáticas de Secundaria (Grados 10, 11 y 12) - Preguntas y Problemas Gratuitos Con Respuestas
Matemáticas de Escuela Intermedia (Grados 6, 7, 8, 9) - Preguntas y Problemas Gratuitos Con Respuestas
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