Encuentra funciones trigonométricas dados
sus gráficos con desplazamiento vertical

Grado 12 problemas de trigonometría y preguntas, sobre cómo encontrar la amplitud, período, desplazamiento de fase, desplazamiento vertical y la ecuación de una función trigonométrica dada su gráfica, se presentan junto con soluciones detalladas. Los tutoriales interactivos sobre Desplazamiento vertical de funciones trigonométricas pueden usarse primero para comprender este concepto.

  1. Supongamos que una curva seno (o coseno) se desplaza verticalmente, por lo que tiene una ecuación de la forma y = a sin(bx + c) + d.


    a) Encuentre fórmulas para max y min en términos de a y d (asuma a> 0)


    b) Encuentre fórmulas para a y d en términos de max y min.

    gráfico de la curva en cuestión 1



    Solución

    a) Comience con el rango de la función sin(bx + c) que es:

    -1 ≤ sin(bx +c) ≤ 1

    Multiplique todos los términos de la desigualdad anterior por a (a > 0) para obtener

    - a ≤ a sin(b x + c) ≤ a

    Agregue d a todos los términos de la desigualdad anterior por a para obtener

    - a + d ≤ a sin(b x + c) + d ≤ a + d

    La desigualdad anterior indica que y = a sin(b x + c) + d tiene un valor máximo máximo y un valor mínimo mínimo dado por:

    max = d + a     and     min = d - a

    b) Si suponemos que las fórmulas max = d + a e min = d - a son ecuaciones en dos variables d y a, podemos resolverlas fácilmente para d y a para obtener

    d = (max + min) / 2     and     a = (max - min) / 2

  2. Encuentre las constantes a, b, c y d para la curva y = a sin(bx + c) + d gráficamente debajo.

    gráfico de la curva en cuestión 2



    Solución

    Primero, el máximo máximo y el mínimo mínimo de la función que se muestra en el gráfico a continuación son iguales a:

    max = 0     and     min = - 4

    Usando las fórmulas obtenidas en el último problema, tenemos:

    d = (max + min) / 2 = - 2     and     a = (max - min) / 2 = 2

    A continuación, encontramos el período p de la gráfica de la función.

    p = 4 π / 3

    Asumiendo b positivo, el período está dado por 2 π/b. De ahí la ecuación

    2π / b = 4 π / 3

    lo que da

    b = 3 / 2

    Ahora podemos escribir la función como

    y = a sin(bx + c) + d = 2 sin( 3 x / 2 + c) - 2

    Una forma de determinar c es usar un punto en el gráfico dado. Por ejemplo, para x = 0, y = 0 según el gráfico. Por lo tanto

    2 sin( 0 + c) - 2 = 0

    sin(c) = 1

    da: c = π / 2 + 2 k π , dónde k = 0 , ~+mn~ 1 , ~+mn~ 2, ...

    Use c = π/2 para escribir una expresión a la función como:

    y = 2 sin( 3 x / 2 + π / 2) - 2

  3. Encuentre las constantes a, b, c y d para la curva y = a sin(bx + c) + d gráficamente debajo.

    gráfico de la curva en cuestión 3



    Solución

    Primero, el máximo máximo y el mínimo mínimo de la función que se muestra en el gráfico a continuación son iguales a:

    max = 18 / 5     e     min = - 6 / 5

    Usando las fórmulas obtenidas en el último problema, tenemos:

    d = (max + min) / 2 = 6 / 5     and     a = (max - min) / 2 = 12 / 5

    A continuación encontramos el periodo P de la gráfica de la función. Como los puntos (3/5, 18/5) y (7/5, - 6/5) delimitan medio ciclo, el período p está dado por el doble de la diferencia entre las coordenadas x de estos puntos.

    p = 2(7 / 5 - 3 / 5) = 8 / 5

    Asumiendo b positivo, el período está dado por 2π / b. De ahí la ecuación

    2π / b = 8 / 5

    lo que da

    b = 5 π / 4

    Usamos los valores de a, b y d que se encuentran arriba para escribir la función como

    y = (12/5) sin( 5 π x / 4 + c) + 6 / 5

    Usa el punto (3/5, 18/5) configurando x = 3/5 e y = 18/5 en la ecuación y simplifica.

    18 / 5 = (12 / 5) sin( 5 π (3/5) / 4 + c) + 6 / 5

    (12 / 5) sin( 3 π / 4 + c) = 18 / 5 - 6 / 5

    (12 / 5) sin( 3 π / 4 + c) = 12 / 5

    sin( 3 π / 4 + c) = 1

    Ahora resolvemos la ecuación trigonométrica anterior.

    3 π / 4 + c = π / 2 + 2 k π , where k = 0 , ~+mn~ 1 , ~+mn~ 2, ...

    da: c = π / 2 - 3 π / 4 = - π / 4 , (hemos utilizado la solución para k = 0)

    Ahora escribimos una expresión a la función como:

    y = (12 / 5) sin( 5 π x / 4 - π / 4) + 6 / 5

  4. La temperatura T, en grados Celsius, durante el día se aproxima por la función $$T(t) = -8\cos(\dfrac{\pi t}{12})+30^{\circ}$$ donde t es el tiempo en horas y t = 0 corresponde a las 12:00 a.m.

    a) Encuentra el período de T.

    b) Encuentra el valor máximo de T.

    c) Encuentre T a las 12 a.m., 6 a.m., 12 p.m., 6 p.m. y graficar T durante un período que comienza a partir de las 12 a.m.

    Solución

    a) El período P está dado por:

    P = 2π / (π/12) = 24 horas.

    b) El valor máximo de T viene dado por:

    max = 30 + 8 = 38°

    c) Encuentre valores de T a las 12 a.m., 6 a.m., 12 p.m., 6 p.m.

    12 a.m. corresponde a t = 0, por lo tanto $$T(12 \,\, am) = -8\cos(0)+30^{\circ} = 22^{\circ}$$

    6 a.m. corresponde a t = 6, por lo tanto $$T(6 \,\, am) = -8\cos(\dfrac{6 \pi}{12})+30^{\circ} = 30^{\circ}$$

    12 p.m. corresponde a t = 12 , por lo tanto $$T(12 \,\, pm) = -8\cos(\dfrac{12 \pi}{12})+30^{\circ} = 38^{\circ}$$

    6 p.m. corresponde a t = 18 , por lo tanto $$T(6 \,\, pm) = -8\cos(\dfrac{18 \pi}{12})+30^{\circ} = 30^{\circ}$$

    Gráfico que se muestra a continuación.

    gráfico de la curva en cuestión 4



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