Encontrar Funciones Trigonométricas Dados sus Gráficos Con Desplazamiento Vertical (1)

Encontrar la amplitud, periodo, desplazamiento de fase y desplazamiento vertical, y la ecuación de una función trigonométrica dada por sus gráficos. Las preguntas se presentan junto con soluciones detalladas. Los tutoriales interactivos sobre desplazamiento vertical de funciones trigonométricas pueden ser utilizados primero para entender este concepto. Más ejemplos sobre cómo encontrar ecuaciones de gráficos trigonométricos están en la parte (2).

Pregunta 1

Supongamos que una curva seno (o coseno) se desplaza verticalmente, de modo que tiene la ecuación de la forma y = a sin(bx + c) + d.
a) Encuentra ecuaciones para el máximo y mínimo en términos de a y d (suponga a > 0)
b) Encuentra ecuaciones para a y d en términos del máximo y mínimo.

gráfico de la curva en la pregunta 5

Solución

a) Comienza con el rango de la función sin(bx + c), que es:
-1 ≤ sin(bx + c) ≤ 1
Multiplica todos los términos de la desigualdad anterior por a (a > 0) para obtener
- a ≤ a sin(b x + c) ≤ a
Añade d a todos los términos de la desigualdad anterior por a para obtener
- a + d ≤ a sin(b x + c) + d ≤ a + d
La desigualdad anterior indica que y = a sin(b x + c) + d tiene un valor máximo max y un valor mínimo min dados por:
max = d + a     y     min = d - a
b) Si asumimos que las fórmulas max = d + a y min = d - a son ecuaciones en dos variables d y a, podemos resolverlas fácilmente para d y a para obtener
d = (max + min) / 2     y     a = (max - min) / 2

Pregunta 2

Encuentra las constantes a, b, c y d para la curva y = a sin(bx + c) + d graficada a continuación.

gráfico de la curva en la pregunta 6

Solución

Primero, el máximo max y el mínimo min de la función mostrada en el gráfico son iguales a:
max = 0     y     min = - 4
Usando las fórmulas obtenidas en el último problema, tenemos:
d = (max + min) / 2 = - 2     y     a = (max - min) / 2 = 2
A continuación, encontramos el periodo p a partir del gráfico de la función.
p = 4 π / 3
Asumiendo b positivo, el periodo está dado por 2π / b. Por lo tanto, la ecuación
2π / b = 4 π / 3
que da
b = 3 / 2
Ahora podemos escribir la función como
y = a sin(bx + c) + d = 2 sin( 3 x / 2 + c) - 2
Una forma de determinar c es usar un punto en el gráfico dado. Por ejemplo, para x = 0, y = 0 según el gráfico. Por lo tanto,
2 sin( 0 + c) - 2 = 0
sin(c) = 1
da como resultado: c = π / 2 + 2 k π , donde k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
Usamos c = π / 2 para escribir una expresión para la función como:
y = 2 sin( 3 x / 2 + π / 2) - 2

Pregunta 3

Encuentra las constantes a, b, c y d para la curva y = a sin(bx + c) + d graficada a continuación.

gráfico de la curva en la pregunta 7

Solución

Primero, el máximo max y el mínimo min de la función mostrada en el gráfico son iguales a:
max = 18 / 5     y     min = - 6 / 5
Usando las fórmulas obtenidas en el último problema, tenemos:
d = (max + min) / 2 = 6 / 5     y     a = (max - min) / 2 = 12 / 5
A continuación, encontramos el periodo p a partir del gráfico de la función. Dado que los puntos (3/5 , 18/5) y (7/5 , - 6/5) delimitan la mitad de un ciclo, el periodo p se obtiene multiplicando por dos la diferencia entre las coordenadas x de estos puntos. Por lo tanto,
p = 2(7 / 5 - 3 / 5) = 8 / 5
Asumiendo b positivo, el periodo está dado por 2π / b. Por lo tanto, la ecuación
2π / b = 8 / 5
que da
b = 5 π / 4
Usamos los valores de a, b y d encontrados anteriormente para escribir la función como
y = (12/5) sin( 5 π x / 4 + c) + 6 / 5
Usamos el punto (3 / 5 , 18 / 5) al establecer x = 3/5 e y = 18/5 en la ecuación y simplificar.
18 / 5 = (12 / 5) sin( 5 π (3/5) / 4 + c) + 6 / 5
(12 / 5) sin( 3 π / 4 + c) = 18 / 5 - 6 / 5
(12 / 5) sin( 3 π / 4 + c) = 12 / 5
sin( 3 π / 4 + c) = 1
Resolvemos la ecuación trigonométrica anterior.
3 π / 4 + c = π / 2 + 2 k π , donde k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
da como resultado: c = π / 2 - 3 π / 4 = - π / 4 , (hemos usado la solución para k = 0)
Escribimos ahora una expresión para la función como:
y = (12 / 5) sin( 5 π x / 4 - π / 4) + 6 / 5

Pregunta 4

La temperatura T, en grados Celsius, durante el día se aproxima mediante la función $$T(t) = -8\cos(\dfrac{\pi t}{12})+30^{\circ}$$ donde t es el tiempo en horas y t = 0 corresponde a las 12:00 a. m.
a) Encuentra el periodo de T.
b) Encuentra el valor máximo de T.
c) Encuentra T a las 12 a. m., 6 a. m., 12 p. m., 6 p. m. y grafica T durante un periodo empezando desde las 12 a. m. Solución a) El periodo P está dado por:
P = 2π / (π/12) = 24 horas.
b) El valor máximo de T está dado por:
max = 30 + 8 = 38°
c) Encuentra los valores de T a las 12 a. m., 6 a. m., 12 p. m., 6 p. m. 12 a. m. corresponde a t = 0 , por lo tanto $$T(12 \,\, a. m.) = -8\cos(0)+30^{\circ} = 22^{\circ}$$ 6 a. m. corresponde a t = 6 , por lo tanto $$T(6 \,\, a. m.) = -8\cos(\dfrac{6 \pi}{12})+30^{\circ} = 30^{\circ}$$ 12 p. m. corresponde a t = 12 , por lo tanto $$T(12 \,\, p. m.) = -8\cos(\dfrac{12 \pi}{12})+30^{\circ} = 38^{\circ}$$ 6 p. m. corresponde a t = 18 , por lo tanto $$T(6 \,\, p. m.) = -8\cos(\dfrac{18 \pi}{12})+30^{\circ} = 30^{\circ}$$ Gráfico mostrado a continuación.

gráfico de la curva en la pregunta 8


Referencias y Enlaces

Propiedades de las funciones trigonométricas
Desplazamiento Horizontal
Matemáticas de la Escuela Secundaria (Grados 10, 11 y 12) - Preguntas y Problemas Gratuitos Con Respuestas
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