Problemas y ejercicios de trigonometría con soluciones

Demuestra la identidad: $$ \tan^2(x) - \sin^2(x) = \tan^2(x) \sin^2(x) $$

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Solución:

Comenzamos con el lado izquierdo de la identidad dada.

Usa la identidad $\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ para escribir:

$$ \tan^2(x) - \sin^2(x) = \left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 - \sin^2(x) $$

$$ = \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} - \sin^2(x) $$

Encuentra un denominador común:

$$ = \dfrac{\sin^2(x) - \cos^2(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} $$

Factoriza $\sin^2(x)$ en el numerador:

$$ = \dfrac{\sin^2(x) \left(1 - \cos^2(x)\right)}{\cos^2(x)} $$

Aplica la identidad pitagórica $1 - \cos^2(x) = \sin^2(x)$:

$$ = \dfrac{\sin^2(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} $$

$$ = \sin^2(x) \tan^2(x) $$

Esto es exactamente igual al lado derecho de la identidad dada.

Demuestra la identidad: $$ \dfrac{1 + \cos(x) + \cos(2x)}{\sin(x) + \sin(2x)} = \cot(x) $$

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Solución:

Usa las identidades de ángulo doble $\cos(2x) = 2 \cos^2(x) - 1$ y $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$ en el lado izquierdo de la identidad dada:

$$ \dfrac{1 + \cos(x) + \cos(2x)}{\sin(x) + \sin(2x)} $$

$$ = \dfrac{1 + \cos(x) + 2 \cos^2(x) - 1}{\sin(x) + 2 \sin(x) \cos(x)} $$

Simplifica el numerador cancelando el $1$ y el $-1$:

$$ = \dfrac{\cos(x) + 2 \cos^2(x)}{\sin(x) + 2 \sin(x) \cos(x)} $$

Factoriza $\cos(x)$ del numerador y $\sin(x)$ del denominador:

$$ = \dfrac{\cos(x) (1 + 2 \cos(x))}{\sin(x) (1 + 2 \cos(x))} $$

Cancela el factor binomial común $(1 + 2 \cos(x))$:

$$ = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $$

$$ = \cot(x) $$

Esto es igual al lado derecho.

Demuestra la identidad: $$ 4 \sin(x) \cos(x) = \dfrac{\sin(4x)}{\cos(2x)} $$

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Solución:

Usa la identidad de ángulo doble $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$. Sustituyendo $\theta = 2x$, podemos reescribir $\sin(4x)$ como $2 \sin(2x) \cos(2x)$.

Sustituye esto en el lado derecho de la identidad dada:

$$ \dfrac{\sin(4x)}{\cos(2x)} = \dfrac{2 \sin(2x) \cos(2x)}{\cos(2x)} $$

Cancela $\cos(2x)$:

$$ = 2 \sin(2x) $$

Aplica la identidad de ángulo doble de nuevo para $\sin(2x)$:

$$ = 2 \times [2 \sin(x) \cos(x)] $$

$$ = 4 \sin(x) \cos(x) $$

Esto es igual al lado izquierdo.

Resuelve la ecuación trigonométrica:

$$ \sin(x) + \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0 \quad \text{para} \quad 0 \le x \le 2\pi $$

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Solución:

Usa la identidad $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$ para reescribir $\sin(x)$ estableciendo $\theta = \dfrac{x}{2}$:

$$ \sin(x) = \sin\left(2 \left( \dfrac{x}{2} \right)\right) = 2 \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) $$

Sustituye esto en la ecuación dada:

$$ 2 \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0 $$

Factoriza $\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$:

$$ \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \left( 2 \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + 1 \right) = 0 $$

Esto da dos ecuaciones separadas para resolver:

a) $\sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0$

Las soluciones para el ángulo son $\dfrac{x}{2} = 0$ y $\dfrac{x}{2} = \pi$.

Resuelve para $x$ para obtener: $x = 0$ y $x = 2\pi$.

b) $2 \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + 1 = 0$

Esto puede escribirse como $\cos\left(\dfrac{x}{2}\right) = -\dfrac{1}{2}$.

Las soluciones para el ángulo son $\dfrac{x}{2} = \dfrac{2\pi}{3}$ y $\dfrac{x}{2} = \dfrac{4\pi}{3}$.

Resuelve para $x$ para obtener: $x = \dfrac{4\pi}{3}$ y $x = \dfrac{8\pi}{3}$.

Nota que $\dfrac{8\pi}{3}$ es mayor que $2\pi$ y cae fuera del intervalo dado, por lo tanto se rechaza.

Soluciones finales: $\left\{ 0, \dfrac{4\pi}{3}, 2\pi \right\}$

Resuelve la ecuación trigonométrica:

$$ (2\sin(x) - 1)(\tan(x) - 1) = 0 \quad \text{para} \quad 0 \le x \le 2\pi $$

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Solución:

La ecuación dada ya está en forma factorizada, lo que conduce directamente a dos ecuaciones para resolver:

$$ 2\sin(x) - 1 = 0 \quad \text{y} \quad \tan(x) - 1 = 0 $$

Las ecuaciones anteriores pueden escribirse como:

$$ \sin(x) = \dfrac{1}{2} \quad \text{y} \quad \tan(x) = 1 $$

Las soluciones de la ecuación $\sin(x) = \dfrac{1}{2}$ en el intervalo $[0, 2\pi]$ son:

$$ x = \dfrac{\pi}{6} \quad \text{y} \quad x = \dfrac{5\pi}{6} $$

Las soluciones de la ecuación $\tan(x) = 1$ en el intervalo $[0, 2\pi]$ son:

$$ x = \dfrac{\pi}{4} \quad \text{y} \quad x = \dfrac{5\pi}{4} $$

Soluciones finales: $\left\{ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{4} \right\}$

Resuelve la ecuación trigonométrica:

$$ \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) = 0 \quad \text{para} \quad 0 \le x \le 2\pi $$

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Solución:

Usa la fórmula para $\cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)$ para condensar la expresión. Aquí, sea $A = 2x$ y $B = x$:

$$ \cos(2x + x) = \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) $$

Por lo tanto, la ecuación dada puede escribirse como:

$$ \cos(3x) = 0 $$

Dado que $x \in [0, 2\pi]$, el dominio para $3x$ es $[0, 6\pi]$. Resuelve la ecuación para $3x$ para obtener todos los ceros de la función coseno en este intervalo extendido:

$$ 3x = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{2}, \dfrac{9\pi}{2}, \dfrac{11\pi}{2} $$

Divide cada uno entre $3$ para resolver para $x$:

Soluciones finales: $\left\{ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{11\pi}{6} \right\}$

Simplifica la expresión trigonométrica:

$$ \dfrac{\sin(2x) - \cos(x)}{\cos(2x) + \sin(x) - 1} $$

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Solución:

Usa las identidades $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$ y $\cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x)$ para reescribir la expresión:

$$ \dfrac{2 \sin(x) \cos(x) - \cos(x)}{1 - 2 \sin^2(x) + \sin(x) - 1} $$

Simplifica el denominador cancelando $1$ y $-1$:

$$ = \dfrac{2 \sin(x) \cos(x) - \cos(x)}{-2 \sin^2(x) + \sin(x)} $$

Factoriza $\cos(x)$ del numerador y $\sin(x)$ del denominador:

$$ = \dfrac{\cos(x)(2 \sin(x) - 1)}{\sin(x)(-2 \sin(x) + 1)} $$

Nota que $(2 \sin(x) - 1)$ y $(-2 \sin(x) + 1)$ son opuestos (se multiplican por $-1$ para ser iguales). Cancélalos, dejando un $-1$:

$$ = - \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $$

$$ = - \cot(x) $$

Demuestra que:

$$ \sin(105^\circ) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$

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Solución:

$105^\circ$ puede escribirse como la suma de dos ángulos especiales:

$$ 105^\circ = 60^\circ + 45^\circ $$

Por lo tanto:

$$ \sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) $$

Usa la identidad $\sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)$ para escribir:

$$ \sin(105^\circ) = \sin(60^\circ)\cos(45^\circ) + \cos(60^\circ)\sin(45^\circ) $$

Usa la tabla de ángulos especiales para valores exactos:

$$ = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) $$

Multiplica las fracciones:

$$ = \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4} $$

$$ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$

Si $\sin(x) = \dfrac{2}{5}$ y $x$ es un ángulo agudo, encuentra los valores exactos de:

1. $\cos(2x)$
2. $\cos(4x)$
3. $\sin(2x)$
4. $\sin(4x)$

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Solución:

Si $\sin(x) = \dfrac{2}{5}$, entonces usando la identidad pitagórica $\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}$:

$$ \cos(x) = \sqrt{1 - \left(\dfrac{2}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \dfrac{4}{25}} = \sqrt{\dfrac{21}{25}} = \dfrac{\sqrt{21}}{5} $$

a) Encuentra $\cos(2x)$:

Usa la identidad $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$:

$$ \cos(2x) = 1 - 2\left(\dfrac{4}{25}\right) = 1 - \dfrac{8}{25} = \dfrac{17}{25} $$

c) Encuentra $\sin(2x)$ primero (necesario para las partes b y d):

Usa la identidad $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$:

$$ \sin(2x) = 2 \left(\dfrac{2}{5}\right) \left(\dfrac{\sqrt{21}}{5}\right) = \dfrac{4\sqrt{21}}{25} $$

b) Encuentra $\cos(4x)$:

Usa la identidad $\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1$:

$$ \cos(4x) = 2\left(\dfrac{17}{25}\right)^2 - 1 = 2\left(\dfrac{289}{625}\right) - 1 = \dfrac{578}{625} - \dfrac{625}{625} = -\dfrac{47}{625} $$

d) Encuentra $\sin(4x)$:

Usa la identidad $\sin(4x) = \sin(2(2x)) = 2 \sin(2x) \cos(2x)$:

$$ \sin(4x) = 2 \left(\dfrac{4\sqrt{21}}{25}\right) \left(\dfrac{17}{25}\right) = \dfrac{136\sqrt{21}}{625} $$

Encuentra la longitud del lado $AB$ en la figura a continuación. Redondea tu respuesta a 3 cifras significativas.

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Solución:

Observa que el triángulo $DAC$ es isósceles. Por lo tanto, si trazamos la perpendicular desde $D$ hasta $AC$, esta cortará a $AC$ en dos mitades iguales y bisecará el ángulo $D$.

Usando el triángulo rectángulo cuya hipotenusa es $AD$ ($10$ unidades) y el ángulo es $\dfrac{70^\circ}{2} = 35^\circ$, podemos escribir:

$$ \sin(35^\circ) = \dfrac{\dfrac{1}{2}AC}{10} \implies \dfrac{1}{2}AC = 10 \sin(35^\circ) $$

Lo que da:

$$ AC = 20 \sin(35^\circ) $$

Luego, observa que los dos ángulos internos $B$ y $C$ del triángulo $ABC$ suman $90^\circ$ y, por lo tanto, el tercer ángulo del triángulo $ABC$ (ángulo $A$) es un ángulo recto.

Por lo tanto, podemos escribir:

$$ \tan(32^\circ) = \dfrac{AB}{AC} $$

Lo que da:

$$ AB = AC \tan(32^\circ) $$

Sustituye el valor de $AC$ en la ecuación:

$$ AB = 20 \sin(35^\circ)\tan(32^\circ) \approx 7.17 \quad \text{(redondeado a 3 cifras significativas)} $$

Resuelve la ecuación para todos los valores reales de $x \in [0, 2\pi]$:

$$ 2\sin^2(x) + 3\cos(x) = 0 $$

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Solución:

Usa la identidad pitagórica $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ para expresar todo en términos de coseno:

$$ 2(1 - \cos^2(x)) + 3\cos(x) = 0 $$

$$ 2 - 2\cos^2(x) + 3\cos(x) = 0 $$

Multiplica por $-1$ para hacer positivo el término principal:

$$ 2\cos^2(x) - 3\cos(x) - 2 = 0 $$

Sea $u = \cos(x)$ para revelar la forma cuadrática:

$$ 2u^2 - 3u - 2 = 0 \implies (2u + 1)(u - 2) = 0 $$

Esto produce dos ecuaciones:

$$ \cos(x) = -\dfrac{1}{2} \quad \text{y} \quad \cos(x) = 2 $$

Debido a que el rango de la función coseno es $[-1, 1]$, la ecuación $\cos(x) = 2$ no tiene solución real.

Resolvemos $\cos(x) = -\dfrac{1}{2}$ para $x$ en el dominio $[0, 2\pi]$:

$$ x = \dfrac{2\pi}{3}, \ \dfrac{4\pi}{3} $$

Demuestra la siguiente identidad:

$$ \sin(3x) + \sin(x) = 2\sin(2x)\cos(x) $$

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Solución:

Podemos demostrar esto comenzando por el lado izquierdo y aplicando la identidad de Suma a Producto:

$$ \sin(A) + \sin(B) = 2\sin\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right) $$

Sea $A = 3x$ y $B = x$. Sustituye esto en la fórmula:

$$ \sin(3x) + \sin(x) = 2\sin\left(\dfrac{3x+x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{3x-x}{2}\right) $$

Simplifica las fracciones dentro de las funciones trigonométricas:

$$ = 2\sin\left(\dfrac{4x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{2x}{2}\right) $$

$$ = 2\sin(2x)\cos(x) $$

La identidad queda demostrada.