Problemas de Trigonometría y Preguntas con Soluciones - Grado 12

Se presentan 12a problemas de trigonometría y preguntas con respuestas y soluciones .

  1. Demuestra la identidad

    tan2(x) - sin2(x) = tan2(x) sin2(x)

  2. Demuestra la identidad

    (1 + cos(x) + cos(2x)) / (sin(x) + sin(2x)) = cot(x)

  3. Demuestra la identidad

    4 sin(x) cos(x) = sin(4x) / cos(2x)

  4. Resuelve la ecuación trigonométrica dada por

    sin(x) + sin(x/2) = 0 for 0 ≤ x ≤ 2 π

  5. Resuelve la ecuación trigonométrica dada por

    (2sin(x) - 1)(tan(x) - 1) = 0 for 0 ≤ x ≤ 2 π;

  6. Resuelve la ecuación trigonométrica dada por

    cos(2x) cos(x) - sin(2x) sin(x) = 0 for 0 ≤ x ≤ 2 π

  7. Resuelve la ecuación trigonométrica dada por

    ( sin(2x) - cos(x) ) / ( cos(2x) + sin(x) - 1 ) = 0 for 0 ≤ x ≤ 2 π

  8. demostrar que

    sin(105o) = ( √6 + √2 ) / 4

  9. Si sin (x) = 2/5 e x es un ángulo agudo, encuentre los valores exactos de

    a) cos(2x)

    b) cos(4x)

    c) sin(2x)

    d) sin(4x)

  10. Encuentre la longitud del lado AB en la figura a continuación. Redondea tu respuesta a 3 dígitos significativos.

    trigonometría grado 12 problema 10 .


Soluciones a los problemas anteriores


  1. Use la identidad tan (x) = sin (x) / cos (x) en el lado izquierdo de la identidad dada.

    tan2(x) - sin2(x) = sin2(x) / cos2(x) - sin2(x)

    = [ sin2(x) - cos2(x) sin2(x) ] / cos2(x)

    = sin2(x) [ 1 - cos2(x) ] / cos2(x)

    = sin2(x) sin2(x) / cos2(x)

    = sin 2 (x) tan 2 (x) que es igual al lado derecho de la identidad dada.


  2. Usa las identidades cos (2x) = 2 cos 2 (x) - 1 e sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) en el lado izquierdo de la identidad dada.

    [ 1 + cos(x) + cos(2x) ] / [ sin(x) + sin(2x) ]

    = [ 1 + cos(x) + 2 cos2(x) - 1 ] / [ sin(x) + 2 sin(x) cos(x) ]

    = [ cos(x) + 2 cos2(x) ] / [ sin(x) + 2 sin(x) cos(x) ]

    = cos(x) [1 + 2 cos(x)] / [ sin(x)( 1 + 2 cos(x) ) ]

    = cot(x)


  3. Usa la identidad sin (2x) = 2 sin (x) cos (x) para escribir sin(4x) = 2 sin(2x) cos(2x) en el lado derecho de la identidad dada.

    sin(4x) / cos(2x)

    = 2 sin(2x) cos(2x) / cos(2x)

    = 2 sin(2x)

    = 2 [ 2 sin(x) cos(x)]

    = 4 sin (x) cos (x) que es igual al lado derecho de la identidad dada.


  4. Usa la identidad sin (2x) = 2 sin (x) cos (x) para escribir sin (x) como sin (2 * x / 2) = 2 sin (x / 2) cos (x / 2) en la mano derecha lado de la ecuación dada.

    2 sin(x / 2) cos(x / 2) + sin(x / 2) = 0

    sin(x/2) [ 2 cos(x/2) + 1 ] = 0 factor

    lo que da

    sin(x/2) = 0 o 2 cos(x/2) + 1 = 0

    sin (x / 2) = 0 conduce a x / 2 = 0 o x / 2 = π que conduce a x = 0 o x = 2 π

    2 cos (x / 2) + 1 = 0 lleva a cos (x / 2) = -1/2 que conduce a x / 2 = 2 π / 3 y x / 2 = 4 π / 3 (la segunda solución conduce a x mayor que 2 π)

    soluciones: x = 0, x = 4π/3 and x = 2π


  5. La ecuación dada ya está factorizada

    (2sin(x) - 1)(tan(x) - 1) = 0

    lo que significa

    2sin(x) - 1 = 0 or tan(x) - 1 = 0

    sin(x) = 1/2 or tan(x) = 1 ecuaciones equivalentes a las anteriores

    soluciones: x = π/6, 5π/6, x = π/4 and x = 5π/4


  6. Tenga en cuenta que cos (2x + x) = cos (2x) cos (x) - sin (2x) sin (x) usando la fórmula para cos (A + B). Por lo tanto

    cos(2x) cos(x) - sin(2x) sin(x) = 0 es equivalente a

    cos(3x) = 0

    Resuelve para 3x para obtener: 3x = π/2, 3x = 3π/2, 3x = 5π/2, 3x = 7π/2, 3x = 9π/2 and 11pi/2

    soluciones: x = pi/6, pi/2, 5pi/6, 7pi/6, 3pi/2 and 11π;/6


  7. Usa las identidades sin(2x) = 2 sin(x)cos(x) e cos(2x) = 1 - 2 sin 2 (x) para reescribir la ecuación dada de la siguiente manera

    ecuación dada

    ( sin(2x) - cos(x) ) / ( cos(2x) + sin(x) - 1 ) = 0

    ( 2 sin(x) cos(x) - cos(x) ) / ( 1 - 2 sin2(x) + sin(x) - 1) = 0

    cos(x)( 2 sin(x) - 1 ) / [ - sin(x)( 2 sin(x) - 1 ) ] = 0

    Divide el numerador y el denominador por 2sin (x) - 1 para simplificar; suponiendo que 2sin(x) - 1 no es igual a cero.

    - cos(x) / sin(x) = 0

    -cot(x) = 0

    soluciones: x = π/2 and x = 3π/2

    Ahora necesitamos verificar que las dos soluciones encontradas no hacen ni el denominador ni 2 sin(x) - 1 igual a cero. (haz esto como ejercicio)



  8. Usa las identidades sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

    sin(105o) = sin(60o + 45o)

    = sin(60o)cos(45o) + cos(60o) sin(45o)

    = (sqrt(3)/2 )(sqrt(2)/2) + (1/2)(sqrt(2)/2)

    = ( sqrt(6) + sqrt(2) ) / 4


  9. Si sin(x) = 2/5, entonces cos(x) = √ (1 - (2/5) 2 ) √(21) / 5

    a) Usa identidad: cos(2x) = 1 - 2 sin2(x) = 17/25

    b) Usa identidad: cos(4x) = 1 - 2 sin2(2x)

    = 1 - 2 [ 2sin(x) cos(x) ]2

    = 457 / 625

    c) sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) = 4 sqrt(21)/25

    d) sin(4x) = sin(2(2x)) = 2 cos(2x) sin(2x)

    = 2 (17/25)(4 sqrt(21)/25) = 136 sqrt(21) / 625


  10. Tenga en cuenta que el triángulo DAC es isósceles y, por lo tanto, si extraemos la perpendicular de D a AC, cortará la CA en dos mitades y dividirá en dos el ángulo D.

    (1/2) AC = 10 sin(35o) or AC = 20 sin(35o)

    Tenga en cuenta que los dos ángulos internos B y C del triángulo ABC suman 90° y, por lo tanto, el tercer ángulo del triángulo ABC es un ángulo recto. Por lo tanto, podemos escribir

    tan(32o) = AB / AC

    Lo que da AB = AC tan(32o)

    = 20 sin(35o)tan(32o) = 7.17 ( redondeado a 3 dígitos significativos )


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Actualizado: 5 de marzo de 2028 (A Dendane)