Si \( \sin(x) = \dfrac{2}{5}\) y x es un ángulo agudo, encuentre los valores exactos de
a) \( \cos(2x) \)
b) \( \cos(4x) \)
c) \( \sin(2x) \)
d) \( \sin(4x) \)
Encuentra la longitud del lado AB en la siguiente figura. Redondea tu respuesta a 3 dígitos significativos.
.
Soluciones a los problemas anteriores
Empezamos con el lado izquierdo de la identidad dada
Usa la identidad \( \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \) en el lado izquierdo de la identidad dada.
\( \tan^2(x) - \sin^2(x) = \left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 - \sin^2(x) \)
\( = \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} - \sin^2(x) \)
\( = \dfrac{\sin^2(x) - \cos^2(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \)
\( = \dfrac{\sin^2(x) \left(1 - \cos^2(x)\right)}{\cos^2(x)} \)
\( = \dfrac{ \sin^2(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \)
\( = \sin^2(x) \tan^2(x) \) que es igual al lado derecho de la identidad dada.
Usa las identidades \( \cos(2x) = 2 \cos^2(x) - 1 \) y \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) en el lado izquierdo de la identidad dada.
\( \dfrac{1 + \cos(x) + \cos(2x)}{\sin(x) + \sin(2x)} \)
\( = \dfrac{1 + \cos(x) + 2 \cos^2(x) - 1}{\sin(x) + 2 \sin(x) \cos(x) } \)
\( = \dfrac{\cos(x) + 2 \cos^2(x)}{\sin(x) + 2 \sin(x) \cos(x) } \)
\( = \dfrac{\cos(x) (1 + 2 \cos(x))}{\sin(x) (1 + 2 \cos(x)) } \)
\( = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} \)
\( = \cot(x) \) que es igual al lado derecho de la identidad dada.
Usa la identidad \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) para escribir \( \sin(4x) = 2 \sin(2x) \cos(2x) \) a la derecha lado derecho de la identidad dada.
\( \dfrac{\sin(4x)}{\cos(2x)} = \dfrac{2 \sin(2x) \cos(2x)}{\cos(2x)}\)
\( = 2 \sin(2x) \)
\( = 2 \times 2 \sin(x) \cos(x) \)
\( = 4 \sin(x) \cos(x) \) que es igual al lado izquierdo de la identidad dada.
Usa la identidad \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) para escribir \( \sin(x) \) como
\( \sin(x) = \sin(2 \times x/2) = 2 \sin(x / 2) \cos(x / 2) \)
y use en el lado derecho de la ecuación dada para escribirla de la siguiente manera
\( 2 \sin(x / 2) \cos(x / 2) + \sin(x / 2) = 0 \)
Factorizar \( \sin(x / 2) \)
\( \sin(x/2) ( 2 \cos(x/2) + 1 ) = 0 \)
lo que da dos ecuaciones para resolver
\( \sin(x/2) = 0 \) o \( 2 \cos(x/2) + 1 = 0 \)
a) La ecuación \( \sin(x / 2) = 0 \) tiene las soluciones \( x / 2 = 0 \) o \( x / 2 = \pi \)
Resolver x para obtener las soluciones: \( x = 0 \) o \( x = 2 \pi \)
b) La ecuación \( 2 \cos(x/2) + 1 = 0 \) conduce a \( \cos(x/2) = -1/2 \) que tiene las soluciones \( x/2 = 2 \pi/ 3 \) y \( x/2 = 4 \pi/3 \)
Resolver x para obtener las soluciones: \( x = 4 \pi/3 \) y \( x = 8 \pi/3 \)
Tenga en cuenta que \( 8 \pi/3 \) es mayor que \( 2 \pi \) y, por lo tanto, no se acepta.
Las soluciones finales para la ecuación dada son: \( \{ 0 , 4 \pi/3 , 2 \pi \} \)
La ecuación dada ya está factorizada
\( (2\sin(x) - 1)(\tan(x) - 1) = 0 \)
lo que conduce a dos ecuaciones
\( 2\sin(x) - 1 = 0 \) o \( \tan(x) - 1 = 0 \)
Las ecuaciones anteriores se pueden escribir como
\( \sin(x) = 1/2 \) o \( \tan(x) = 1 \)
Las soluciones de \( \sin(x) = 1/2 \) son soluciones: \( x = \pi/6 \) y\( x = 5 \pi/6 \)
Las soluciones de \( \tan(x) = 1 \) son: \( x = \pi /4 \) y \( x = 5 \pi/4 \)
Las soluciones de la ecuación dada dentro del intervalo dado son: \( \{\pi/6, 5 \pi/6 , \pi /4 , 5 \pi/4 \}\)
Usa la fórmula para \( \cos(A + B) \) para escribir
\( \cos(2x + x) = \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) \) .
Por lo tanto, la ecuación dada
\( \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) = 0 \)
puede escribirse como
\( \cos(3x) = 0 \)
Resuelva la ecuación anterior para \( 3x \) para obtener:
\( 3x = \pi/2 \), \( 3x = 3\pi/2 \), \( 3x = 5\pi/2 \), \( 3x = 7\pi/2 \), \( 3x = 9\pi/2 \) y \( 3x = 11\pi/2 \)
Resuelva lo anterior para x para obtener las soluciones: \( \{\pi/6, \pi/2, 5\pi/6, 7\pi/6, 3\pi/2 , 11\pi/6 \} \ )
Usa las identidades \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) y \( \cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x) \) para reescribir la expresión dada como sigue
\( \dfrac{\sin(2x) - \cos(x)}{\cos(2x) + \sin(x) - 1 } = \dfrac{ 2 \sin(x) \cos(x) - \cos (x)}{1 - 2 \sin^2(x) + \sin(x) - 1 } \)
Simplifica el lado derecho y factoriza el numerador y el denominador
\( = \dfrac{\cos(x)( 2 \sin(x) -1) }{ \sin(x)( - 2 \sin(x) + 1) } \)
Simplificar
\( = - \dfrac{\cos(x)}{ \sin(x)} \)
\( = - \cot(x) \)
\( 105^{\circ} \) se puede escribir como la suma de dos ángulos especiales de la siguiente manera:
\( 105^{\circ} = 60^{\circ} + 45^{\circ}\)
Por eso
\( \sin(105^{\circ}) = \sin(60^{\circ} + 45^{\circ}) \)
Usa las identidades \( \sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) \)
\( \sin(105^{\circ}) = \sin(60^{\circ})\cos(45^{\circ}) + \cos(60^{\circ}) \sin(45^{ \circ}) \)
Usar tabla de ángulos especiales
\( = (\sqrt {3} / 2 )(\sqrt {2}/2) + (1/2)(\sqrt {2}/2) \)
\( = \dfrac{ \sqrt {6} + \sqrt {2} } {4} \)
Tenga en cuenta que el triángulo \( DAC \) es isósceles y, por lo tanto, si dibujamos la perpendicular de D a AC, dividirá AC en dos mitades y bisecará el ángulo D. Por lo tanto,
.
\( (1/2) AC = 10 \sin(35^{\circ}) \)
lo que da
\( AC = 20 \sin(35^{\circ}) \)
Tenga en cuenta que los dos ángulos internos B y C del triángulo ABC suman \( 90^{\circ} \) y, por lo tanto, el tercer ángulo del triángulo ABC es un ángulo recto.
Por lo tanto, podemos escribir
\( \tan(32^{\circ}) = AB / AC \)
Lo que da
\( AB = CA \tan(32^{\circ}) \)
\( = 20 \sin(35^{\circ})\tan(32^{\circ}) = 7,17 \quad \) (redondeado a 3 dígitos significativos)
