Resuelve Ecuaciones Trigonométricas - 12º Grado

\(\sin(x)\) es positivo en el cuadrante I y II, por lo tanto la ecuación tiene dos soluciones.

En el cuadrante I, la solución de \(\sin(x) = \frac{1}{2}\) es \[x = \frac{\pi}{6}\] (ángulo verde en el círculo unitario).

En el cuadrante II, por simetría del círculo unitario, la solución de \(\sin(x) = \frac{1}{2}\) es \[ x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \] (ángulo marrón en el círculo unitario).

Las soluciones gráficas de la ecuación \(\sin(x) = \frac{1}{2}\) se obtienen escribiendo primero la ecuación con el lado derecho igual a cero: \(\sin(x) - \frac{1}{2} = 0\). Luego, graficamos el lado izquierdo de la ecuación, y las soluciones son las intersecciones con el eje x de la gráfica de \(f(x) = \sin(x) - \frac{1}{2}\), como se muestra abajo. Es fácil verificar que las dos intersecciones en la gráfica coinciden con las soluciones analíticas encontradas: \(\frac{\pi}{6}\) y \(\frac{5\pi}{6}\).

La ecuación puede escribirse como: \[ \sin(x) = -\cos(x) \]

Dividimos ambos lados por \(\cos(x)\): \[ \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = -1 \]

Usamos la identidad \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) para reescribir: \[ \tan(x) = -1 \]

Resolvemos \(\tan(x) = -1\)

\(\tan(x)\) es negativo en los cuadrantes II y IV.

Solución en cuadrante II: \[ x = \frac{3\pi}{4} \]

Por simetría del círculo unitario, la solución en el cuadrante IV es: \[ \frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{7\pi}{4} \]

Las soluciones gráficas pueden aproximarse por las intersecciones con el eje x de la gráfica de \( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \). Podemos verificar fácilmente que las dos soluciones encontradas, \(\frac{3\pi}{4}\) y \(\frac{7\pi}{4}\), coinciden con las intersecciones en la gráfica mostrada abajo.

Usamos la fórmula \[ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \] para escribir: \[ \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) \]

Reescribimos la ecuación: \[ \sin\left(\frac{\pi x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = 0 \]

Resolvemos: \[ \frac{\pi x}{2} - \frac{\pi}{3} = k\pi \quad \text{donde} \quad k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \]

Simplificamos: \[ x = 2k + \frac{2}{3} \quad \text{donde} \quad k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \]

Las primeras 3 soluciones positivas son: \[ \frac{2}{3}, \quad \frac{8}{3}, \quad \frac{14}{3} \] correspondientes a \( k = 0, 1, 2 \). Estos valores coinciden con las intersecciones con el eje x de la gráfica de \[ f(x) = \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \] mostrada arriba.

Usamos la identidad: \[ \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \] para reescribir: \[ 2(1 - \cos^2(x)) + \cos(x) = 1 \]

Agrupamos términos y escribimos la ecuación igualada a cero: \[ -2 \cos^2(x) + \cos(x) + 1 = 0 \]

Sea \( u = \cos(x) \): \[ -2u^2 + u + 1 = 0 \]

Resolvemos para \( u \): \( u = 1 \) y \( u = -\frac{1}{2} \)

1) Resolvemos \( u = 1 \): \[ \cos(x) = 1 \] obtenemos \[ x_1 = 2k\pi \quad \text{donde } k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

2) Resolvemos \( u = -\frac{1}{2} \): \[ \cos(x) = -\frac{1}{2} \] \( \cos(x) \) es negativo en cuadrantes II y III, por lo tanto hay dos grupos más de soluciones: \[ x_2 = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{donde } k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \] y \[ x_3 = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{donde } k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

Las primeras 3 soluciones positivas se obtienen con \( k = 0 \) en los tres grupos: \[ 0,\quad \frac{2\pi}{3},\quad \frac{4\pi}{3} \] Estos valores coinciden con las intersecciones con el eje x de la gráfica de \( g(x) = 2\sin^2(x) + \cos(x) - 1 \) mostrada abajo.

Usamos la identidad: \[ \cos(x) = 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1 \] para reescribir: \[ 6\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - \left(2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1\right) = 4 \]

Agrupamos términos e igualamos a cero: \[ 4\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = 3 \]

\[ \cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \]

1) Resolvemos \(\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

El coseno es positivo en cuadrantes I y IV, por lo tanto dos grupos de soluciones: \[ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{(cuadrante I)} \] \[ \frac{x}{2} = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{(cuadrante IV)} \]

Multiplicamos por 2: \[ x_1 = \frac{\pi}{3} + 4k\pi \] \[ x_2 = \frac{11\pi}{3} + 4k\pi \]

2) Resolvemos \(\cos\left(\frac{x}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

El coseno es negativo en cuadrantes II y III: \[ \frac{x}{2} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{(cuadrante II)} \] \[ \frac{x}{2} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{(cuadrante III)} \]

Multiplicamos por 2: \[ x_3 = \frac{5\pi}{3} + 4k\pi \] \[ x_4 = \frac{7\pi}{3} + 4k\pi \]

Las primeras 4 soluciones positivas con \(k = 0\) son: \(\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}\). Estos valores coinciden con las intersecciones con el eje x de la gráfica de \[ f(x) = 6\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos(x) - 4 \] mostrada abajo.

Usamos la identidad: \[ \tan^{2}(x) = \sec^{2}(x) - 1 \] para reescribir: \[ \sec^{2}(x) - 1 + 2 \sec(x) + 1 = 0 \]

Igualamos a cero y factorizamos: \[ \sec^{2}(x) + 2 \sec(x) = 0 \] \[ \sec(x) \bigl(\sec(x) + 2\bigr) = 0 \]

\(\sec(x) = 0\) no tiene solución.

Resolvemos: \[ \sec(x) + 2 = 0 \] Usamos \(\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\): \[ \cos(x) = -\frac{1}{2} \]

El coseno es negativo en cuadrantes II y III: \[ x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \] \[ x_2 = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \] donde \( k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \)

Las primeras 2 soluciones positivas con \(k = 0\) son: \(\frac{2\pi}{3}\) y \(\frac{4\pi}{3}\). Estos valores coinciden con las intersecciones con el eje x de la gráfica de \(f(x) = \tan^{2}(x) + 2 \sec(x) + 1\) mostrada arriba.

Usamos las identidades: \[ \cos(3x) = \cos^{3}(x) - 3 \cos(x) \sin^{2}(x) \] \[ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \] para reescribir: \[ \cos^{3}(x) - 3 \cos(x) \sin^{2}(x) + 2 \sin(x) \cos(x) = \cos(x) \]

Igualamos a cero y factorizamos \(\cos(x)\): \[ \cos(x) \left( \cos^{2}(x) - 3 \sin^{2}(x) + 2 \sin(x) - 1 \right) = 0 \]

Usamos \(\cos^{2}(x) = 1 - \sin^{2}(x)\): \[ \cos(x) \left( 1 - \sin^{2}(x) - 3 \sin^{2}(x) + 2 \sin(x) - 1 \right) = 0 \]

Simplificamos: \[ \cos(x) \left( -4 \sin^{2}(x) + 2 \sin(x) \right) = 0 \]

Factorizamos: \[ 2 \sin(x) \cos(x) (1 - 2 \sin(x)) = 0 \]

Igualamos cada factor a cero:

\[ \sin(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = k \pi \]

\[ \cos(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{\pi}{2} + k \pi \]

\[ 1 - 2 \sin(x) = 0 \quad \text{ó} \quad \sin(x) = \frac{1}{2} \] da dos grupos más: \[ x_3 = \frac{\pi}{6} + 2 k \pi \] \[ x_4 = \frac{5 \pi}{6} + 2 k \pi \]

Las primeras 6 soluciones positivas son: \[ 0, \quad \pi, \quad \frac{\pi}{2}, \quad \frac{3 \pi}{2}, \quad \frac{\pi}{6}, \quad \frac{5 \pi}{6} \] Estos valores coinciden con las intersecciones con el eje x de la gráfica de \[ f(x) = \cos(3x) + \sin(2x) - \cos(x) \] mostrada abajo.

Si \(\cos(A) = \cos(B)\), entonces \[ A = B + 2k\pi \quad \text{ó} \quad A = -B + 2k\pi \]

Por lo tanto: \[ 3x = 2x + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] ó \[ 3x = -(2x + \frac{\pi}{4}) + 2k\pi \]

Resolvemos la primera: \[ x_1 = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \]

Resolvemos la segunda: \[ 5x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \] \[ x_2 = -\frac{\pi}{20} + \frac{2k\pi}{5} \] donde \( k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \)

Las 6 intersecciones con el eje x en la gráfica de \[ f(x) = \cos(3x) - \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) \] corresponden a \(k = 0\) en \(x_1\) y \(k = 0, 1, 2, 3, 4\) en \(x_2\).