Cómo resolver ecuaciones trigonométricas con soluciones detalladas - Grado 12

Las ecuaciones trigonométricas de grado 12 con soluciones detalladas se presentan junto con la interpretación gráfica.




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  1. Encuentra todas las soluciones de la ecuación
    sin(x) = 1 / 2

    en el intervalo [0 , 2π) y explique las soluciones gráficamente usando un círculo unitario y la gráfica de sin (x) - 1/2 en un sistema de coordenadas rectangulares de ejes.

    solución

    • sin(x) es positivo en el cuadrante I y II y, por lo tanto, la ecuación dada tiene dos soluciones.
    • En el cuadrante I, la solución a sen (x) = 1/2 es x = π / 6. (verde en el círculo de la unidad)
    • En el cuadrante II, y por la simetría del círculo unitario, la solución a sin(x) = 1/2 es x = π - Π/6 = 5 π/6 (marrón en círculo unitario)

      Solución de resolución gráfica de círculo unitario pregunta 1


    • Las soluciones gráficas de la ecuación sin(x) = 1/2 se obtienen escribiendo primero la ecuación con el lado derecho igual a cero sin(x) - 1/2 = 0. Luego grafica el lado izquierdo de la ecuación y las soluciones de la ecuación son las x - intersecciones de la gráfica de f(x) = sin(x) - 1/2 como se muestra a continuación. Es fácil verificar que las dos interceptaciones x en el siguiente gráfico estén cerca de las soluciones analíticas que se encuentran arriba: π/6 y 5π/6.

      solución gráfica de la pregunta 1


  2. Encuentra todas las soluciones de la ecuación
    sin(x) + cos(x) = 0

    en el intervalo [0, 2 π) y explique las soluciones gráficamente usando el círculo unitario y la gráfica de sin(x) + cos(x) en un sistema de coordenadas rectangular.

    solución

    • La ecuación se puede escribir como: sin(x) = -cos(x).
    • Dividir ambos lados de la ecuación por cos (x): sin(x) / cos(x) = -1
    • Usa la identidad tan (x) = sin(x)/cos(x) para reescribir la ecuación como: tan(x) = - 1
    • Resuelve la ecuación tan(x) = - 1
    • tan (x) es negativo en el cuadrante II y IV
    • Solución en el cuadrante II: x = 3 π/4
    • Por simetría del círculo unitario, la solución en el cuadrante IV viene dada por: 3π/4 + π = 7π/4

       solución gráfica de círculo unitario pregunta 2


    • Las soluciones gráficas pueden aproximarse mediante las x interceptaciones de la gráfica de g(x) = sin(x) + cos(x). Podemos verificar fácilmente que las dos soluciones que se encuentran por encima de 3π/4 y 7π/4 están cerca de las x intercepciones del gráfico que se muestra a continuación.

      solución gráfica de la pregunta 2


  3. Encuentra todas las soluciones de la ecuación:

    sin(πx / 2)cos(π/3) - cos(πx / 2)sin(π/3) = 0


    y verifica gráficamente las primeras soluciones positivas.

    solución

    • Primero usamos la fórmula sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B
    • escribir : sin(πx / 2)cos(π/3) - cos(πx / 2)sin(π/3) = sin(πx / 2 - π/3)
    • reescribe la ecuación dada de la siguiente manera: sin(πx / 2 - π/3) = 0
    • Resuelve la ecuación anterior para obtener: πx / 2 - π/3 = k π   where   k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
    • Simplifica y reescribe la solución como: x = 2 k + 2/3   where   k = 0 , ± 1 , ± 2, ...

      solución gráfica de la pregunta 3


    • Las primeras 3 soluciones positivas son: 2/3, 8/3 y 14/3 correspondientes a k = 0, 1 y 2. Estos valores están cerca de las intersecciones x de la gráfica de f(x) = sin(πx / 2)cos(π/3) - cos(πx / 2)sin(π/3) mostrado arriba.

  4. Encuentra todas las soluciones de las ecuaciones: 2 sin2(x) + cos (x) = 1.

    y verifica gráficamente las primeras soluciones positivas.

    solución

    • Primero usamos la identidad: sin2(x) = 1 - cos2(x)
    • para reescribir la ecuación como: 2(1 - cos2(x)) + cos (x) = 1
    • agrupar términos similares y escribir ecuación con el lado derecho igual a cero: -2 cos2(x) + cos (x) +1 = 0
    • Deje u = cos(x) e vuelva a escribir la ecuación como: -2 u2 + u +1 = 0
    • Resuelve para u: u = 1 e u = - 1 / 2
    • Primer grupo de soluciones: Resuelve u = 1 para x: u = cos (x) = 1 :         x1 = 2 k π   dónde   k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
    • Resuelve u = - 1/2 para x:
    • cos(x) es negativo en el cuadrante II y III, por lo tanto u = cos(x) = - 1/2 tiene dos grupos más de soluciones dadas por
    • Segundo grupo de soluciones:        x2 = 2π/3 + 2 k π   dónde   k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
    • Tercer grupo de soluciones:         x3 = 4π/3 + 2 k π   dónde   k = 0 , ± 1 , ± 2, ...

      solución gráfica de la pregunta 4


    • Las primeras 3 soluciones positivas se obtienen estableciendo k = 0 en los tres grupos de soluciones para obtener: 0, 2π/3 and 4π/3. Estos valores están cerca de las intersecciones x de la gráfica de g(x) = 2 sin2 (x) + cos(x) - 1 que se muestra arriba.

  5. Encuentra todas las soluciones de la ecuación: 6 cos2(x / 2) - cos (x) = 4.

    y verifica gráficamente las primeras soluciones positivas.

    solución

    • Primero usamos la identidad: cos(x) = 2 cos2(x / 2) - 1
    • para reescribir la ecuación como: 6 cos2(x / 2) - (2 cos2(x / 2) - 1 ) = 4
    • agrupar términos similares y escribir ecuación con el lado derecho igual a cero: 4 cos2(x / 2) = 3
    • cos(x / 2) = ± √3 / 2

    • Resuelve la primera ecuación cos(x / 2) = √3 / 2
      la función del coseno es positiva en el cuadrante I y IV, por lo tanto, los dos grupos de soluciones:

      x / 2 = π / 6 + 2 k π dónde   k = 0 , ± 1 , ± 2, ... (cuadrante I)
      and
      x / 2 = 11π / 6 + 2 k π dónde   k = 0 , ± 1 , ± 2, ... (cuadrante VI)

      Multiplique todos los términos por 2 para obtener los primeros dos grupos de soluciones:

      x1 = π / 3 + 4 k π dónde   k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
      x2 = 11π / 3 + 4 k π dónde   k = 0 , ± 1 , ± 2, ...

    • Resuelve la segunda ecuación cos(x / 2) = - √3 / 2
      La función del coseno es negativa en el cuadrante II y III, por lo tanto, los dos grupos de soluciones:

      x / 2 = 5 π / 6 + 2 k π where   k = 0 , ± 1 , ± 2, ... (quadrant II)
      e
      x / 2 = 7 π / 6 + 2 k π where   k = 0 , ± 1 , ± 2, ... (quadrant III)

      Multiplica todos los términos por 2 para obtener dos grupos más dos soluciones:

      x3 = 5 π / 3 + 4 k π where   k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
      x4 = 7 π / 3 + 4 k π where   k = 0 , ± 1 , ± 2, ...

      solución gráfica de la pregunta 5


    • Las primeras 4 soluciones positivas se obtienen estableciendo k = 0 en los cuatro grupos de soluciones para obtener: π/3 , 5π/3, 7π/3 e 11π/3. Estos valores están cerca de las intersecciones x de la gráfica de f(x) = 6 cos 2 (x/2) - cos(x) - 4 que se muestra arriba.

  6. Resuelve la ecuación: tan2( x) + 2 sec(x) + 1 = 0.

    y verifica gráficamente las primeras soluciones positivas.

    solución

    • Primero usamos la identidad: tan2(x) = sec2(x) - 1
    • para reescribir la ecuación como: sec2(x) - 1 + 2 sec (x) + 1 = 0
    • agrupar términos similares y escribir ecuación con el lado derecho igual a cero: sec2(x) + 2 sec (x) = 0
    • Factor: sec (x) (sec (x) + 2) = 0
    • sec (x) = 0 no tiene solución.
    • Resolver : sec (x) + 2 = 0
    • Utilizar sec(x) = 1 / cos (x) para reescribir la ecuación como : cos(x) = - 1 / 2

    • La función del coseno es negativa en el cuadrante II y III, por lo tanto, dos grupos de soluciones
      x1 = 2π/3 + 2 k π   where   k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
      x2 = 4π/3 + 2 k π;   where   k = 0 , ± 1 , ± 2, ...

       solución gráfica de la pregunta 6

    • Las primeras 2 soluciones positivas se obtienen estableciendo k = 0 en los dos grupos de soluciones para obtener: 2π/3 y 4π/3. Estos valores están cerca de las intersecciones x de la gráfica de f(x) = tan2 (x) + 2 sec(x) + 1 que se muestra arriba.

  7. Resuelve la ecuación: cos(3x) + sin(2x) = cos(x).

    solución

    • Primero usamos las identidades:      
      cos(3x) = cos3(x) - 3 cos(x)sin2(x)       e     sin(2x) = 2sin(x) cos(x)
      para reescribir la ecuación dada de la siguiente manera:      cos3(x) - 3 cos(x)sin2(x) + 2sin(x) cos(x) = cos(x)

    • Reescribe con el lado derecho igual a cero y factor cos(x)      
            cos(x) ( cos2(x) - 3 sin2(x) + 2 sin(x) - 1) = 0

    • Utilizar la identidad cos2(x) = 1 - sin2(x) para reescribir la ecuación de la siguiente manera
    • cos(x) (1 - sin2(x) - 3 sin2(x) + 2 sin(x) - 1) = 0

    • Simplificar
    • cos(x) (- 4 sin2(x) + 2 sin(x) ) = 0

    • Factor
    • 2 sin(x) cos(x) (1 - 2 sin(x)) = 0

    • Establezca cada factor igual a cero y resuelva.
    • sin(x) = 0 da soluciones:           x1 = kπ
    • cos(x) = 0 da soluciones:            x2 = π/2 + kπ
    • 1 - 2 sin(x) = 0 or sin(x) = 1/2 da 2 otros grupos de soluciones.

      x3 = π/6 + 2kπ     e     x4 = 5π/6 + 2kπ

      solución gráfica de la pregunta 7


    • Las primeras 6 soluciones positivas se obtienen estableciendo k = 0 e k = 1 en los primeros dos grupos de soluciones x 1 e x 2 para obtener: 0 , π, π/2, 3π/2, y k = 0 en el segundo y tercer grupo de soluciones x 3 y x 4 para obtener π/6 e 5π/6. Estas 6 soluciones están cerca de las intersecciones x de la gráfica de f(x) = cos(3x) + sin(2x) - cos(x) que se muestra arriba.

  8. Resuelve la ecuación: cos(3x) = cos(2x + π/4).

    solución

    • Usamos el hecho de que si cos(A) = cos(B), then A = B + 2kπ or A = - B + 2kπ escribir:

      3 x = 2 x + π/4 + 2kπ  
      o
      3 x = -(2 x + π/4) + 2kπ

    • Resolver 3 x = 2 x + π/4 + 2kπ   Solutions:   x1 = π/4 + 2kπ
    • Resolver 3 x = -(2 x + π/4) + 2kπ ,
      da 5x = - π/4 + 2kπ
    • dividir todos los términos por 5 : x2 = - π/20 + 2kπ / 5
      dónde   k = 0 , ± 1 , ± 2, ... en ambos grupos de soluciones

      solución gráfica de la pregunta 8


    • Las 6 interceptaciones mostradas en el gráfico de f(x) = cos(3x) - cos(2x + π/4) corresponden a las soluciones k = 0 en el primer grupo x1 y k = 0, 1, 2, 3 y 4 en el segundo grupo de soluciones x2 = - π/20 + 2kπ / 5.


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