Explorador Interactivo de Gradientes y Mapas de Contorno

El gradiente de una función de dos variables $f(x,y)$, denotado $\nabla f(x,y)$, es el vector de derivadas parciales: \[ \nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right). \] Entonces, se diferencia $f(x,y)$ con respecto a $x$ tratando $y$ como constante, y luego con respecto a $y$ tratando $x$ como constante.

Interpretación del Gradiente

• Es un vector que apunta en la dirección de mayor aumento de la función.
• Su magnitud indica qué tan empinado es el aumento.
• En un punto $(x_0, y_0)$, el vector gradiente es:

\[ \nabla f(x_0,y_0) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \right). \] Esta herramienta interactiva le permite visualizar la relación entre una superficie 3D, su mapa de contorno y el campo vectorial del gradiente. Explore cómo el vector gradiente siempre apunta en la dirección de ascenso más pronunciado y es perpendicular a las líneas de contorno. Puede personalizar la función, los límites del dominio y las opciones de visualización para comprender mejor los conceptos de cálculo multivariable.