Se presenta un conjunto de problemas de álgebra intermedia con soluciones detalladas. Los temas incluyen el teorema de Pitágoras, cálculos de distancia, velocidad y tiempo, sistemas de ecuaciones, pendientes de rectas, porcentajes y dimensiones de rectángulos. Cada problema se explica claramente, con expresiones matemáticas formateadas usando LaTeX para facilitar su comprensión.
¿Para qué valor de la constante \( K \) la ecuación \( 2x + K x = 3 \) tiene una sola solución?.
Dada la ecuación \[ 2x + K x = 3 \] Factorizamos \( x \) \[ x(2+K) = 3 \] Resolvemos para \( x \) y obtenemos: \[ x = \dfrac{3}{2 + k} \] \( x \) es indefinida si el denominador es igual a cero. El denominador es igual a cero si \[ k = - 2 \] La ecuación dada tiene una solución para todos los valores reales de \( k \neq -2 \).
¿Para qué valor de la constante \( K \) la ecuación \( K x^2 + 2x = 1 \) tiene dos soluciones reales?
Reescribimos la ecuación cuadrática dada en su forma estándar: \[ Kx^2 + 2x - 1 = 0 \] Calculamos el discriminante \( \Delta \) de la ecuación cuadrática anterior: \[ \Delta = b^2 - 4 a c = 4 - 4(K)(-1) = 4 + 4K \] Para que la ecuación tenga dos soluciones reales, el discriminante \( \Delta \) debe ser positivo. Por lo tanto, necesitamos resolver la desigualdad: \[ 4 + 4K > 0 \] El conjunto solución de la desigualdad anterior es: \[ K > -1 \] para el cual la ecuación dada tiene dos soluciones reales.
¿Para qué valor de la constante \( K \) el sistema de ecuaciones \begin{cases} 2x - y = 4 \\\\ 6x - 3y = 3K \end{cases} tiene un número infinito de soluciones?
Para que el sistema de ecuaciones \begin{cases} 2x - y = 4 \\\\ 6x - 3y = 3K \end{cases} tenga un número infinito de soluciones, las dos ecuaciones deben ser equivalentes.
Si multiplicamos todos los términos de la primera ecuación por 3, obtenemos \[ 6x - 3y = 12 \]
Para que las dos ecuaciones sean equivalentes, debemos tener
\[ 12 = 3K \]que, al resolverse, da
\[ K = 4 \]Encuentra \( Y \) para que los puntos \( A(0, 0) \), \( B(2, 2) \) y \( C(-4, Y) \) sean los vértices de un triángulo rectángulo con hipotenusa \( \overline{AC} \).
Se nos dan tres puntos: \( A(0, 0) \) , \( B(2, 2) \) y \( C(-4, Y) \).
Se nos dice que el triángulo es rectángulo con hipotenusa \( \overline{AC} \), por lo tanto usamos el Teorema de Pitágoras: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \quad (I) \] Calculamos las distancias al cuadrado: \[ AB^2 = (2 - 0)^2 + (2 - 0)^2 = 4 + 4 = 8 \] \[ BC^2 = (2 - (-4))^2 + (2 - Y)^2 = 36 + (2 - Y)^2 \] \[ AC^2 = (-4 - 0)^2 + (Y - 0)^2 = 16 + Y^2 \] Sustituimos en la ecuación \( (I) \): \[ 16 + Y^2 = 8 + 36 + (2 - Y)^2 \] \[ 16 + Y^2 = 44 + (4 - 4Y + Y^2) \] \[ 16 + Y^2 = 44 + 4 - 4Y + Y^2 \] \[ 16 + Y^2 = 48 - 4Y + Y^2 \] Restamos \( 16 + Y^2 \) de ambos lados: \[ 0 = 48 - 4Y + Y^2 - 16 - Y^2 \] \[ 0 = 32 - 4Y \] \[ 4Y = 32 \] \[ Y = 8 \] \[ \boxed{Y = 8} \]
Encuentra \( M \) para que las rectas con ecuaciones \[ -2x + My = 5 \quad \text{y} \quad 4y + x = -9 \] sean perpendiculares.
Primero encontramos las pendientes de las dos rectas: \(\dfrac{2}{M}\) y \(-\dfrac{1}{4}\)
Para que dos rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser igual a \(-1\). Por lo tanto, la ecuación: \[ \left(\dfrac{2}{M}\right) \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) = -1 \] que puede escribirse como \[ \left(\dfrac{-2}{4 M}\right) = -1 \] multiplicamos todos los términos por \( 4 M \) y simplificamos \[ -2 = - 4 M \] Resolvemos para \(M\) y encontramos: \[ M = \dfrac{1}{2} \]
La longitud de un campo rectangular es \( \dfrac{7}{5} \) de su ancho. Si el perímetro del campo es \( 240 \) metros, ¿cuáles son el largo y el ancho del campo?
Sea \( L \) el largo y \( W \) el ancho. \[ L = \dfrac{7}{5}W \] Perímetro: \[ 2L + 2W = 240 \] Sustituimos \( L = \dfrac{7}{5}W \) en la ecuación anterior \[ 2\left(\dfrac{7}{5}W\right) + 2W = 240 \] Multiplicamos todos los términos por \( 5 \) y simplificamos \[ 14 W + 10W = 1200 \] Agrupamos \[ 24 W = 1200 \] Resolvemos para \( W \) \[ W = 50 \,\text{m} \] Resolvemos para \( L \) \[ L = \dfrac{7}{5}W = \dfrac{7}{5} \cdot 50 = 70\,\text{m} \]
Pedro quiere obtener $\(200,000\) por su casa después de la comisión. Un agente cobra el \( 20\% \) del precio de venta por vender la casa para Pedro.
a) ¿Cuál debería ser el precio de venta?
b) ¿Cuál será la comisión del agente?
Sea \( x \) el precio de venta. Pedro quiere obtener $\(200,000\) por su casa después de la comisión, por lo tanto \[ x - 20\% \cdot x = 200,\!000 \] que puede escribirse como \[ x - 0.2 x = 200,\!000 \Rightarrow 0.8 x = 200,\!000 \] a) Resolvemos para \( x \) y encontramos \[ x = \$ 250,\!000 \] b) \[ 20\% \; \text{de} \; x = 20\% \cdot 250,\!000 = \$ 50,\!000 \]
El salario anual de Juan después de un aumento del \( 15\% \) es $\(45,000\). ¿Cuál era su salario antes del aumento?
Sea \( x \) el salario antes del aumento. Por lo tanto, después del aumento, tenemos \[ x + 15\% x = 45,000 \] que puede escribirse como \[ x + 0.15 x = 45,000 \Rightarrow 1.15 x = 45,000 \] Resolvemos para \( x \) y encontramos \[ x = \$ 39,130 \]
A Malcom le tomó \(3.5\) horas conducir de la ciudad A a la ciudad B. En su camino de regreso a la ciudad A, aumentó su velocidad en \( 20 \) km por hora y le tomó \( 3 \) horas.
a) Encuentra la velocidad promedio para todo el viaje.
Sean \( x \) y \( x + 20 \) las velocidades del coche de A a B y luego de B a A respectivamente.
Por lo tanto, la distancia de A a B puede expresarse como \( 3.5x \) y la distancia de B a A como \( 3(x + 20) \).
\[ \text{La velocidad promedio} = \dfrac{\text{distancia total}}{\text{tiempo total}} = \dfrac{3.5x + 3(x + 20)}{3.5 + 3} \] La distancia de A a B es igual a la distancia de B a A, por lo tanto: \[ 3.5x = 3(x + 20) \] Reorganizamos la ecuación anterior \[0.5 x = 60 \] Resolvemos para \( x \) y obtenemos \[ x = 120 \; \text{km/hr} \] . Ahora sustituimos \( x = 120 \) en la fórmula de la velocidad promedio para obtener: \[ \text{Velocidad promedio} = \dfrac{3.5 \cdot 120 + 3(120 + 20)}{3.5 + 3} = 129.2 \ \text{km/hr} \]
Sea \( R \) una relación definida por \[ R = \{(4,3), (x^2, 2), (1,6), (-4,0)\}. \] a) Encuentra todos los valores de \( x \) para los cuales \( R \) NO es una función.
Para determinar cuándo \( R \) no es una función, examinamos si algún par ordenado tiene el mismo primer componente (entrada) con diferentes segundos componentes (salidas). Los primeros componentes son: \[ 4,\ x^2,\ 1,\ -4 \] Consideramos los valores de \( x \) tales que \( x^2 \) sea igual a otra entrada: \[ x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \] Esto lleva a dos pares con entrada 4: \[ (4,3) \quad \text{y} \quad (4,2) \] Dado que las salidas difieren, \( R \) no es una función. Luego: \[ x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \] Esto da dos pares con entrada 1: \[ (1,6) \quad \text{y} \quad (1,2) \] De nuevo, diferentes salidas, \( R \) no es una función. Finalmente: \[ x^2 = -4 \] no tiene solución real. \[ \boxed{ \text{Por lo tanto, } R \text{ no es una función cuando } x = \pm 2 \text{ o } x = \pm 1. } \]