Simplificando expresiones algebraicas con exponentes
ejemplos paso a paso
Esta colección de problemas de álgebra intermedia se centra en simplificar expresiones utilizando las reglas y propiedades de los exponentes. Al final de la página se proporcionan soluciones detalladas para ayudar a reforzar tu comprensión.
Reglas básicas de los exponentes para simplificar expresiones
- Regla del producto de potencias:
\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]
- Regla del cociente de potencias:
\[ \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad \text{(para } a \ne 0 \text{)} \]
- Regla de la potencia de una potencia:
\[ (a^m)^n = a^{m \cdot n} \]
- Regla de la potencia de un producto:
\[ (ab)^m = a^m \cdot b^m \]
- Regla de la potencia de un cociente:
\[ \left( \dfrac{a}{b} \right)^m = \dfrac{a^m}{b^m} \quad \text{(para } b \ne 0 \text{)} \]
- Regla del exponente cero:
\[ a^0 = 1 \quad \text{(para } a \ne 0 \text{)} \]
- Regla del exponente negativo:
\[ a^{-m} = \dfrac{1}{a^m} \quad \text{(para } a \ne 0 \text{)} \]
Nota: todas las letras (variables) utilizadas en las expresiones siguientes representan números distintos de cero.
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Simplifica las siguientes expresiones y escríbelas con exponentes positivos.
a) \[x^2 \cdot x^3\]
b) \[a^{-2} \cdot a^{-3}\]
c) \[\dfrac{a^5}{a^2}\]
d) \[\dfrac{a^{-3}}{a^7}\]
e) \[(x^2)^3\]
f) \[(x^{-2})^5\]
g) \[(x^2 y^3)^3\]
h) \[(x^{-2} y^3)^8\]
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Simplifica las siguientes expresiones y escríbelas con exponentes positivos.
a) \[\left(\dfrac{y^4}{y^2}\right)^3\]
b) \[\left(\dfrac{y^4}{y^{-3}}\right)^{-2}\]
c) \[\left(\dfrac{y^4 x^{12}}{y^2}\right)^3\]
d) \[\left(\dfrac{y^{12} x^{56}}{y^3}\right)^0\]
e) \[\dfrac{(x^2 y^4)^2}{(x y^{-2})^3}\]
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Simplifica las siguientes expresiones y escríbelas con exponentes positivos.
a) \[\dfrac{(x y^2)^2 (x^2 y^2)^2}{(x y)^4}\]
b) \[\left((a b^2)^3 (a^2 b^2)^4\right)^2\]
c) \[\dfrac{(x^2 y^3)^0 (x^4 y^3)^4}{(x y^2)^3}\]
d) \[\dfrac{(x^3 y^{-2})^2 (x^{-2} y^3)^4}{(x^{-2} y^{-2})^3}\]
Soluciones a las preguntas anteriores
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a) \[x^2 \cdot x^3 = x^{2 + 3} = x^5\]
b) \[a^{-2} \cdot a^{-3} = a^{-2 - 3} = a^{-5} = \dfrac{1}{a^5}\]
c) \[\dfrac{a^5}{a^2} = a^{5 - 2} = a^3\]
d) \[\dfrac{a^{-3}}{a^7} = a^{-3 - 7} = a^{-10} = \dfrac{1}{a^{10}}\]
e) \[(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6\]
f) \[(x^{-2})^5 = x^{-2 \cdot 5} = x^{-10} = \dfrac{1}{x^{10}}\]
g) \[(x^2 y^3)^3 = x^{2 \cdot 3} y^{3 \cdot 3} = x^6 y^9\]
h) \[(x^{-2} y^3)^8 = x^{-2 \cdot 8} y^{3 \cdot 8} = x^{-16} y^{24} = \dfrac{y^{24}}{x^{16}}\]
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a) \[\left( \dfrac{y^4}{y^2} \right)^3 = \dfrac{y^{4 \cdot 3}}{y^{2 \cdot 3}} = \dfrac{y^{12}}{y^6} = y^6\]
b) \[\left( \dfrac{y^4}{y^{-3}} \right)^{-2} = \dfrac{y^{4 \cdot (-2)}}{y^{-3 \cdot (-2)}} = \dfrac{y^{-8}}{y^6} = \dfrac{1}{y^{14}}\]
c) \[\left( \dfrac{y^4 x^{12}}{y^2} \right)^3 = \dfrac{(y^4 x^{12})^3}{y^{2 \cdot 3}} = \dfrac{y^{12} x^{36}}{y^6} = y^6 x^{36}\]
d) \[\left( \dfrac{y^{12} x^{56}}{y^3} \right)^0 = 1\]
e) \[\dfrac{(x^2 y^4)^2}{(x y^{-2})^3} = \dfrac{x^{4} y^8}{x^3 y^{-6}} = x y^{14}\]
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a) \[\dfrac{(x y^2)^2 (x^2 y^2)^2}{(x y)^4} = \dfrac{x^2 y^4 \cdot x^4 y^4}{x^4 y^4} = \dfrac{x^6 y^8}{x^4 y^4} = x^2 y^4\]
b) \[\left( (a b^2)^3 (a^2 b^2)^4 \right)^2 = (a b^2)^6 (a^2 b^2)^8 = a^6 b^{12} \cdot a^{16} b^{16} = a^{22} b^{28}\]
c) \[\dfrac{(x^2 y^3)^0 (x^4 y^3)^4}{(x y^2)^3} = \dfrac{1 \cdot x^{16} y^{12}}{x^3 y^6} = x^{13} y^6\]
d) \[\dfrac{(x^3 y^{-2})^2 (x^{-2} y^3)^4}{(x^{-2} y^{-2})^3} = \dfrac{x^6 y^{-4} \cdot x^{-8} y^{12}}{x^{-6} y^{-6}} = \dfrac{x^{-2} y^8}{x^{-6} y^{-6}} = x^4 y^{14}\]
Más referencias y enlaces