Problemas de Álgebra Intermedia con Soluciones:
Rectas, Funciones y Triángulos

Esta colección de problemas de álgebra intermedia cubre temas clave como rectas, pendiente, funciones, dominio y rango, e intersecciones con los ejes x e y. Cada problema incluye soluciones detalladas y explicaciones claras para ayudar a profundizar tu comprensión.

Pregunta 1

La recta L pasa por los puntos \( (1,3) \) y \( (-3,4) \).

  1. Halla la pendiente de la recta L.
  2. Halla la intersección de L con el eje y.
  3. Halla la intersección de L con el eje x.
  4. Halla \( b \) para que la recta L pase por el punto \( (-4,b) \).

Solución:

  1. Pendiente: \[ \text{pendiente} = \dfrac{4 - 3}{-3 - 1} = - \dfrac{1}{4} \]
  2. Ecuación de la recta \( L \): (forma punto-pendiente) \[ y - 3 = - \dfrac{1}{4}(x - 1) \] Para hallar la intersección con el eje y, sea \( x = 0 \) en la ecuación de la recta: \[ y - 3 = - \dfrac{1}{4}(0 - 1) = \dfrac{1}{4} \Rightarrow y = \dfrac{13}{4} \]
  3. Para hallar la intersección con el eje x, sea \( y = 0 \) en la ecuación de la recta: \[ 0 - 3 = - \dfrac{1}{4}(x - 1) \Rightarrow -3 = \dfrac{-1}{4}(x - 1) \] Multiplica ambos lados por 4 y resuelve para \( x \): \[ -12 = -(x - 1) \Rightarrow x - 1 = 12 \Rightarrow x = 13 \]
  4. Sustituye \( x = -4 \) y \( y = b \) en la ecuación: \[ b - 3 = \dfrac{-1}{4}(-4 - 1) = \dfrac{-1}{4}(-5) = \dfrac{5}{4} \Rightarrow b = \dfrac{17}{4} \]

Pregunta 2

La gráfica de la función f se muestra a continuación.

  1. Halla el dominio de \( f \).
  2. Halla el rango de \( f \).
  3. Halla \( f(0) \), \( f(1) \) y \( f(2) \).
  4. Halla todos los valores de \( x \) para los cuales \( f(x) = 5 \).

Problema de álgebra intermedia 2

Solución:

  1. Dominio: \( (-4,\ 4] \), intervalo abierto en \(x = - 4 \) porque la función no está definida en este valor de \( x \).
  2. Rango: \( [-4,\ 12] \)
  3. \( f(0) = -4,\ f(1) = -3,\ f(2) = 0 \)
  4. \( f(x) = 5 \) para \( x = -3 \) o \( x = 3 \)

Pregunta 3

La gráfica del segmento de recta AB se muestra a continuación.

  1. Usa la gráfica para hallar las coordenadas de los puntos \( A \) y \( B \).
  2. Halla la longitud del segmento de recta \( AB \).
  3. Halla el punto medio del segmento de recta \( AB \).

Problema de álgebra intermedia 3

Solución:

  1. A\((-2 , 4)\), B\((4 , 2)\)

  2. Longitud de \( AB = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (2 - 4)^2} = 2\sqrt{10} \)

  3. Coordenadas del punto medio: \( x = \dfrac{-2 + 4}{2} = 1 \), \( y = \dfrac{4 + 2}{2} = 3 \)

Pregunta 4

La recta \( L_1 \) pasa por el punto \( A (1, b) \) como se muestra a continuación. Halla la ecuación de la recta \( L_2 \) que pasa por el punto \( A \) y es perpendicular a la recta \( L_1 \).

Problema de álgebra intermedia 4

Solución:

De la gráfica, la intersección con el eje x es \((-3, 0)\), y la intersección con el eje y es \((0, 2)\).

Pendiente de L1: \[ \text{Pendiente de } L_1 = \dfrac{2 - 0}{0 - (-3)} = \dfrac{2}{3} \]

Halla \( b \): usando la pendiente, el punto \((1, b)\) y el punto \( (0,2) \) \[ \dfrac{b - 2}{1 - 0} = \dfrac{2}{3} \] Resuelve: \[ b - 2 = \dfrac{2}{3} \Rightarrow b = \dfrac{8}{3} \]

Pendiente de L2 (perpendicular a \(L_1\)): \[ \text{Pendiente de } L_2 = -\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}} = -\dfrac{3}{2} \]

Ecuación de \(L_2\) usando la forma punto-pendiente en \((1, \dfrac{8}{3})\): \[ y - \dfrac{8}{3} = -\dfrac{3}{2}(x - 1) \] Simplificada: \[ y = -\dfrac{3}{2}x + \dfrac{25}{6} \]

Pregunta 5

¿Son las dos rectas \( L_1 \) que pasa por los puntos \( (-1, 4) \) y \( (0, 4) \), y \( L_2 \) que pasa por los puntos \( (5, 6) \) y \( (5, 2) \), paralelas, perpendiculares o ninguna? Explica tu respuesta.

Solución:

Pendiente de \( L_1 = \dfrac{4 - 4}{0 - (- 1)} = 0 \), por lo tanto \( L_1 \) es horizontal.
Pendiente de \( L_2 = \dfrac{2 - 6}{5 - 5} = \dfrac{-4}{0} \) es indefinida, por lo tanto \( L_2 \) es vertical.
Por consiguiente, las dos rectas son perpendiculares.

Pregunta 6

Halla todos los valores de la constante \( K \) para que la desigualdad \( 5(x - K + 2) \geq 2(x + 4) - 7 \) tenga un conjunto solución dado por el intervalo \([10, +\infty)\).

Solución:

Resuelve la desigualdad dada \[ 5(x - K + 2) \geq 2(x + 4) - 7 \] para obtener el conjunto solución \[ x \geq -3 + \dfrac{5K}{3} \] Para que el conjunto solución anterior sea igual al conjunto \([10, +\infty)\), necesitamos tener \[ -3 + \dfrac{5K}{3} = 10 \] Resolviendo lo anterior para \(K\) se obtiene \[ K = \dfrac{39}{5} \]

Pregunta 7

Linda caminó durante \(2\) horas y luego corrió durante \(1\) hora. Si corre tres veces más rápido de lo que camina y el recorrido total fue de \(20\) kilómetros, ¿cuál es la velocidad al correr de Linda?

Solución:

Sea \( x \) la velocidad al caminar (en km/h). Entonces, la velocidad al correr es \( 3x \).

La distancia caminada es \( 2 \times x = 2x \) kilómetros, y la distancia recorrida corriendo es \( 1 \times 3x = 3x \) kilómetros.

La distancia total es 20 km. Por lo tanto, tenemos la ecuación: \[ 2x + 3x = 20 \] Resolviendo para \( x \): \[ 5x = 20 \implies x = 4 \text{ km/h} \] Por lo tanto, la velocidad al correr de Linda es: \[ 3x = 3 \times 4 = 12 \text{ km/h} \]

Pregunta 8

Cada par de las tres rectas definidas por sus ecuaciones \( y = \dfrac{1}{2}x - 1 \), \( y = 2x + 2 \), y \( y = -x + 2 \) tiene un punto de intersección de modo que, en conjunto, hay tres puntos de intersección formando un triángulo \( ABC \).

Muestra que el triángulo \( ABC \) es isósceles.

Solución:

Sea \( A \) el punto de intersección de las rectas: \[ y = \dfrac{1}{2}x - 1 \quad \text{y} \quad y = 2x + 2. \] Resuelve el sistema de ecuaciones formado por estas dos rectas para hallar \( A \).

\[ \dfrac{1}{2}x - 1 = 2x + 2 \] Resuelve para \( x \): \[ \dfrac{1}{2}x - 1 = 2x + 2 \implies \dfrac{1}{2}x - 2x = 2 + 1 \implies -\dfrac{3}{2}x = 3 \implies x = -2. \] Sustituye \( x = -2 \) en una de las ecuaciones: \[ y = 2(-2) + 2 = -4 + 2 = -2. \] Por lo tanto, \[A = (-2, -2).\]

Sea \( B \) el punto de intersección de las rectas: \[ y = \dfrac{1}{2}x - 1 \quad \text{y} \quad y = - x + 2. \] Resuelve el sistema de ecuaciones formado por estas dos rectas para hallar \( B \).

\[ \dfrac{1}{2}x - 1 = -x + 2 \] \[ \dfrac{1}{2}x + x = 2 + 1 \implies \dfrac{3}{2}x = 3 \implies x = 2. \] \[ y = \dfrac{1}{2}(2) - 1 = 1 - 1 = 0. \] \[ B = (2, 0). \]

Sea \( C \) el punto de intersección de las rectas: \[ y = -x + 2 \quad \text{y} \quad y = 2x + 2. \] Resuelve el sistema de ecuaciones formado por estas dos rectas para hallar \( C \).

\[ -x + 2 = 2x + 2 \implies -x - 2x = 2 - 2 \implies -3x = 0 \implies x = 0. \] \[ y = 2(0) + 2 = 2. \] \[ C = (0, 2). \]

La fórmula de distancia para los puntos \( (x_1, y_1) \text{ y } (x_2, y_2) \) viene dada por: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. \]

Longitud del segmento AB: \[ AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}. \]

Longitud del segmento AC: \[ AC = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}. \]

Longitud del segmento BC: \[ BC = \sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}. \]

Dado que \( AB = AC = 2\sqrt{5} \), el triángulo \( ABC \) es isósceles.

Más Referencias y Enlaces