Esta página presenta un conjunto cuidadosamente seleccionado de problemas de álgebra intermedia diseñados para fortalecer tu comprensión de conceptos clave como ecuaciones, notación científica y resolución de problemas. Cada problema viene con soluciones detalladas, paso a paso, para ayudar a estudiantes y educadores a dominar las habilidades de álgebra intermedia de manera efectiva.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: \[ \begin{cases} - \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 0 \\ x + 6y = 16 \end{cases} \]
Primero multiplicamos todos los términos de la primera ecuación por el MCM de 2 y 3, que es 6. \[ 6\left(-\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3}\right) = 6(0) \] Simplificamos \[ -3x + 2y = 0 \]
Luego resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones equivalente:
\[ \begin{aligned} -3x + 2y &= 0 \\ x + 6y &= 16 \end{aligned} \]Resolviendo este sistema se obtiene la solución: \[ x = \dfrac{8}{5}, \quad y = \dfrac{12}{5} \]
¿Cuántas soluciones reales tiene cada ecuación cuadrática que se muestra a continuación?
Encuentra el discriminante de cada ecuación.
¿Representan los datos en la tabla a continuación \( y \) como una función de \( x \)? Explica.
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline \textbf{x} & \textbf{y} \\ \hline -2 & 4 \\ 3 & 6 \\ -5 & 4 \\ 6 & 12 \\ 7 & 16 \\ 0 & 34 \\ \hline \end{array} \]Sí, estos datos representan \( y \) como una función de \( x \) porque cada valor de entrada \( x \) está emparejado con exactamente un valor de salida \( y \). Aunque algunos valores de \( y \) se repiten, por ejemplo \( y = 4 \) aparece dos veces. Lo que importa es que ningún valor de \( x \) se asigna a más de un \( y \). Por lo tanto, la relación satisface la definición de una función.
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática. \[ 0.01 x^{2} - 0.1 x - 0.3 = 0 \]
Multiplica todos los términos de la ecuación por 100 para obtener una ecuación equivalente con coeficientes enteros. \[ x^2 - 10x - 30 = 0 \] Discriminante: \[ \Delta = (-10)^2 - 4(1)(-30) = 100 + 120 = 220 \] Soluciones: \[ x = \dfrac{-(-10) \pm \sqrt{220}}{2(1)} = \dfrac{10 \pm 2\sqrt{55}}{2} = 5 \pm \sqrt{55} \]
En una cafetería, 3 cafés y 4 donas cuestan \( \$10.05 \). En la misma cafetería, 5 cafés y 7 donas cuestan \( \$17.15 \). ¿Cuánto tienes que pagar por 4 cafés y 6 donas?
Sea \( x \) el precio de un café y \( y \) el precio de una dona.
Ahora usamos "3 cafés y 4 donas cuestan \$10.05" para escribir la ecuación:
\[ 3x + 4y = 10.05 \]Y usamos "5 cafés y 7 donas cuestan \$17.15" para escribir la ecuación:
\[ 5x + 7y = 17.15 \]Restando la primera ecuación de la segunda:
\[ (5x + 7y) - (3x + 4y) = 17.15 - 10.05 \] \[ 2x + 3y = 7.10 \]Multiplica todos los términos de la ecuación por 2:
\[ 4x + 6y = 14.2 \]Por lo tanto, 4 cafés y 6 donas cuestan \$14.20.
Encuentra la pendiente de las rectas que pasan por los puntos dados e indica si cada recta es vertical, horizontal o ninguna de las dos.
Encuentra cuatro números enteros pares consecutivos cuya suma sea \( 388 \).
Sean \( x,\, x + 2,\, x + 4,\, \text{y } x + 6 \) cuatro enteros pares consecutivos.
Su suma es \( 388 \), por lo tanto la ecuación: \[ x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) = 388 \]
Agrupamos términos semejantes: \[ 4x + 12 = 388 \] \[ 4x = 388 - 12 = 376 \]
Resolvemos la ecuación: \[ x = \dfrac{376}{4} = 94 \]
Los cuatro números son: \( 94,\, 96,\, 98,\, 100 \).
Verificamos la suma:
\[ 94 + 96 + 98 + 100 = 388 \]
Yendo a un viaje largo, Thomas condujo durante 2 horas y almorzó. Después del almuerzo condujo durante 3 horas más a una velocidad que es \( 20 \; \text{km/hora} \) mayor que antes del almuerzo. La distancia total del viaje fue de \( 460 \; \text{km} \).
¿Cuál fue su velocidad después del almuerzo?
Sea \( x \) la velocidad antes del almuerzo (en km/h). Entonces la distancia recorrida antes del almuerzo es \( 2x \) km.
Después del almuerzo, la velocidad es 20 km/h mayor que antes del almuerzo, por lo tanto es \( x + 20 \). La distancia recorrida después del almuerzo es \( 3(x + 20) \) km.
La distancia total recorrida es de 460 km. Por lo tanto, la ecuación es:
\[ 2x + 3(x + 20) = 460 \]
Resolvemos la ecuación:
\[ \begin{align*} 2x + 3(x + 20) &= 460 \\ 2x + 3x + 60 &= 460 \\ 5x + 60 &= 460 \\ 5x &= 400 \\ x &= 80 \end{align*} \]
Entonces, la velocidad antes del almuerzo es \( {80} \) km/h y su velocidad después del almuerzo es \( \boxed{80+20} = 100 \) km/h .
Compara las siguientes expresiones:
Primero simplificamos cada expresión.
Las tres expresiones se simplifican al mismo valor.
Evalúa y convierte a notación científica. \[ (3.4 \times 10^{11})(5.4 \times 10^{-3}) \]