Práctica de Álgebra Intermedia: Funciones, Dominio,
Rango y Funciones Pares con Soluciones - Muestra 4

Esta página ofrece una colección de problemas de álgebra intermedia que cubren temas clave como funciones, dominio, rango, puntos colineales, ceros de funciones e intersecciones con los ejes x e y, con respuestas detalladas. También se proporcionan soluciones y explicaciones detalladas.

Pregunta 1

¿Cuál de estas funciones es par?

  1. \( f(x) = -x^2 + 7 \)
  2. \( g(x) = |x - 6| \)
  3. \( h(x) = x^3 + 9 \)
  4. \( j(x) = |x| + 1 \)
Solución:

Si una función dada \( f \) es tal que \( f(-x) = f(x) \), entonces \( f \) es una función par.

  1. \( f(x) = -x^2 + 7 \),
    \( f(-x) = -(-x)^2 + 7 = -x^2 + 7 \).
    La función \( f \) es una función par.
  2. \( g(x) = |x - 6| \),
    \( g(-x) = |-x - 6| = |-(x + 6)| = |x + 6| \).
    La función \( g \) no es par.
  3. \( h(x) = x^3 + 9 \),
    \( h(-x) = (-x)^3 + 9 = -x^3 + 9 \).
    La función \( h \) no es par.
  4. \( j(x) = |x| + 1 \),
    \( j(-x) = |-x| + 1 = |x| + 1 \).
    La función \( j \) es par.

Pregunta 2

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa \( y \) como una función de \( x \)?

  1. \( x^2 + y = 5 \)
  2. \( x^2 - 7x + y^2 = 0 \)
  3. \( x^2 - y^3 - 9 = 0 \)
  4. \( |x| - |y| = 0 \)
Solución:
  1. Resolviendo para \( y \) encontramos: \[ y = 5 - x^2 \] Para cada valor de \( x \), hay solo un valor correspondiente de \( y \). Por lo tanto, \( y \) es una función de \( x \).
  2. Resolviendo para \( y \) encontramos: \[ y = \pm \sqrt{7x - x^2} \] Hay valores de \( x \) que dan dos valores de \( y \) y por lo tanto \( y \) no es una función de \( x \).
  3. Resolviendo para \( y \) encontramos: \[ y^3 = (x^2 - 9)^{\dfrac{1}{3}} \] Para cada valor de \( x \), hay un valor de \( y \) y por lo tanto \( y \) es una función de \( x \).
  4. Resolviendo para \( y \) encontramos: \[ y = \pm x \] Hay valores de \( x \) que dan dos valores de \( y \) y por lo tanto \( y \) no es una función de \( x \).

Pregunta 3

¿Qué conjunto de pares ordenados representa una función?

  1. \( A = \{ (a , 3), (b , 5), (c , 9), (d , 9) \} \)
  2. \( B = \{ (a , -3), (b , 6), (c , 1), (b , 9) \} \)
  3. \( C = \{ (a , 3), (b , 3), (c , 3), (d , 3) \} \)
  4. \( D = \{ (a , 5), (a , -9), (a , 0), (a , 12) \} \)
Solución:
  1. Para cada \( x \) (primer valor) corresponde solo un valor de \( y \) (segundo valor), por lo tanto la Relación A es una función.

  2. Los dos pares \((b, 6)\) y \((b, 9)\) significan que para \( x = b \), hay dos valores diferentes de \( y \): 6 y 9, por lo tanto la Relación B no es una función.

  3. Para cada valor de \( x \) corresponde solo un valor de \( y \), por lo tanto la Relación C es una función.

  4. Para \( x = a \), \( y \) tiene diferentes valores, por lo tanto la Relación D no es una función.

Pregunta 4

Encuentra el dominio de cada función.

  1. \( f(x) = \dfrac{1}{x - 2} \)
  2. \( g(x) = \sqrt{x + 5} \)
  3. \( h(x) = \dfrac{3}{\sqrt{x - 4}} \)
  4. \( j(x) = \dfrac{1}{(x + 1)(x - 7)} \)
Solución:
  1. \( f(x) = \dfrac{1}{x - 2} \), la división por cero no está permitida, por lo tanto \( x - 2 \neq 0 \).

    Dominio: \((-\infty, 2) \cup (2, +\infty)\)

  2. \( g(x) = \sqrt{x + 5} \), para que \( g(x) \) sea real, \( x \) debe satisfacer la desigualdad: \[ x + 5 \geq 0 \] que puede escribirse como: \[ x \geq -5 \]
    Dominio: \([ -5, +\infty )\)

  3. \( h(x) = \dfrac{3}{\sqrt{x - 4}} \), para que \( h(x) \) sea real, \( x \) debe satisfacer la desigualdad: \( x - 4 > 0 \).
    que puede escribirse como: \[ x > 4 \]
    Dominio: \((4, +\infty)\)

  4. \( j(x) = \dfrac{1}{(x + 1)(x - 7)} \), la división por cero no está permitida, por lo tanto \( x \neq -1 \) y \( x \neq 7 \).

    Dominio: \((-\infty, -1) \cup (-1, 7) \cup (7, +\infty)\)

Pregunta 5

Encuentra los ceros de cada función.

  1. \( f(x) = 3 - \dfrac{5}{x} \)
  2. \( g(x) = \sqrt{x - 1} \)
  3. \( h(x) = |x - 9| - 4 \)
  4. \( i(x) = |x - 9| + 7 \)
  5. \( j(x) = x^2 - 16 \)
  6. \( k(x) = x^2 + 3 \)
Solución:

Los ceros de una función dada f son las soluciones de la ecuación \( f(x) = 0 \).

  1. \( f(x) = 3 - \dfrac{5}{x} \)
    Igualamos \( f(x) = 0 \): \[ 3 - \dfrac{5}{x} = 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{5}{x} = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{5}{3} \]
    Cero en \( x = \dfrac{5}{3} \)
  2. \( g(x) = \sqrt{x - 1} \)
    Igualamos \( g(x) = 0 \): \[ \sqrt{x - 1} = 0 \quad \Rightarrow \quad x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \]
    Cero en \( x = 1 \)
  3. \( h(x) = |x - 9| - 4 \)
    Igualamos \( h(x) = 0 \): \[ |x - 9| - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad |x - 9| = 4 \]
    Esto da: \[ x - 9 = 4 \Rightarrow x = 13, \quad x - 9 = -4 \Rightarrow x = 5 \]
    Ceros en \( x = 5 \) y \( x = 13 \)
  4. \( i(x) = |x - 9| + 7 \)
    Igualamos \( i(x) = 0 \): \[ |x - 9| + 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad |x - 9| = -7 \]
    Sin solución, ya que el valor absoluto no puede ser negativo.
    Sin ceros
  5. \( j(x) = x^2 - 16 \)
    Igualamos \( j(x) = 0 \): \[ x^2 - 16 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 4 \]
    Ceros en \( x = -4 \) y \( x = 4 \)
  6. \( k(x) = x^2 + 3 \)
    Igualamos \( k(x) = 0 \): \[ x^2 + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = -3 \]
    Sin solución real ya que \( x^2 \geq 0 \) para todos los números reales.
    Sin ceros reales

Pregunta 6

Encuentra el rango de cada función.

  1. \( f(x) = x^2 \)
  2. \( g(x) = |x| \)
  3. \( h(x) = x^2 + 6 \)
  4. \( j(x) = |x| + 2 \)
Solución:

El rango de una función dada \( f \) es el conjunto de valores de \( f(x) \) para todos los \( x \) en el dominio de \( f \).

  1. \( f(x) = x^2 \).
    El cuadrado de cualquier número real \( x \) es positivo o cero, con igualdad cuando \( x = 0 \). Por lo tanto, \[ x^2 \geq 0 \Rightarrow f(x) \geq 0 \].
    Rango: \( [0, +\infty) \)
  2. \( g(x) = |x| \).
    El valor absoluto de un número real es siempre no negativo, con igualdad cuando \( x = 0 \). Por lo tanto, \[ |x| \geq 0 \Rightarrow g(x) \geq 0 \].
    Rango: \( [0, +\infty) \)
  3. \( h(x) = x^2 + 6 \).
    Ya que \( x^2 \geq 0 \), sumando 6 a ambos lados da: \[ x^2 + 6 \geq 6 \Rightarrow h(x) \geq 6 \].
    Rango: \( [6, +\infty) \)
  4. \( j(x) = |x| + 2 \).
    Ya que \( |x| \geq 0 \), sumando 2 a ambos lados da: \[ |x| + 2 \geq 2 \Rightarrow j(x) \geq 2 \].
    Rango: \( [2, +\infty) \)

Pregunta 7

Sean \( f(x) = 2x^2 - 4x + 4 \) y \( h(x) = 2x - 4 \). Evalúa:

  1. \( f(2) \)
  2. \( h(5) \)
  3. \( f(3) + h(3) \)
Solución:

Sean \( f(x) = 2x^2 - 4x + 4 \) y \( h(x) = 2x - 4 \).

  1. \( f(2) = 2(2)^2 - 4(2) + 4 = 4 \)
  2. \( h(5) = 2(5) - 4 = 6 \)
  3. \( f(3) + h(3) = 2(3)^2 - 4(3) + 4 + 2(3) - 4 = 12 \)

Pregunta 8

Encuentra las intersecciones con los ejes x e y de las gráficas de las siguientes ecuaciones.

  1. \( 2x + 4y = 5 \)
  2. \( x^2 + (y - 3)^2 = 9 \)
  3. \( |x - 3| + |5 - y| = 6 \)
Solución:
  1. \( 2x + 4y = 5 \). Para encontrar la intersección con el eje x, igualamos \( y = 0 \) en la ecuación dada y resolvemos para \( x \).

    \( 2x + 4(0) = 5 \Rightarrow x = \dfrac{5}{2} \), así que la intersección con el eje x es \( \left( \dfrac{5}{2}, 0 \right) \).

    Para encontrar la intersección con el eje y, igualamos \( x = 0 \) en la ecuación y resolvemos para \( y \).

    \( 2(0) + 4y = 5 \Rightarrow y = \dfrac{5}{4} \), así que la intersección con el eje y es \( \left( 0, \dfrac{5}{4} \right) \).
  2. \( x^2 + (y - 3)^2 = 9 \)

    Igualamos \( y = 0 \) y resolvemos para \( x \): \( x^2 + (0 - 3)^2 = 9 \Rightarrow x^2 + 9 = 9 \Rightarrow x = 0 \)
    Intersección con el eje x: \( (0, 0) \)

    Igualamos \( x = 0 \) y resolvemos para \( y \): \( 0^2 + (y - 3)^2 = 9 \Rightarrow (y - 3)^2 = 9 \Rightarrow y - 3 = \pm3 \Rightarrow y = 0 \) o \( y = 6 \)
    Intersecciones con el eje y: \( (0, 0) \) y \( (0, 6) \)
  3. \( |x - 3| + |5 - y| = 6 \)

    Igualamos \( y = 0 \): \( |x - 3| + |5 - 0| = 6 \Rightarrow |x - 3| + 5 = 6 \Rightarrow |x - 3| = 1 \Rightarrow x - 3 = \pm1 \Rightarrow x = 4 \) o \( x = 2 \)
    Intersecciones con el eje x: \( (4, 0) \) y \( (2, 0) \)

    Igualamos \( x = 0 \): \( |0 - 3| + |5 - y| = 6 \Rightarrow 3 + |5 - y| = 6 \Rightarrow |5 - y| = 3 \Rightarrow 5 - y = \pm3 \Rightarrow y = 2 \) o \( y = 8 \)
    Intersecciones con el eje y: \( (0, 2) \) y \( (0, 8) \)

Pregunta 9

Encuentra la función lineal \( f(x) = A x + B \) tal que \( f(2) = 1 \) y \( f(4) = -3 \).

Solución:

Nos dan la función: \( f(x) = Ax + B \), y los valores \( f(2) = 1 \) y \( f(4) = -3 \).

Usando \( f(2) = 1 \), sustituimos en la función: \[ 1 = 2A + B \]

Usando \( f(4) = -3 \), sustituimos en la función: \[ -3 = 4A + B \]

Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones: \[ \begin{cases} 1 = 2A + B \\ -3 = 4A + B \end{cases} \]

Restamos la primera ecuación de la segunda: \[ (-3) - 1 = (4A + B) - (2A + B) \Rightarrow -4 = 2A \Rightarrow A = -2 \]

Sustituimos \( A = -2 \) en la primera ecuación: \[ 1 = 2(-2) + B \Rightarrow 1 = -4 + B \Rightarrow B = 5 \]

Por lo tanto, la función es: \[ f(x) = -2x + 5 \]

Pregunta 10

Encuentra la constante \( b \) para que los tres puntos \( A(2, 3),\ B(4, 7), \text{ y } C(8, b) \) sean colineales (es decir, estén en la misma línea).

Solución:

La pendiente de la línea a través de los puntos \( A \) y \( B \) debe ser igual a la pendiente de la línea a través de los puntos \( B \) y \( C \).

Usamos la condición de igualdad de pendientes:
\[ \dfrac{7 - 3}{4 - 2} = \dfrac{b - 7}{8 - 4} \]

Simplificamos:
\[ 2 = \dfrac{b - 7}{4} \]

Resolvemos para \( b \):
\[ 2 \times 4 = b - 7 \implies 8 = b - 7 \implies b = 15 \]

Más Referencias y Enlaces

  1. Preguntas y problemas de álgebra
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