Domina el Álgebra Intermedia: Ecuaciones de Rectas
Problemas de Práctica y Soluciones Detalladas
Se presenta un conjunto de problemas de álgebra intermedia, relacionados con ecuaciones de rectas, con respuestas. Las soluciones se encuentran al final de la página.
Explora un conjunto completo de problemas de práctica de álgebra intermedia centrados en ecuaciones de rectas. Cada problema viene acompañado de una solución clara y paso a paso, diseñada para mejorar tu comprensión de las ecuaciones lineales, la representación gráfica y la geometría de coordenadas.
Pregunta 1
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto \( (0 , -6) \) y tiene una pendiente igual a \( 5 \).
Dada la pendiente de \( 5 \) y la intersección con el eje y en \( (0 , -6) \), la forma pendiente-intersección de la ecuación es: \[ y = 5x - 6 \]
Pregunta 2
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto \( (-2 , 3) \) y tiene una pendiente igual a \( -2 \).
Dada una pendiente de \( -2 \) y el punto \( (-2 , 3) \), la forma punto-pendiente de la ecuación es: \[ y - 3 = -2(x - (- 2)) \] \[ y - 3 = -2 (x+2) \] o en forma pendiente-intersección: \[ y = - 2x - 1 \]
Pregunta 3
¿Existe una recta que pase por todos los siguientes puntos: \( A(2 , 3), B(4 , 7) \; \text{y} \; C(5 , 6) \)?
Para que una recta pase por los 3 puntos, estos deben ser colineales.
Pendiente a través de AB \[ m_{AB} = \dfrac{7 - 3}{4 - 2} = 2 \] y pendiente a través de BC \[ m_{BC} = \dfrac{6 - 7}{5 - 4} = -1 \]
Las pendientes a través de \( AB \) y \( BC \) no son iguales. Por lo tanto, \( A \), \( B \) y \( C \) no son colineales, y ninguna recta única pasa por los 3 puntos.
Pregunta 4
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto \( (3 , 0) \) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos \( (2 , 1) \; \text{y} \; (4 , 5) \).
Primero encontramos la pendiente \( m \) a través de los puntos \((2, 1)\) y \((4, 5)\). \[ m = \dfrac{5 - 1}{4 - 2} = 2 \]
La pendiente \( s \) de la recta perpendicular a una recta de pendiente \( 2 \) se encuentra resolviendo: \[ m \times s = -1 \] Por lo tanto, \[ s = -\dfrac{1}{2} \]
La forma punto-pendiente de la ecuación de la recta que pasa por el punto \( (3 , 0) \) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos \( (2 , 1) \; \text{y} \; (4 , 5) \) está dada por \[ y - 0 = -\dfrac{1}{2}(x - 3) \] o equivalentemente \[ y = -\dfrac{1}{2} x + \dfrac{3}{2} \]
Pregunta 5
¿Cuáles son los valores de \( m \) y \( w \) para que la recta con ecuación \( y - m x = w \) pase por los puntos \( (0 , 4) \; \text{y} \; (2 , 0) \)?
La recta con ecuación \[ y - mx = w \] pasa por el punto \( (0, 4) \). Sustituye \( x = 0 \) y \( y = 4 \) en la ecuación para obtener: \[ 4 - m \cdot 0 = w \] Resuelve para \( w \): \[ w = 4 \] La recta con ecuación \[ y - mx = w \] también pasa por el punto \( (2, 0) \). Sustituye \( x = 2 \) y \( y = 0 \) en la ecuación para obtener: \[ 0 - 2m = w \] Resuelve para \( m \): \[ m = \dfrac{w}{-2} = \dfrac{4}{-2} = -2 \]
Pregunta 6
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto \( (-4 , 5) \) y es perpendicular al eje x.
La ecuación de una recta perpendicular al eje x es paralela al eje y y es de la forma: \[ x = \text{constante} \].
La ecuación de una recta paralela al eje y y que pasa por el punto \((-4,\, 5)\) es: \[ x = -4 \].
Pregunta 7
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto \( (6 , -1) \) y es perpendicular al eje y.
La ecuación de una recta perpendicular al eje \( y \) es paralela al eje \( x \) y es de la forma: \[ y = \text{constante} \,.\]
La ecuación de una recta paralela al eje \( x \) y que pasa por el punto \( (6, -1) \) es: \[ y = -1 \,.\]
Pregunta 8
La gráfica que se muestra a continuación es la de una función lineal \( f \). Usa la gráfica para aproximar \( f(120) \).
.
La función \( f \) es lineal y pasa por el origen. Tiene la forma: \[ f(x) = m x \] donde \( m \) es una constante que representa la pendiente de la recta como se muestra en la gráfica. Para encontrar la pendiente \( m \), usamos los puntos \( (0, 0) \) y \( (4, 1) \) de la gráfica: \[ m = \dfrac{1 - 0}{4 - 0} = \dfrac{1}{4} \] Ahora calculamos el valor de \( f(120) \): \[ f(120) = \dfrac{1}{4} \cdot 120 = 30 \]
Pregunta 9
¿Es la recta con ecuación \( 0.5 y + 0.5 x = 5 \) perpendicular a la recta mostrada en la gráfica siguiente? Explica tu respuesta.
.
Escribe la ecuación \( 0.5y + 0.5x = 5 \) en la forma pendiente-intersección y encuentra su pendiente. \[ 0.5y = -0.5x + 5 \Rightarrow y = -x + 10 \] pendiente \[ m = -1 \].
La pendiente de la recta dada por su gráfica es \( \dfrac{1}{4} \).
Para que dos rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser igual a \( -1 \).
Está claro que el producto de \( -1 \) y \( \dfrac{1}{4} \) no es igual a \( -1 \) y por lo tanto la recta con ecuación \( 0.5y + 0.5x = 5 \) no es perpendicular a la recta dada por su gráfica.
Pregunta 10
Si las dos rectas con ecuaciones \( 2x - 3y = 5 \) y \( -4x + 5y = 7 \) se grafican en el mismo sistema de ejes, ¿tendrán un punto de intersección? Si es así, ¿cuáles son sus coordenadas?
El punto de intersección (si lo hay) de las dos rectas es la solución del sistema de ecuaciones: \[ \begin{cases} 2x - 3y = 5 \\ -4x + 5y = 7 \end{cases} \]
Multiplica todos los términos de la ecuación \( 2x - 3y = 5 \) por 2 para obtener: \[ 4x - 6y = 10 \]
Ahora súmalo a la ecuación \( -4x + 5y = 7 \): \[ (4x - 6y) + (-4x + 5y) = 10 + 7 \] \[ -y = 17 \quad \Rightarrow \quad y = -17 \]
Sustituye \( y = -17 \) en una de las ecuaciones originales, por ejemplo \( 2x - 3y = 5 \): \[ 2x - 3(-17) = 5 \quad \Rightarrow \quad 2x + 51 = 5 \quad \Rightarrow \quad 2x = -46 \quad \Rightarrow \quad x = -23 \]
Las dos rectas se intersecan en el punto: \[ (-23, -17) \]
Pregunta 11
Encuentra las ecuaciones de dos rectas perpendiculares con un punto de intersección en \( (2 , -3) \) y una de las rectas pasa por el origen del sistema de ejes.
La recta que pasa por los puntos \( (2, -3) \) y el origen \( (0, 0) \) tiene pendiente \[ m = \dfrac{-3}{2} \]
Su ecuación es: \[ y = \dfrac{-3}{2}x \]
La segunda recta es perpendicular a la recta con pendiente \( -\dfrac{3}{2} \). Su pendiente \( s \) se encuentra resolviendo la ecuación:
\[ \left(-\dfrac{3}{2}\right)s = -1 \quad \Rightarrow \quad s = \dfrac{2}{3} \]La segunda recta tiene pendiente \( \dfrac{2}{3} \) y pasa por el punto \( (2, -3) \). Su ecuación es:
\[ y - (-3) = \dfrac{2}{3}(x - 2) \quad \text{o} \quad y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{13}{3} \]Pregunta 12
Encuentra las ecuaciones de una recta que pasa por el origen y es tangente al círculo con centro en \( (2 , 4) \) y radio igual a \( 1 \).
Tenemos un círculo con centro en \( (2, 4) \) y radio \( 1 \). Necesitamos encontrar las ecuaciones de todas las rectas que:
- Pasan por el origen \((0, 0)\), y
- Son tangentes al círculo.
Paso 1: Ecuación de la Recta
Una recta que pasa por el origen tiene la forma: \[ y = kx \]
Paso 2: Ecuación del Círculo
La ecuación del círculo con centro \( (2, 4) \) y radio \( 1 \) es: \[ (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 1 \]
Paso 3: Sustituir \( y = kx \) en la ecuación del Círculo
\[ (x - 2)^2 + (kx - 4)^2 = 1 \] Expande ambos términos: \[ x^2 - 4x + 4 + k^2x^2 - 8kx + 16 = 1 \] Combina términos semejantes: \[ (1 + k^2)x^2 + (-4 - 8k)x + 19 = 0 \]
Paso 4: Condición de Tangencia
La recta es tangente al círculo si esta ecuación cuadrática tiene exactamente una solución real, por lo tanto, el discriminante debe ser cero: \[ \Delta = (-4 - 8k)^2 - 4(1 + k^2)(19) \] Simplifica: \[ \Delta = -12k^2 + 64k - 60 \] Iguala \( \Delta = 0 \): \[ -12k^2 + 64k - 60 = 0 \]
Paso 5: Resolver la Ecuación Cuadrática en \( k \)
Divide la ecuación por 4: \[ -3k^2 + 16k - 15 = 0 \] Usa la fórmula cuadrática: \[ k = \dfrac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4(-3)(-15)}}{2(-3)} = \dfrac{-16 \pm \sqrt{256 - 180}}{-6} \] \[ k = \dfrac{-16 \pm \sqrt{76}}{-6} = \dfrac{-16 \pm 2\sqrt{19}}{-6} \] \[ k = \dfrac{16 \mp 2\sqrt{19}}{6} = \dfrac{8 \mp \sqrt{19}}{3} \]
Paso 6: Ecuaciones Finales de las Rectas
Por lo tanto, las dos rectas que pasan por el origen y son tangentes al círculo son: \[ y = \left( \dfrac{8 + \sqrt{19}}{3} \right)x \quad \text{y} \quad y = \left( \dfrac{8 - \sqrt{19}}{3} \right)x \]
Respuesta Final
\[ \boxed{ \begin{aligned} y &= \left( \dfrac{8 + \sqrt{19}}{3} \right)x \\ y &= \left( \dfrac{8 - \sqrt{19}}{3} \right)x \end{aligned} } \]
Pregunta 13
¿Cuáles de los puntos \( A(3 , 0) , B(-2 , -5), C(0 , 2) \) se encuentran en la gráfica de la recta cuya ecuación es \[ - 3y + 2x + 6 = 0 \]?
Para que un punto se encuentre en la gráfica de una recta, sus coordenadas \(x \) e \(y \) deben satisfacer la ecuación de la recta.
Verifica cada punto sustituyendo las coordenadas \(x \) e \(y \):
Verificar punto: \( A(3, 0) \) : \[ -3(0) + 2(3) - 6 = 0 \] La ecuación se cumple, el punto \( A \) se encuentra en la recta.
Verificar punto: \( B(-2, -5) \) : \[ -3(-5) + 2(-2) - 6 = 15 - 4 - 6 = 5 \] La ecuación no se cumple, el punto \( B \) no se encuentra en la recta.
Verificar punto: \( C(0, 2) \) : \[ -3(2) + 2(0) - 6 = -6 - 0 - 6 = -12 \] La ecuación no se cumple, el punto \( C \) no se encuentra en la recta.