Álgebra Intermedia: Ecuaciones Lineales, Pendientes
y Aplicaciones Prácticas con Soluciones Paso a Paso

1. Resuelve la ecuación para \( y \): \[ y = \dfrac{-2}{3}x + \dfrac{2}{3} \] \[ \text{Pendiente} = \dfrac{-2}{3} \]
2. La pendiente de una recta horizontal como \( y = 2 \) es igual a \( 0 \).
3. La pendiente de una recta vertical como \( x = 4 \) es indefinida.

1. Pendiente: \( \dfrac{4 - 1}{3 - 2} = \dfrac{3}{1} = 3 \)
2. Pendiente: \( \dfrac{-4 - (-4)}{5 - 3} = \dfrac{0}{2} = 0 \), la recta que pasa por \( A(3, -4) \) y \( B(5, -4) \) es una recta horizontal.
3. Pendiente: \( \dfrac{-7 - (-6)}{2 - 2} = \dfrac{-1}{0} \), lo cual es indefinido. La recta que pasa por \( A(2, -6) \) y \( B(2, -7) \) es una recta vertical.

1. Reescribe en forma pendiente-ordenada al origen \(y = mx + b\): \[ -3y = -5x - 3 \implies y = \dfrac{5}{3}x + 1 \] Pendiente de la recta dada: \[ m = \dfrac{5}{3} \] Por lo tanto, la pendiente de las rectas paralelas a ella es: \[ \boxed{\dfrac{5}{3}} \]
2. Reescribe la ecuación en forma pendiente-ordenada al origen: \[ -8y = 4x - 3 \implies y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{8} \] Pendiente de la recta dada: \[ m = -\dfrac{1}{2} \] La pendiente de rectas perpendiculares es el recíproco negativo: \[ m_{\perp} = -\dfrac{1}{ -\dfrac{1}{2}} = 2 \] Por lo tanto, la pendiente de las rectas perpendiculares a ella es: \[ \boxed{2} \]
3. Ecuación dada: \[x = 2\] Esta es una recta vertical, su pendiente es indefinida. Las rectas paralelas a las rectas verticales también son verticales, por lo tanto su pendiente es indefinida.
4. Ecuación dada: \[x = -9\] Esta es una recta vertical, su pendiente es indefinida. Las rectas perpendiculares a las rectas verticales son horizontales, pendiente = 0. Por lo tanto la pendiente de las rectas perpendiculares es: \[ \boxed{0} \]
5. Ecuación dada: \[y = 3\] Esta es una recta horizontal, pendiente = 0. Las rectas paralelas a las rectas horizontales tienen pendiente = 0. Por lo tanto la pendiente de las rectas paralelas a ella es: \[ \boxed{0} \]
6. Ecuación dada: \[x = 0\] Esta es una recta vertical (el eje y), su pendiente es indefinida. Las rectas perpendiculares a las rectas verticales son horizontales, pendiente = 0. Por lo tanto la pendiente de las rectas perpendiculares a ella es: \[ \boxed{0} \]

1. \( L_1 \) es una recta vertical y su pendiente es indefinida.
2. \( L_2 \) es una recta horizontal y su pendiente es igual a \( 0 \).
3. La pendiente de \( L_3 \) se puede encontrar usando la intersección con el eje \( x \) en \( (-4,0) \) y la intersección con el eje \( y \) en \( (0,4) \): \[ \text{pendiente} = \dfrac{4 - 0}{0 - (-4)} = 1 \]

La pendiente a través de los dos puntos está dada por: \[\dfrac{6 - 2}{k - 4}\] y es igual a \( -2 \) \[\dfrac{6 - 2}{k - 4} = - 2\] Simplifica: \[\dfrac{4}{k - 4} = - 2\] Lo que, mediante el producto cruzado, da \[ 4 = -2 (k - 4) \] Resuelve para \(k\) : \(k = 2\)

Escribe la ecuación \[2y + kx = 2\] en la forma pendiente-ordenada al origen y encuentra su pendiente \(m\). \[ 2y = -kx + 2 \] \[ y = -\dfrac{k}{2}x + \dfrac{1}{2} \] Pendiente \(m = -\dfrac{k}{2}\)

Escribe la ecuación \[3x - 2y = 6\] en la forma pendiente-ordenada al origen y encuentra su pendiente \(s\). \[ -2y = -3x + 6 \] \[ y = \dfrac{3}{2}x - 3 \] Pendiente \(s = \dfrac{3}{2}\)

Iguala las pendientes: \[ -\dfrac{k}{2} = \dfrac{3}{2} \] Resuelve la ecuación anterior para \(k\): \[ k = -3 \]

Escribe la ecuación \(-3y + 2x = 4\) en la forma pendiente-ordenada al origen y encuentra su pendiente \(m\).
\[ -3y = -2x + 4 \]
\[ y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{4}{3} \] Pendiente: \(m = \dfrac{2}{3}\)

Escribe la ecuación \(kx + 2y = 3\) en la forma pendiente-ordenada al origen y encuentra su pendiente \(s\).
\[ 2y = -kx + 3 \]
\[ y = -\dfrac{k}{2}x + \dfrac{3}{2} \]
Pendiente: \(s = -\dfrac{k}{2}\)

Las rectas perpendiculares cumplen: \[ m \times s = -1 \] Sustituye \(m\) y \(s\):
\[ \left(\dfrac{2}{3}\right) \times \left(-\dfrac{k}{2}\right) = -1 \] Resuelve para \(k\): \[ k = 3 \]

Sea \( t \) el número de años después de 2004; por lo tanto \( t = 0 \) en 2004. El consumo de petróleo \( C \) aumenta linealmente con el tiempo \( t \), lo que puede escribirse como: \[ C = mt + C_0 \]

En 2004 (correspondiente a \( t = 0 \)), tenemos \( C = 330 \). Por lo tanto, la ecuación se convierte en:

\[ 330 = m \cdot 0 + C_0 \quad \Rightarrow \quad C_0 = 330 \]

Así que la ecuación se convierte en: \[ C = mt + 330 \]

El año 2006 corresponde a \( t = 2006 - 2004 = 2 \), y \( C = 450 \). Sustituyendo en la ecuación:

\[ 450 = m \cdot 2 + 330 \] Resolviendo para \( m \): \[ m = \dfrac{450 - 330}{2} = 60 \] El año 2015 corresponde a \( t = 2015 - 2004 = 11 \); por lo tanto, el consumo en 2015 está dado por:

\[ C = 60 \cdot 11 + 330 = 990 \text{ miles de barriles por día} \]

Denotemos el gasto de hace dos años como: \[ S_0 = \$3000 \] El gasto del año pasado fue: \[ S_1 = \$3600 \] Por lo tanto, el incremento anual es: \[ \Delta S = S_1 - S_0 = 3600 - 3000 = \$600 \] Asumiendo un aumento lineal, el gasto de este año sería: \[ S_2 = S_1 + \Delta S = 3600 + 600 = \$4200 \] Gasto estimado para este año: \$4200

Usando la fórmula \( T_c = \dfrac{5}{9}(T_f - 32) \), un cambio de \( \Delta T_f \) en Fahrenheit, produce un cambio correspondiente en Celsius \( \Delta T_c \) dado por: \[ \Delta T_c = \dfrac{5}{9} \Delta T_f \] Sustituye \( \Delta T_f = 9 \): \[ \Delta T_c = \dfrac{5}{9} \times 9 = 5 \] Por lo tanto, la temperatura aumenta en 5 grados Celsius.

Usando la fórmula \( T_f = \dfrac{9}{5} T_c + 32 \), un cambio \( \Delta T_c \) en Celsius, produce un cambio correspondiente en Fahrenheit \( \Delta T_f \) dado por:

Sustituye \( \Delta T_c = 10 \): \[ \Delta T_f = \dfrac{9}{5} \times 10 = 18 \] La temperatura aumenta en \( \boxed{18} \) grados Fahrenheit.