Problemas de Álgebra Intermedia con Respuestas -
Muestra 8 - Expresiones de Valor Absoluto

Esta página presenta una guía completa para simplificar expresiones que involucran valor absoluto, con soluciones y explicaciones detalladas. Encontrarás ejemplos de simplificaciones numéricas y algebraicas usando las reglas del valor absoluto y raíces cuadradas. Las propiedades del valor absoluto se enumeran a continuación para guiar tu práctica.

Propiedades del Valor Absoluto

• \( |a| \geq 0 \) para cualquier número real \( a \)
• \( |-a| = |a| \)
• \( |a| = 0 \) si y solo si \( a = 0 \)
• \( |ab| = |a||b| \)
• \( \left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|},\ b \neq 0 \)
• \( |a + b| \leq |a| + |b| \) (Desigualdad Triangular)
• \( |a - b| \geq ||a| - |b|| \)
• \( \sqrt{a^2} = |a| \)

Problemas y Preguntas

1. Simplifica las siguientes expresiones numéricas con valor absoluto:

   1. \(|5| =\)
   2. \(|-6| =\)
   3. \(|-7 + 10| =\)
   4. \(|-2 - 9| =\)
   5. \(|10 - 20| - |-7| =\)
   6. \(|\pi - 4| - |2| =\)
   7. \(\left|- \dfrac{5}{3} - \dfrac{1}{2}\right| - \left| \dfrac{7}{9} - \dfrac{3}{2}\right| =\)
   8. \(|-1.5 - 3.9| - |-1.6| =\)

2. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas con valor absoluto:

   1. \(|x^2| =\)
   2. \(|x|^2 =\)
   3. \(||x|| =\)
   4. \(|x^2 + 4| =\)
   5. \(|-x^4 - 9| =\)
   6. \(|-|x| - 2| =\)
   7. \( \left| \dfrac{-x}{3} \right| = \)
   8. \(|-x^2 - y^2 + 2xy| =\)

3. Usa valor absoluto para simplificar las expresiones:

   1. \(\sqrt{x^2} =\)
   2. \(\sqrt{(x + 3)^2} =\)
   3. \(\sqrt{x^2 + 1 + 2x} =\)
   4. \(\sqrt{ \dfrac{25}{x^2}} =\)

Soluciones a los Problemas y Preguntas Anteriores

1. 1. \( |5| = 5 \)
   2. \( |-6| = 6 \)
   3. \( |-7 + 10| = |3| = 3 \)
   4. \( |-2 - 9| = |-11| = 11 \)
   5. \( |10 - 20| - |-7| = |-10| - |-7| = 10 - 7 = 3 \)
   6. \( |\pi - 4| - |2| = | -(\pi - 4)| - 2 = (4 - \pi) - 2 = 2 - \pi \)
   7. \( \left|- \dfrac{5}{3} - \dfrac{1}{2}\right| - \left| \dfrac{7}{9} - \dfrac{3}{2} \right| = \left| - \dfrac{13}{6} \right| - \left| - \dfrac{13}{18} \right| = \dfrac{13}{6} - \dfrac{13}{18} = \dfrac{13}{9} \)
   8. \( |-1.5 - 3.9| - |-1.6| = |-5.4| - 1.6 = 5.4 - 1.6 = 3.8 \)
2. 1. \( |x^2| = x^2 \)   (ya que \( x^2 \geq 0 \))
   2. \( |x|^2 = (|x|)^2 = x^2 \)
   3. \( ||x|| = |x| \)
   4. \( |x^2 + 4| = x^2 + 4 \)   (ya que \( x^2 + 4 \geq 0 \))
   5. \( |-x^4 - 9| = -(-x^4 - 9) = x^4 + 9 \)   (ya que la expresión interna es siempre negativa)
   6. \( | -|x| - 2| = -( -|x| - 2) = |x| + 2 \)   (ya que la expresión interna es siempre negativa)
   7. \( \left| \dfrac{-x}{3} \right| = \dfrac{|-x|}{|3|} = \dfrac{|x|}{3} \)
   8. \( |-x^2 - y^2 + 2xy| = |-(x^2 + y^2 - 2xy)| = |-(x - y)^2| = (x - y)^2 \)
3. 1. \( \sqrt{x^2} = |x| \)
      Explicación: La raíz cuadrada de un cuadrado es el valor absoluto de la base, porque \( \sqrt{x^2} \) siempre es no negativo, independientemente del signo de \( x \).
   2. \( \sqrt{(x + 3)^2} = |x + 3| \)
      Explicación: Similar al caso anterior, la raíz cuadrada de una expresión cuadrática como \( (x + 3)^2 \) es igual al valor absoluto de la base \( x + 3 \).
   3. \( \sqrt{x^2 + 1 + 2x} = \sqrt{(x + 1)^2} = |x + 1| \)
      Explicación: La expresión bajo la raíz cuadrada se simplifica: \[ x^2 + 1 + 2x = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2, \] y entonces \( \sqrt{(x + 1)^2} = |x + 1| \).
   4. \( \sqrt{ \dfrac{25}{x^2} } = \dfrac{5}{|x|} \)
      Explicación: La raíz cuadrada de una fracción es la raíz cuadrada del numerador dividida por la raíz cuadrada del denominador: \[ \sqrt{ \dfrac{25}{x^2} } = \dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{x^2}} = \dfrac{5}{|x|}. \] El valor absoluto en el denominador asegura que el resultado sea no negativo.

Más Referencias y Enlaces