Explora soluciones detalladas y explicaciones claras y paso a paso para las preguntas de álgebra intermedia que se encuentran en Set de Muestra 1. Esta guía está diseñada para ayudar a los estudiantes a profundizar su comprensión y dominar conceptos clave del álgebra.
Escribe 230,000,000,000 en notación científica.
Solución
Escribe el número en la forma \( a \times 10^n \), donde \( 1 \leq |a| \lt 10 \) y \( n \in \mathbb{Z} \).
\( 230{,}000{,}000{,}000 = 2.3 \times 10^{11} \)
Evalúa: \( 30 - 12 \div 3 \times 2 \)
Solución
Primero, realiza la división y multiplicación de izquierda a derecha:
\( 12 \div 3 \times 2 = 4 \times 2 = 8 \)
Luego: \( 30 - 8 = 22 \)
Evalúa: \( |4 - 8(3 - 12)| - |5 - 11| \)
Solución
Comienza con los paréntesis internos:
\( 3 - 12 = -9 \)
Luego: \( 8 \times (-9) = -72 \), entonces:
\( |4 - (-72)| = |76| = 76 \)
\( |5 - 11| = |-6| = 6 \)
Resultado final: \( 76 - 6 = 70 \)
Evalúa: \( -18 + 4(6 \div 2)^2 \)
Solución
\( 6 \div 2 = 3 \), luego eleva al cuadrado: \( 3^2 = 9 \)
\( 4 \times 9 = 36 \)
\( -18 + 36 = 18 \)
Evalúa: \( 11 + \sqrt{-4 + 6 \times 4 \div 3} \)
Solución
\( 6 \times 4 = 24 \), luego \( 24 \div 3 = 8 \)
\( -4 + 8 = 4 \), entonces \( \sqrt{4} = 2 \)
\( 11 + 2 = 13 \)
Simplifica: \( 12x^3 - 3(2x^3 + 4x -1) - 5x + 7 \)
Solución
Distribuye el -3:
\( 12x^3 - 6x^3 - 12x + 3 - 5x + 7 \)
Combina términos semejantes:
\( 6x^3 - 17x + 10 \)
Simplifica: \( \left( \dfrac{x^4}{x^3} \right)^3 \)
Solución
\( \dfrac{x^4}{x^3} = x^{4-3} = x \), entonces:
\( \left( \dfrac{x^4}{x^3} \right)^3 = x^3 \)
Simplifica: \( \dfrac{(3x^2y^{-2})^3}{(9xy^3)^3} \)
Solución
\( (3x^2y^{-2})^3 = 27x^6y^{-6} \)
\( (9xy^3)^3 = 729x^3y^9 \)
Entonces: \( \dfrac{(3x^2y^{-2})^3}{(9xy^3)^3} = \dfrac{27x^6y^{-6}}{729x^3y^9} = \dfrac{1}{27} \cdot x^{6-3} \cdot y^{-6-9} = \dfrac{x^3}{27y^{15}} \)
Simplifica: \( \dfrac{(2x^{-3}y^4)^3(x^3 + y)^0}{(4xy^{-2})^3} \)
Solución
Nota: \( (x^3 + y)^0 = 1 \)
Numerador: \( (2x^{-3}y^4)^3 = 8x^{-9}y^{12} \)
Denominador: \( (4xy^{-2})^3 = 64x^3y^{-6} \)
Ahora: \( \dfrac{(2x^{-3}y^4)^3(x^3 + y)^0}{(4xy^{-2})^3} = \dfrac{8x^{-9}y^{12}}{64x^3y^{-6}} = \dfrac{1}{8} \cdot x^{-12} \cdot y^{18} = \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{y^{18}}{x^{12}} \)
Escribe como una desigualdad: "9 es menor que el producto de M y N"
Solución
\( 9 < M \cdot N \)
Pendiente de la recta perpendicular a \( y = \frac{1}{3}x - 7 \)
Solución
La pendiente perpendicular es el recíproco negativo de \( \frac{1}{3} \):
\( m = -3 \)
Escribe la ecuación de una recta con pendiente -3 e intersección con el eje y (0, -5)
Solución
Usando \( y = mx + b \):
\( y = -3x - 5 \)
Resuelve: \( -5x + 20 = 25 \)
Solución
Resta 20: \( -5x = 5 \)
Divide por -5: \( x = -1 \)
Resuelve: \( -3x + 4 < -8 \)
Solución
Resta 4: \( -3x < -12 \)
Divide por -3 e invierte la desigualdad: \( x > 4 \)
Resuelve: \( 2x^2 - 32 = 0 \)
Solución
Suma 32: \( 2x^2 = 32 \)
Divide por 2: \( x^2 = 16 \)
Toma la raíz cuadrada: \( x = \pm 4 \)
Resuelve: \( -0.25x + 1.3 = -0.55x - 0.2 \)
Solución
Suma \( 0.55x \) a ambos lados:
\( 0.3x + 1.3 = -0.2 \)
Resta 1.3: \( 0.3x = -1.5 \)
Divide: \( x = -5 \)
Resuelve: \( -0.25x^2 + 1.5 = -10.75 \)
Solución
Resta 1.5: \( -0.25x^2 = -12.25 \)
Divide: \( x^2 = 49 \), entonces \( x = \pm 7 \)
¿Cuál es la pendiente de una recta perpendicular a \( x = -3 \)?
Solución
Una recta vertical (\( x = \text{constante} \)) es perpendicular a una recta horizontal.
La pendiente de una recta horizontal es 0.
¿Cuál es la pendiente de una recta paralela a \( x = 5 \)?
Solución
Las rectas paralelas a las rectas verticales también son verticales.
La pendiente no está definida.
¿Cuál es la pendiente de una recta perpendicular a \( y = 6 \)?
Solución
Una recta horizontal (\( y = \text{constante} \)) es perpendicular a una recta vertical.
La pendiente de una recta vertical no está definida.