Soluciones y Explicaciones a Preguntas de Verdadero/Falso de Álgebra Intermedia

Se presentan soluciones y explicaciones completas de preguntas de álgebra intermedia en Preguntas de Verdadero/Falso de Álgebra Intermedia.

(Verdadero o Falso) La desigualdad \( |x + 1| \lt 0 \) no tiene solución.

Solución
El valor absoluto de una expresión real es positivo o igual a cero. Por lo tanto, no hay ningún valor de \( x \) que haga que \( |x + 1| \) sea negativo. Por consiguiente, \( |x + 1| \lt 0 \) nunca es verdadero, y la afirmación es VERDADERA.
(Verdadero o Falso) Si \( a \) y \( b \) son números negativos, y \( |a| \lt |b| \), entonces \( b - a \) es negativo.

Solución
Dado que \( a \) y \( b \) son negativos, están a la izquierda del cero. Como \( |a| \lt |b| \), entonces \( a > b \).
Reste \( a \) de ambos lados: \( a - a > b - a \Rightarrow 0 > b - a \).
Por lo tanto, la afirmación es VERDADERA.
(Verdadero o Falso) La ecuación \( 2x + 7 = 2(x + 5) \) tiene una solución.

Solución
Resuelva: \( 2x + 7 = 2x + 10 \)
Reste \( 2x \): \( 7 = 10 \) (falso).
Por lo tanto, no existe solución. La afirmación es FALSA.
(Verdadero o Falso) El inverso multiplicativo de \( -\frac{1}{4} \) es \( -\frac{1}{8} \).

Solución
El inverso de \( -\frac{1}{4} \) es \( \frac{1}{-\frac{1}{4}} = -4 \).
Por lo tanto, la afirmación es FALSA.
(Verdadero o Falso) \( \frac{x}{2 + z} = \frac{x}{2} + \frac{x}{z} \)

Solución
Pruebe con \( x = 8 \), \( z = 2 \):
Lado izquierdo: \( \frac{8}{2 + 2} = 2 \)
Lado derecho: \( \frac{8}{2} + \frac{8}{2} = 4 + 4 = 8 \)
Como \( 2 \ne 8 \), la afirmación es FALSA.
(Verdadero o Falso) \( |-8| - |10| = -18 \)

Solución
Evalúe: \( |-8| - |10| = 8 - 10 = -2 \ne -18 \)
La afirmación es FALSA.
(Verdadero o Falso) \( \left(\frac{8}{4}\right) \div 2 = \frac{8}{\left(4 \div 2\right)} \)

Solución
Lado izquierdo: \( 2 \div 2 = 1 \)
Lado derecho: \( 8 \div 2 = 4 \)
Como \( 1 \ne 4 \), la afirmación es FALSA.
(Verdadero o Falso) \( 31.5(1.004)^{20} \lt 31.6(1.003)^{25} \)

Solución
Use calculadora:
Lado izquierdo: \( 31.5(1.004)^{20} \approx 34.118 \)
Lado derecho: \( 31.6(1.003)^{25} \approx 34.057 \)
Como \( 34.118 > 34.057 \), la afirmación es FALSA.
(Verdadero o Falso) La gráfica de la ecuación \( y = 4 \) no tiene intersección con el eje x.

Solución
La recta \( y = 4 \) es horizontal y no cruza el eje x.
Por lo tanto, la afirmación es VERDADERA.
(Verdadero o Falso) \( \frac{n(n+3)}{2} = \frac{3}{2} \) cuando \( n = 0 \)

Solución
Evalúe: \( \frac{0(0 + 3)}{2} = 0 \)
Como \( 0 \ne \frac{3}{2} \), la afirmación es FALSA.
(Verdadero o Falso) La distancia entre -9 y 20 es igual a la distancia entre 9 y -20.

Solución
Fórmula de distancia: \( |a - b| = |b - a| \)
\( |-9 - 20| = |-29| = 29 \)
\( |9 - (-20)| = |9 + 20| = 29 \)
Por lo tanto, las distancias son iguales. La afirmación es VERDADERA.
(Verdadero o Falso) Si \( f(x) = \sqrt{1 - x} \), entonces \( f(-3) = 2 \)

Solución
Evalúe: \( f(-3) = \sqrt{1 - (-3)} = \sqrt{4} = 2 \)
Por lo tanto, la afirmación es VERDADERA.
(Verdadero o Falso) La pendiente de la recta \( 2x + 2y = 2 \) es igual a 2.

Solución
Reescribiendo en forma pendiente-intersección:
\( 2x + 2y = 2 \Rightarrow 2y = -2x + 2 \Rightarrow y = -x + 1 \)
Pendiente = \( -1 \), por lo tanto la afirmación es FALSA.
(Verdadero o Falso) \( |x + 5| \) es siempre positivo.

Solución
El valor absoluto de un número es siempre no negativo, lo que significa que es positivo o cero.
Por ejemplo, cuando \( x = -5 \), tenemos \( |x + 5| = |0| = 0 \).
Dado que \( |x + 5| \) puede ser cero, no es *siempre* positivo.
Por lo tanto, la afirmación es FALSA.
(Verdadero o Falso) La distancia entre los puntos \( (0, 0) \) y \( (5, 0) \) en un sistema de ejes rectangular es 5.

Solución
La distancia entre dos puntos \( (x_1, y_1) \) y \( (x_2, y_2) \) está dada por:
\[ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Sustituya: \( \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{25} = 5 \)
Por lo tanto, la afirmación es VERDADERA.
(Verdadero o Falso) \( \frac{1}{2x - 4} \) no está definido cuando \( x = -4 \).

Solución
Sustituya \( x = -4 \):
\[ \frac{1}{2(-4) - 4} = \frac{1}{-8 - 4} = \frac{1}{-12} \]
Esto está definido. Pero la expresión **no está definida** cuando el denominador es cero:
\[ 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \]
Por lo tanto, en \( x = -4 \), está definida.
Por consiguiente, la afirmación es FALSA.
(Verdadero o Falso) \( \left(-\frac{1}{5}\right)^{-2} = 25 \)

Solución
Un exponente negativo significa recíproco:
\[ \left(-\frac{1}{5}\right)^{-2} = \left(-5\right)^2 = 25 \]
Por lo tanto, la afirmación es VERDADERA.
(Verdadero o Falso) El recíproco de 0 es igual a 0.

Solución
El recíproco de un número \( x \) es \( \frac{1}{x} \).
Pero \( \frac{1}{0} \) no está definido en matemáticas.
Por lo tanto, el recíproco de 0 no está definido, mucho menos igual a 0.
Por consiguiente, la afirmación es FALSA.
(Verdadero o Falso) El inverso aditivo de \( -10 \) es igual a 10.

Solución
El inverso aditivo de un número \( a \) es el número que sumado a \( a \) da cero.
Por lo tanto, el inverso aditivo de \( -10 \) es \( 10 \), ya que \( -10 + 10 = 0 \).
Por consiguiente, la afirmación es VERDADERA.
(Verdadero o Falso) \( \frac{1}{x - 4} = \frac{1}{x} - \frac{1}{4} \)

Solución
Probemos con \( x = 8 \):
Lado izquierdo: \( \frac{1}{8 - 4} = \frac{1}{4} \)
Lado derecho: \( \frac{1}{8} - \frac{1}{4} = \frac{1 - 2}{8} = -\frac{1}{8} \)
Como \( \frac{1}{4} \ne -\frac{1}{8} \), la afirmación es FALSA.

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