Explora soluciones detalladas y completamente explicadas para problemas de álgebra intermedia presentados en Muestra 3 de AnalyzeMath.com. Esta página incluye respuestas claras paso a paso a preguntas que involucran ecuaciones con valor absoluto, ecuaciones cuadráticas, sistemas de ecuaciones, factorización y funciones, todo diseñado para ayudar a los estudiantes a construir una comprensión sólida del álgebra.
Escribe \(1.5 \times 10^{-5}\) en forma estándar.
Solución
\(1.5 \times 10^{-5} = \frac{1.5}{10^5} = \frac{1.5}{100000} = 0.000015\)
Evalúa: \(30 - |-x + 6|\) para \(x = 10\)
Solución
Sustituye \(x = 10\) en la expresión:
\(30 - |-(10) + 6| = 30 - |-10 + 6| = 30 - |-4| = 30 - 4 = 26\)
Evalúa: \(2xy^3 + x - 2y\) para \(x = 2\) y \(y = -2\)
Solución
Sustituye \(x = 2\), \(y = -2\):
\(2(2)(-2)^3 + 2 - 2(-2) = 4(-8) + 2 + 4 = -26\)
¿Cuál es la pendiente de la recta perpendicular a la recta \(y = -4\)?
Solución
La recta \(y = -4\) es horizontal. Una recta perpendicular a ella es vertical y tiene una pendiente indefinida.
Escribe una ecuación de la recta con pendiente 2 e intersección en x \((-4, 0)\).
Solución
Usa la forma punto-pendiente: \(y - b = m(x - a)\)
Usando el punto \((-4, 0)\) y \(m = 2\):
\(y - 0 = 2(x - (-4)) \Rightarrow y = 2x + 8\)
Resuelve la ecuación: \(-3(-x + 5) + 20 = -10(x - 3) + 4\)
Solución
Expande ambos lados:
\(3x - 15 + 20 = -10x + 30 + 4\)
\(3x + 5 = -10x + 34\)
\(13x = 29 \Rightarrow x = \frac{29}{13}\)
Resuelve la desigualdad: \(4(x - 6) + 4 < 8(x - 4)\)
Solución
Expande:
\(4x - 24 + 4 < 8x - 32\)
\(4x - 20 < 8x - 32\)
\(-4x < -12 \Rightarrow x > 3\)
Resuelve la ecuación: \(3(x - 2)^2 - 12 = 0\)
Solución
\(3(x - 2)^2 = 12 \Rightarrow (x - 2)^2 = 4\)
\(x - 2 = \pm 2 \Rightarrow x = 0, 4\)
Las soluciones son \(x = 0\) y \(x = 4\)
Resuelve la ecuación: \(\frac{x}{3} + \frac{2}{7} = \frac{x}{7} - 5\)
Solución
Multiplica todos los términos por el MCD = 21:
\(21\left(\frac{x}{3} + \frac{2}{7}\right) = 21\left(\frac{x}{7} - 5\right)\)
\(7x + 6 = 3x - 105\)
\(4x = -111 \Rightarrow x = \frac{-111}{4}\)
La recta \(L\) pasa por \((2, 7)\) y es perpendicular a \(x + y = 0\). Encuentra la intersección de \(L\) y \(x + y = 0\).
Solución
La pendiente de \(x + y = 0\) es -1 (reescrita como \(y = -x\)).
La pendiente de la recta \(L\) es 1 (ya que perpendicular → recíproco negativo).
Sea el punto de intersección \((a, b)\).
Usando la fórmula de la pendiente: \(\frac{7 - b}{2 - a} = 1\)
Además, el punto está en \(x + y = 0 \Rightarrow a + b = 0 \Rightarrow a = -b\)
Sustituye en la ecuación de la pendiente: \(7 - b = 2 - (-b) = 2 + b\)
\(7 - b = 2 + b \Rightarrow 2b = 5 \Rightarrow b = \frac{5}{2}, a = -\frac{5}{2}\)
El punto de intersección es \(\left(-\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right)\)
Encuentra el punto de intersección de \(x + 2y = 4\) y \(-x - 3y = -7\)
Solución
Suma las ecuaciones:
\((x + 2y) + (-x - 3y) = 4 + (-7)\)
\(-y = -3 \Rightarrow y = 3\)
Sustituye en \(x + 2y = 4 \Rightarrow x + 6 = 4 \Rightarrow x = -2\)
El punto de intersección es \((-2, 3)\)
¿Cuántas soluciones tiene el sistema \(2x - 3y = 4\) y \(4x - 6y = -7\)?
Solución
Multiplica la primera ecuación por 2:
\(4x - 6y = 8\)
Resta: \((4x - 6y) - (4x - 6y) = 8 - (-7)\)
\(0 = 15\) → contradicción → No tiene solución.
Encuentra el valor de \(A\) tal que el sistema \(Ax + 6y = 0\) y \(2x - 7y = 3\) no tenga solución.
Solución
Resuelve la primera ecuación para \(y\): \(y = -\frac{A}{6}x\)
Sustituye en la segunda ecuación:
\(2x - 7\left(-\frac{A}{6}x\right) = 3 \Rightarrow 2x + \frac{7A}{6}x = 3\)
\(x\left(2 + \frac{7A}{6}\right) = 3\)
No hay solución si el denominador (coeficiente de x) es cero:
\(2 + \frac{7A}{6} = 0 \Rightarrow A = -\frac{12}{7}\)
Resuelve \( |2x - 4| - 2 = 6 \).
Solución
Suma 2 a ambos lados: \( |2x - 4| = 8 \)
Divide en dos casos:
Caso 1: \( 2x - 4 = 8 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6 \)
Caso 2: \( 2x - 4 = -8 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2 \)
Las soluciones son \(x = -2\) y \(x = 6\)
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación \(2x^2 + 3x = 8\)?
Solución
Reorganiza la ecuación: \(2x^2 + 3x - 8 = 0\)
Usa el discriminante: \(D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-8) = 9 + 64 = 73\)
Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales
Resuelve la ecuación \(3x^2 + 6x - 1 = 8\)
Solución
Reorganiza: \(3x^2 + 6x - 9 = 0\)
Divide por 3: \(x^2 + 2x - 3 = 0\)
Factoriza: \((x + 3)(x - 1) = 0 \Rightarrow x = -3, x = 1\)
Las soluciones son \(x = -3\) y \(x = 1\)
Resuelve el sistema de ecuaciones: \(2x + 5y = 18\) y \(-3x - y = -1\)
Solución
Multiplica la segunda ecuación por 5: \(-15x - 5y = -5\)
Suma a la primera ecuación:
\((2x + 5y) + (-15x - 5y) = 18 + (-5) \Rightarrow -13x = 13 \Rightarrow x = -1\)
Sustituye \(x = -1\) en \(2x + 5y = 18\):
\(2(-1) + 5y = 18 \Rightarrow -2 + 5y = 18 \Rightarrow 5y = 20 \Rightarrow y = 4\)
La solución es \(x = -1\), \(y = 4\)
¿Cuál es el rango de la función \(f = \{(2,3), (1,4), (5,4), (0,3)\}\)?
Solución
El rango es el conjunto de valores de salida (segundos valores): \(\{3, 4, 4, 3\}\)
Elimina duplicados: \(\{3, 4\}\)
El rango es \(\{3, 4\}\)
Factoriza la expresión \(2x^2 + 3x + 1\)
Solución
Encuentra los factores de \(2x^2 + 3x + 1\):
\(2x^2 + 2x + x + 1 = 2x(x + 1) + 1(x + 1) = (2x + 1)(x + 1)\)
Forma factorizada: \((2x + 1)(x + 1)\)
Factoriza la expresión \(10x^2 + 20x - 80\)
Solución
Factoriza el MCD: \(10(x^2 + 2x - 8)\)
Factoriza la cuadrática: \(x^2 + 4x - 2x - 8 = x(x + 4) -2(x + 4) = (x - 2)(x + 4)\)
Forma factorizada: \(10(x - 2)(x + 4)\)