Soluciones y Explicaciones
a las Preguntas de Álgebra Intermedia en la Muestra 4
Se presentan explicaciones completas de las soluciones para las preguntas de álgebra intermedia en la muestra 4.
Soluciones
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(Verdadero o Falso) \(x^2\) y \(2x\) son términos semejantes.
Solución
La afirmación "\(x^2\) y \(2x\) son términos semejantes" es FALSA porque los dos términos no tienen la misma potencia de \(x\).
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(Verdadero o Falso) \(x^{-3}\) y \(-3x\) son términos no semejantes.
Solución
La afirmación "\(x^{-3}\) y \(-3x\) son términos no semejantes" es VERDADERA porque los dos términos no tienen la misma potencia de \(x\).
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(Verdadero o Falso) \(\frac{1}{x - 9} = 0\) para \(x = 9\).
Solución
Sustituye \(x\) por 9 en la expresión \(\frac{1}{x - 9}\).
\[
\frac{1}{x - 9} = \frac{1}{9 - 9} = \frac{1}{0} = \text{indefinido}
\]
La afirmación "\(\frac{1}{x - 9} = 0\) para \(x = 9\)" es FALSA.
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(Verdadero o Falso) El conjunto de pares ordenados \(\{(0,0),(2,0),(3,0),(10,0)\}\) representa una función.
Solución
Todos los valores de las coordenadas \(x\) son diferentes y, por lo tanto, el conjunto de pares ordenados representa una función. La afirmación es VERDADERA.
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(Verdadero o Falso) \(|a - b| = b - a\) si \(b - a \lt 0\).
Solución
Recuerda que si \(x > 0\), entonces
\[ |x| = x\]
Si \(b - a \lt 0\), entonces \(a - b > 0\) y
\[ |a - b| = a - b\]
La afirmación es FALSA.
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(Verdadero o Falso) \(|x^2 + 1| = x^2 + 1\).
Solución
Dado que \(x^2 + 1\) es positivo para todo \(x\) real, entonces
\[ |x^2 + 1| = x^2 + 1\]
La afirmación es VERDADERA.
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(Verdadero o Falso) \(\sqrt{(x - 5)^2} = x - 5\).
Solución
Sea \[x = -4\]
Lado Izquierdo: \(\sqrt{(-4 - 5)^2} = \sqrt{81} = 9\)
Lado Derecho : \(-4 - 5 = -9\)
La afirmación es FALSA.
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(Verdadero o Falso) \((x - 2)(x + 2) = x^2 - 4x - 4\).
Solución
Expande y simplifica
\[ (x - 2)(x + 2) = x^2 + 2x -2x - 4 = x^2 - 4\]
La afirmación es FALSA.
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(Verdadero o Falso) \(\sqrt{x + 9} = \sqrt{x} + \sqrt{9}\), para todo \(x\) real.
Solución
Sea \[ x = 16\]:
Lado Izquierdo: \(\sqrt{25} = 5\),
Lado Derecho: \(\sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7\)
La afirmación es FALSA.
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(Verdadero o Falso) \(|x - 3| = |x| + |3|\), para todo \(x\) real y negativo.
Solución
Dado que \(x \lt 0 \), entonces \( 3 − x >0 \) y por lo tanto:
\[ |x - 3| = |-(3 - x) | = 3 - x = |3| + |x|\]
La afirmación es VERDADERA.
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(Verdadero o Falso) \((x + 2)^3 = x^3 + 2^3\), para todo \(x\) real.
Solución
\[ (x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8\]
La afirmación es FALSA.
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(Verdadero o Falso) Si \(k = 4\), entonces la ecuación \(x^2 - kx = -4\) tiene una sola solución.
Solución
\[x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x - 2)^2 = 0\]
Una solución: \(x = 2\)
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(Verdadero o Falso) El discriminante de la ecuación: \(2x^2 - 4x + 9 = 0\) es negativo.
Solución
El discriminante \( \Delta \) viene dado por:
\[
\Delta = (-4)^2 - 4(2)(9) = 16 - 72 = -56
\]
El discriminante es negativo. La afirmación es Verdadera.
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(Verdadero o Falso) El grado de \(P(x) = (x - 2)(-x + 3)(x - 4)\) es igual a -3.
Solución
\[
P(x) = (-x^2 + 5x - 6)(x - 4) = -x^3 + 9x^2 - 26x + 24
\]
El grado es 3. La afirmación es FALSA.
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(Verdadero o Falso) La distancia entre los puntos \((0, 0)\) y \((1, 1)\) es igual a 1.
Solución
\[
\text{Distancia} = \sqrt{(1 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{2}
\]
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(Verdadero o Falso) La pendiente de la recta \(2x + 3y = -2\) es negativa.
Solución
\[ 3y = -2x - 2 \Rightarrow y = -\frac{2}{3}x - \frac{2}{3}\]
La pendiente es \(-\frac{2}{3}\)
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(Verdadero o Falso) La relación \(2y + x^2 = 2\) representa \(y\) como una función de \(x\).
Solución
\[ y = -\frac{x^2}{2} + 1\]
Una salida por entrada → función. La afirmación es VERDADERA.
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(Verdadero o Falso) La relación \(2y + x^2 = 2\) representa \(x\) como una función de \(y\).
Solución
\[ x^2 = 2 - 2y \Rightarrow x = \pm\sqrt{2 - 2y}\]
Dos valores para una \(y\) → NO es una función.
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(Verdadero o Falso) La relación \(|x| = |y|\) NO representa \(x\) como una función de \(y\).
Solución
Resuelve \(|x| = |y|\) para \( x \):
\[ x = \pm y\]
Dos valores de \(x\) por \(y\) → NO es una función.
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(Verdadero o Falso) La relación \(|x| = |y|\) NO representa \(y\) como una función de \(x\).
Solución
Resuelve \(|x| = |y|\) para \(y\): \[y = \pm x\]
Dos valores de \(y\) por \(x\) → NO es una función.
Más Referencias y Enlaces