Soluciones y Explicaciones a las Preguntas de Álgebra Intermedia en la Muestra 5

Soluciones detalladas y explicaciones completas a las preguntas de opción múltiple de álgebra intermedia en Sample 5 se presentan a continuación.

  1. Si \( f(x) = 4x^3 - 4x^2 + 10 \), entonces \( f(-2) = \)

    Solución

    Sustituye \( x = -2 \) en \( f(x) \):

    \( f(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2)^2 + 10 = -32 - 16 + 10 = -38 \)

  2. ¿Qué valor de \( x \) satisface \( -7x + 6 \leq -8 \)?

    Solución

    Resuelve la desigualdad:

    \( -7x + 6 \leq -8 \Rightarrow -7x \leq -14 \Rightarrow x \geq 2 \)

    Respuesta: D

  3. ¿Cuál es el dominio de \( f(x) = \sqrt{6 - 2x} \)?

    Solución

    La expresión dentro del radical debe ser no negativa:

    \( 6 - 2x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3 \)

    Dominio: \( x \leq 3 \)

  4. ¿Son las rectas \( y = 2x \) y \( 2y = -x \) paralelas, perpendiculares, o ninguna?

    Solución

    Convierte \( 2y = -x \) a \( y = -\frac{1}{2}x \).

    Pendientes: 2 y \( -\frac{1}{2} \); el producto es -1 ⇒ perpendiculares.

    Respuesta: B

  5. La ecuación \( |-2x - 5| - 3 = k \) no tiene solución si \( k = \)?

    Solución

    Reescribe: \( |-2x - 5| = k + 3 \)

    No tiene solución si \( k + 3 \lt 0 \Rightarrow k \lt -3 \)

    Respuesta: A

  6. Traduce el enunciado: "El precio no es menos de 100 Dólares."

    Solución

    "No menos de" significa "mayor o igual a":

    \( x \geq 100 \)

  7. ¿Qué relación no representa una función?

    Solución

    En la opción C, \( x = 2 \) se asigna tanto a 3 como a 7 ⇒ no es una función.

    Respuesta: C

  8. ¿Qué punto no está en \( y = -x + 3 \)?

    Solución

    Solo (2,2) falla: \( 2 \neq -2 + 3 = 1 \)

    Respuesta: D

  9. ¿Cuál es la pendiente de una recta perpendicular a \( y = -5x + 9 \)?

    Solución

    Sea \( m \) la nueva pendiente: \( m(-5) = -1 \Rightarrow m = \frac{1}{5} \)

    Respuesta: C

  10. ¿Qué propiedad justifica \( 3(xy) = (3x)y \)?

    Solución

    Esta es la Propiedad Asociativa de la Multiplicación.

    Respuesta: D

  11. ¿Dónde se intersectan las rectas \( x = 3 \) y \( y = -4 \)?

    Solución

    Se intersectan en (3, -4) ⇒ Cuadrante IV.

    Respuesta: C

  12. Evalúa: \( 2^{-|-2|} \)

    Solución

    \( 2^{-2} = \frac{1}{4} = 0.25 \)

    Respuesta: B

  13. Si \( a, b \) son positivos, evalúa \( (a^0 - 3b^0)^5 \)

    Solución

    \( (1 - 3)^5 = (-2)^5 = -32 \)

    Respuesta: C

  14. Traduce: "La longitud \( L \) es como máximo 45 cm"

    Solución

    \( L \leq 45 \)

    Respuesta: D

  15. La ecuación \( mx - 8 = 6 - 7(x + 3) \) no tiene solución si:

    Solución

    Simplifica: \( x(m + 7) = -7 \Rightarrow m \neq -7 \)

    Respuesta: C

  16. La ecuación \( -mx + 1 = 13 - 4(x + 3) \) es una identidad si:

    Solución

    Ambos lados simplifican a \( -mx + 1 = -4x + 1 \Rightarrow m = 4 \)

    Respuesta: B

  17. ¿Qué enunciado es siempre verdadero?

    Solución

    Toda función es una relación.

    Respuesta: C

  18. ¿Qué desigualdad no tiene solución?

    Solución

    \( |x + 3| \lt -2 \) no tiene solución (el valor absoluto es siempre ≥ 0)

    Respuesta: B

  19. Las rectas \( y = (a - 5)x + 5 \) y \( y = -2x + 7 \) son paralelas si:

    Solución

    Iguala las pendientes: \( a - 5 = -2 \Rightarrow a = 3 \)

    Respuesta: A

  20. Las rectas \( y = (a - 5)x + 5 \) y \( y = -2x + 7 \) son perpendiculares si:

    Solución

    Las pendientes multiplicadas son igual a -1: \( -2(a - 5) = -1 \Rightarrow a = \frac{11}{2} \)

    Respuesta: D

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