Matrices Diagonales
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Definición de una Matriz Diagonal
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que todas las entradas fuera de la diagonal principal son cero.
Estos son ejemplos de matrices diagonales.
\[
A =
\begin{bmatrix}
-6 & 0 \\
0 & 9
\end{bmatrix}
\qquad
B =
\begin{bmatrix}
9 & 0 & 0 \\
0 & 7 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix}
\]
\[
C =
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -5
\end{bmatrix}
\qquad
D =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
Propiedades de las Matrices Diagonales
Algunas de las propiedades más importantes de las matrices diagonales se presentan a continuación.
- El determinante de una matriz diagonal es igual al producto de todas las entradas en la diagonal principal.
- Una matriz diagonal es una matriz simétrica.
- Una matriz diagonal es invertible (tiene una inversa) si y solo si ninguna de sus entradas en la diagonal principal es cero.
Suma y Multiplicación de Matrices Diagonales
Sean A y B dos matrices diagonales del mismo tamaño \( n \times n \) dadas por
\[
A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & \cdots \\
0 & a_{22} & 0 & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}
\]
y
\[
B =
\begin{bmatrix}
b_{11} & 0 & 0 & \cdots \\
0 & b_{22} & 0 & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\
0 & 0 & \cdots & b_{nn}
\end{bmatrix}
\]
Suma:
\[
A + B =
\begin{bmatrix}
a_{11} + b_{11} & 0 & 0 & \cdots \\
0 & a_{22} + b_{22} & 0 & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn} + b_{nn}
\end{bmatrix}
\]
Multiplicación:
\[
AB =
\begin{bmatrix}
a_{11} b_{11} & 0 & 0 & \cdots \\
0 & a_{22} b_{22} & 0 & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn} b_{nn}
\end{bmatrix}
\]
Inversa de Matrices Diagonales
Sea \( A \) una matriz diagonal dada por \( A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & ... \\
0 & a_{22} & 0 & ... \\
. & & & \\
. & & & \\
. & & & \\
0 & 0 & ... & a_{nn}
\end{bmatrix} \)
Si ninguna de las entradas \( a_{ii} \) en la diagonal principal es igual a cero, entonces \( A \) es invertible y su inversa está dada por \[ A^{-1} =
\begin{bmatrix}
\dfrac{1}{a_{11}} & 0 & 0 & ... \\
0 & \dfrac{1}{a_{22}} & 0 & ... \\
. & & & \\
. & & & \\
. & & & \\
0 & 0 & ... & \dfrac{1}{a_{nn}}
\end{bmatrix} \]
Potencia de Matrices Diagonales
Sea \( A \) una matriz diagonal dada por \( A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & ... \\
0 & a_{22} & 0 & ... \\
. & & & \\
. & & & \\
. & & & \\
0 & 0 & ... & a_{nn}
\end{bmatrix} \)
\[ A^p =
\begin{bmatrix}
a_{11}^p & 0 & 0 & ... \\
0 & a_{22}^p & 0 & ... \\
. & & & \\
. & & & \\
. & & & \\
0 & 0 & ... & a_{nn}^p
\end{bmatrix} \] donde \( p \) es un entero positivo.
Sea \( A \) una matriz diagonal dada por \[ A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & ... \\
0 & a_{22} & 0 & ... \\
. & & & \\
. & & & \\
. & & & \\
0 & 0 & ... & a_{nn}
\end{bmatrix} \]
Los valores propios \( \lambda_i \) y los vectores propios correspondientes \( e_i \) están dados por
\[ \lambda_1 = a_{11} \; , \quad e_1
=
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
. \\
. \\
0
\end{bmatrix} \] \[ \lambda_2 = a_{22} \; , \quad
e_2 = \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
. \\
. \\
0
\end{bmatrix} \]
... etc ...
\[ \lambda_n = a_{nn} \; , \quad e_{n}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
. \\
. \\
1
\end{bmatrix} \]
Ejemplos con Soluciones
Ejemplo 1
¿Cuáles de las siguientes son matrices diagonales?
a) \( A =
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
1 & 2
\end{bmatrix} \) b) \( B =
\begin{bmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \) c) \( C =
\begin{bmatrix}
5 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 3 & 0\\
5 & 0 & 0 & 4
\end{bmatrix} \)
d) \( D =
\begin{bmatrix}
5 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 9 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{bmatrix} \)
Solución
Las matrices \( B \) y \( D \) son matrices diagonales.
Ejemplo 2
Las matrices \( A \) y \( B \) están dadas por \( A =
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & -\dfrac{2}{3} & 0 \\
0 & 0 & \dfrac{1}{4}
\end{bmatrix} \) , \( B =
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & -6 & 0 \\
0 & 0 & 8
\end{bmatrix} \).
Calcula \( A B \)
Solución
\( A B =
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & -\dfrac{2}{3} & 0 \\
0 & 0 & \dfrac{1}{4}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & -6 & 0 \\
0 & 0 & 8
\end{bmatrix}
\)
\( \quad \quad =
\begin{bmatrix}
(-1)(-1) & 0 & 0\\
0 & (-\dfrac{2}{3})(-6) & 0 \\
0 & 0 & (\dfrac{1}{4})(8)
\end{bmatrix}
\)
\(
\quad \quad =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix}
\)
Ejemplo 3
Sea la matriz \( A =
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & - 2
\end{bmatrix} \)
Calcula \( A^5 \).
Solución
\( A^5 =
\begin{bmatrix}
(-1)^5 & 0 & 0 & 0 \\
0 & (2)^5 & 0 & 0 \\
0 & 0 & (-1)^5 & 0 \\
0 & 0 & 0 & (-2)^5
\end{bmatrix}
\)
Simplifica
\( \quad \quad =
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 32 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -32
\end{bmatrix}
\)
Ejemplo 4
Encuentra los valores propios y vectores propios de la matriz
\( A =
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & -3
\end{bmatrix} \)
Solución
Valor propio: \( \lambda_1 = 1 \) , Vector propio: \( e_1 = \begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix} \)
Valor propio: \( \lambda_2 = -3 \) , Vector propio: \( e_2 = \begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix} \)
Ejemplo 5
Encuentra los valores propios y vectores propios de la matriz
\( A =
\begin{bmatrix}
-6 & 0 & 0\\
0 & \dfrac{1}{5} & 0 \\
0 & 0 & - \dfrac{2}{3}
\end{bmatrix} \)
Solución
Valor propio: \( \lambda_1 = -6 \) , Vector propio: \( e_1 = \begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} \)
Valor propio: \( \lambda_2 = \dfrac{1}{5} \) , Vector propio: \( e_2 = \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix} \)
Valor propio: \( \lambda_3 = - \dfrac{2}{3} \) , Vector propio: \( e_3 = \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix} \)
Ejemplo 6
Encuentra los valores propios y vectores propios de la matriz
\( A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 9 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \)
Solución
Valor propio: \( \lambda_1 = 1 \) , Vector propio: \( e_1 = \begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} \)
Valor propio: \( \lambda_2 = -1 \) , Vector propio: \( e_2 = \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} \)
Valor propio: \( \lambda_3 = 9 \) , Vector propio: \( e_3 = \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix} \)
Valor propio: \( \lambda_4 = 1 \) , Vector propio: \( e_4 = \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix} \)
Preguntas (con soluciones proporcionadas abajo)
- Parte 1
Encuentra las constantes reales \( a \) y \( b \) tales que \( A^{-1} = A \) donde \( A \) es una matriz dada por \( A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & \dfrac{1}{a} & 0 & 0\\
0 & 0 & b+1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \)
- Parte 2
Encuentra los valores propios y vectores propios de la matriz
\( A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \)
- Parte 3
Encuentra los valores propios y vectores propios de la matriz
\( A =
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0\\
0 & 0 & -2 & 0\\
0 & 0 & 0 & -2
\end{bmatrix} \)
Soluciones a las Preguntas Anteriores
- Parte 1
Primero encontramos la inversa de la matriz dada
\( A^{-1} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & a & 0 & 0\\
0 & 0 & \dfrac{1}{b+1} & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \)
Para que se cumpla \( A^{-1} = A \), necesitamos tener
\( a = \dfrac{1}{a} \) (I) y \( \dfrac{1}{b+1} = b + 1 \) (II)
Resuelve las ecuaciones anteriores. La ecuación (I) se puede escribir como
\( a^2 = 1 \)
y da dos soluciones: \( a = 1 \) y \( a = - 1\)
La ecuación (II) se puede escribir como
\( (b+1)^2 = 1 \)
y da dos soluciones: \( b = 0 \) y \( b = - 2 \)
Por lo tanto, las soluciones a las preguntas dadas son los siguientes pares:
\( a = 1 \) , \( b = 0 \)
\( a = 1 \) , \( b = -2 \)
\( a = - 1 \) , \( b = 0 \)
\( a = - 1 \) , \( b = -2 \)
- Parte 2
Valor propio: \( \lambda_1 = 1 \) , Vector propio: \( e_1 = \begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} \)
Valor propio: \( \lambda_2 = 1 \) , Vector propio: \( e_2 = \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix} \)
Valor propio: \( \lambda_3 = 0 \) , Vector propio: \( e_3 = \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix} \)
- Parte 3
Valor propio: \( \lambda_1 = 2 \) , Vector propio: \( e_1 = \begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} \)
Valor propio: \( \lambda_2 = 2 \) , Vector propio: \( e_2 = \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} \)
Valor propio: \( \lambda_3 = -2 \) , Vector propio: \( e_3 = \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix} \)
Valor propio: \( \lambda_4 = -2 \) , Vector propio: \( e_4 = \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix} \)
Más Referencias y Enlaces