Ejemplos y preguntas sobre los valores propios y vectores propios de matrices cuadradas, junto con sus soluciones, se presentan. Las propiedades de los valores propios y sus vectores propios correspondientes también se discuten y utilizan para resolver preguntas.
Sea A una matriz \( n \times n \) (cuadrada). Si existe un vector columna X no trivial (no todos ceros) que es solución de la ecuación matricial \( A X = \lambda X \) donde \( \lambda \) es un escalar, entonces X se llama el vector propio de la matriz A y el valor correspondiente de \( \lambda \) se llama el valor propio de la matriz A.
Reescribamos la ecuación matricial en forma estándar:
\[ A X - \lambda X = 0 \]
Sea I la matriz identidad \( n \times n \) y sustituyamos X por \( I X \) en la ecuación anterior:
\[ A X - \lambda I X = 0 \]
Reescribimos como:
\[ (A - \lambda I) X = 0 \]
La ecuación matricial anterior tiene soluciones no triviales si y solo si el determinante de la matriz \( A - \lambda I \) es igual a cero.
\[ \text{Det} (A - \lambda I) = 0 \]
se llama la ecuación característica de A.
Cuando \( \text{Det} (A - \lambda I) \) se expande, es un polinomio de grado \( n \) y por lo tanto \( \text{Det} (A - \lambda I) \) se llama el polinomio característico de A.
Ejemplo 1
Encuentre todos los valores propios y vectores propios de la matriz:
\[
A =
\begin{bmatrix}
-2 & 1 \\
12 & -3
\end{bmatrix}
\]
Solución
Primero calculamos los valores propios y luego los vectores propios.
Encontrar Valores Propios
Sustituimos A, \( \lambda \) y
\[
I =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\]
en la expresión \( A - \lambda I \) de la siguiente manera:
\[
A - \lambda I
=
\begin{bmatrix}
-2 & 1 \\
12 & -3
\end{bmatrix}
-
\lambda
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-2 - \lambda & 1 \\
12 & -3 - \lambda
\end{bmatrix}
\]
Necesitamos resolver la ecuación:
\[ \text{Det}(A - \lambda I) = 0 \]
Calcular el determinante:
\[ \text{Det}(A - \lambda I) = (-2 - \lambda)(-3 - \lambda) - 12 \]
Resolver la ecuación:
\[ (-2 - \lambda)(-3 - \lambda) - 12 = 0 \]
Expandir y reescribir como:
\[ \lambda^2 + 5\lambda - 6 = 0 \]
Resolver la ecuación cuadrática anterior para encontrar dos valores propios:
\[ \lambda = 1 \quad \text{y} \quad \lambda = -6 \]
Encontrar Vectores Propios
Vectores Propios para \( \lambda = 1 \)
Sustituir \( \lambda \) por 1 en la ecuación matricial \( (A - \lambda I) X = 0 \):
\[ \left( \begin{bmatrix}
-2 & 1 \\
12 & -3
\end{bmatrix} - 1 \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \right) X = 0 \]
Simplificar lo anterior:
\[ \begin{bmatrix}
-3 & 1 \\
12 & -4
\end{bmatrix} X = 0 \]
Sea \( X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \) y reescribir la ecuación matricial anterior como:
\[ \begin{bmatrix}
-3 & 1 \\
12 & -4
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = 0 \]
Multiplicar la ecuación superior por 4 y sumarla a la segunda ecuación, y reescribir el sistema de ecuaciones de la siguiente manera:
\[ \begin{bmatrix}
-3 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = 0 \]
Una solución para \( x_2 \) podría escribirse como \( x_2 = t \) donde t toma todos los números reales.
Usar la ecuación anterior para escribir:
\[ -3x_1 + x_2 = 0 \]
para encontrar \( x_1 \) de la siguiente manera:
\[ x_1 = \dfrac{x_2}{3} \]
sustituir \( x_2 \) por \( t \) para obtener:
\[ x_1 = \dfrac{1}{3} t \]
Por lo tanto, el vector propio X correspondiente al valor propio \( \lambda = 1 \) puede escribirse como:
\[ X = t \begin{bmatrix} \dfrac{1}{3} \\ 1 \end{bmatrix} , t \in \mathbb{R} \]
Vectores Propios para \( \lambda = -6 \)
Sustituir \( \lambda \) por -6 en la ecuación matricial \( (A - \lambda I) X = 0 \):
\[ \left( \begin{bmatrix}
-2 & 1 \\
12 & -3
\end{bmatrix} - (-6) \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \right) X = 0 \]
que puede simplificarse a:
\[ \left( \begin{bmatrix}
4 & 1 \\
12 & 3
\end{bmatrix} \right) X = 0 \]
Restar 3 veces la fila superior de la segunda fila para obtener:
\[ \left( \begin{bmatrix}
4 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix} \right) X = 0 \]
Una solución para \( x_2 \) podría escribirse como \( x_2 = t \) donde t toma todos los números reales.
Usar la ecuación superior:
\[ 4x_1 + x_2 = 0 \]
para encontrar \( x_1 \) de la siguiente manera:
\[ x_1 = - \dfrac{x_2}{4} \]
sustituir \( x_2 \) por t para obtener:
\[ x_1 = - \dfrac{1}{4} t \]
Por lo tanto, el vector propio X correspondiente al valor propio \( \lambda = -6 \) puede escribirse como:
\[ X = t \begin{bmatrix} - \dfrac{1}{4} \\ 1 \end{bmatrix} , t \in \mathbb{R} \]
Ejemplo 2
Encuentre todos los valores propios y vectores propios de la matriz:
\[ A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 \\
1 & 0 & 0 \\
-2 & 2 & 1
\end{bmatrix} \]
Solución
Encontrar Valores Propios
Primero encontramos la matriz \( A - \lambda I \).
\[ A - \lambda I = \begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 \\
1 & 0 & 0 \\
-2 & 2 & 1
\end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 - \lambda & 0 & -1 \\
1 & -\lambda & 0 \\
-2 & 2 & 1 - \lambda
\end{bmatrix} \]
Escribir la ecuación característica:
\[ \text{Det}(A - \lambda I) = (1-\lambda)(-\lambda(1-\lambda)) - 1(2 - 2\lambda) = 0 \]
factorizar y reescribir la ecuación como:
\[ (1 - \lambda)(\lambda - 2)(\lambda + 1) = 0 \]
lo que da 3 soluciones:
\[ \lambda = -1 , \lambda = 1 , \lambda = 2 \]
Encontrar Vectores Propios
Vectores Propios para \( \lambda = -1 \)
Sustituir \( \lambda \) por -1 en la ecuación matricial \( (A - \lambda I) X = 0 \) con \( X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \):
\[ \begin{bmatrix}
2 & 0 & -1 \\
1 & 1 & 0 \\
-2 & 2 & 2
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = 0 \]
Reducir por filas a la forma escalonada da:
\[ \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = 0 \]
Las soluciones al sistema anterior están dadas por:
\[ x_3 = t , x_2 = -t/2 , x_1 = t/2, t \in \mathbb{R} \]
Por lo tanto, el vector propio correspondiente al valor propio \( \lambda = -1 \) está dado por:
\[ X = t \begin{bmatrix} 1/2 \\ -1/2 \\ 1 \end{bmatrix} \]
Vectores Propios para \( \lambda = 1 \)
Sustituir \( \lambda \) por \( 1 \) en la ecuación matricial \( (A - \lambda I) X = 0 \):
\[ \begin{bmatrix}
0 & 0 & -1 \\
1 & -1 & 0 \\
-2 & 2 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = 0 \]
Reducir por filas a la forma escalonada da:
\[ \begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = 0 \]
Las soluciones al sistema anterior están dadas por:
\[ x_3 = 0 , x_2 = t , x_1 = t , t \in \mathbb{R} \]
Por lo tanto, el vector propio correspondiente al valor propio \( \lambda = 1 \) está dado por:
\[ X = t \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]
Vectores Propios para \( \lambda = 2 \)
Sustituir \( \lambda \) por \( 2 \) en la ecuación matricial \( (A - \lambda I) X = 0 \):
\[ \begin{bmatrix}
-1 & 0 & -1 \\
0 & -2 & 0 \\
-2 & 2 & -1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = 0 \]
Reducir por filas a la forma escalonada da:
\[ \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & -2 & -1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = 0 \]
Las soluciones al sistema anterior están dadas por:
\[ x_3 = t , x_2 = -t/2 , x_1 = -t , t \in \mathbb{R} \]
Por lo tanto, el vector propio correspondiente al valor propio \( \lambda = 2 \) está dado por:
\[ X = t \begin{bmatrix} -1 \\ -1/2 \\ 1 \end{bmatrix} \]
Si \( \lambda \) es un valor propio de la matriz A, entonces podemos escribir:
\[ AX = \lambda X \]
donde X es el vector propio correspondiente al valor propio \( \lambda \).
Multiplicar a la izquierda ambos lados de la ecuación anterior por la matriz A:
\[ A(AX) = A(\lambda X) \]
Simplificar a:
\[ A^2 X = A(\lambda X) = \lambda (AX) \]
Sustituir \( AX \) en el lado derecho por \( \lambda X \) para obtener:
\[ A^2 X = \lambda^2 X \]
Podemos continuar multiplicando por A y simplificando para obtener:
\[ A^n X = \lambda^n X \]
Si \( \lambda \) es un valor propio de la matriz A y X el vector propio correspondiente, entonces \( \lambda^n \) es un valor propio de la matriz \( A^n \) y X es su vector propio correspondiente.
Videos en Encontrar Vectores Propios y Valores Propios de una Matriz 2 por 2 en Video y Encontrar Vectores Propios y Valores Propios de una Matriz 3 por 3 en Video