Preguntas de valores propios y vectores propios con soluciones

Ejemplos y preguntas sobre los valores y vectores propios de matrices cuadradas junto con sus soluciones se presentan. Las propiedades de los valores propios y sus vectores propios correspondientes también se analizan y utilizan para resolver preguntas.

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Definición de valores propios y vectores propios

Sea A un n × n matriz cuadrada. Si existe una solución del vector columna X no trivial (no todos ceros) para la ecuación matricial A X = ? X; donde ? es un escalar, entonces X se llama vector propio de la matriz A y el valor correspondiente de ? se llama valor propio de la matriz A.
Reescribamos la ecuación matricial en forma estándar:
A X - ? X = 0
Sea I el n × n matriz de identidad y sustituya X por I X en la ecuación anterior
A X - ? I X = 0
Reescribir como
(A - ? I) X = 0
La ecuación matricial anterior tiene soluciones no triviales si y solo si el determinante de la matriz (A - ? I) es igual a cero. Det(A - ? I) = 0 se denomina ecuación característica de A.
Si A es una matriz de n por n, cuando se expande (A - ? I) , es un polinomio de grado n y por lo tanto ( A - ? I) se denomina polinomio característico de A.


Ejemplos con soluciones en valores propios y vectores propios

Ejemplo 1
Encuentre todos los valores propios y vectores propios de la matriz Dada la Matriz 2 por 2 del Ejemplo 1 Solución
Primero calculamos los valores propios y luego los vectores propios.
Buscar valores propios
sustituimos A, ? y I en la matriz A - ? I de la siguiente manera
Ecuación en el Paso 1
Resuelve la ecuación
Det( A - ? I) = 0
Calcular el determinante y sustituir en la ecuación anterior
(-2 - ?)(-3 - ?) - 12 = 0
Expandir y reescribir como
?2 +5 ? - 6 = 0
Resuelva la ecuación cuadrática anterior para encontrar dos valores propios
? = 1 y ? = -6
\( \) \( \) \( \) \( \) Buscar vectores propios
Vectores propios para \( \lambda = 1 \)
Sustituye \( \lambda \) por 1 en la ecuación matricial \( (A - \lambda I) X = 0 \)
\( \left( \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 12 & -3 \end{bmatrix} - 1 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right) X = 0 \)
Simplifica lo anterior
\( \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 12 & -4 \end{bmatrix} X = 0 \)
Sea \( X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \) Y reescribe la ecuación matricial anterior como
\( \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 12 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = 0 \)
Multiplique la ecuación de arriba por 4 y súmela a la segunda ecuación y reescriba el sistema de ecuaciones de la siguiente manera
\( \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = 0 \)
Una solución para \( x_2 \) podría escribirse como \( x_2 = t\) donde t toma todos los números reales.
Usa la ecuación superior \( - 3 x_1 + x_2 = 0 \)
para encontrar \(x_1\) de la siguiente manera
\(x_1 = \dfrac{x_2}{3} \)
sustituir \( x_2 \) por t para obtener
\( x_1 = \dfrac{1}{3} t \)
Por lo tanto, el vector propio X correspondiente al valor propio \( \lambda = 1 \) puede escribirse como
\( X = t \begin{bmatrix} \dfrac{1}{3} \\ 1 \end{bmatrix} , t \in \mathbb{R} \)
Vectores propios para \( \lambda = -6 \)
Sustituye \( \lambda \) por 6 en la ecuación matricial \( (A - \lambda I) X = 0 \)
\( \left( \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 12 & -3 \end{bmatrix} -( - 6) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right) X = 0 \)
que puede simplificarse a
\( \left( \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 12 & 3 \end{bmatrix} \right) X = 0 \)
Resta 3 veces la fila superior de la segunda fila para obtener
\( \left( \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \right) X = 0 \)
Una solución para \( x_2 \) podría escribirse como \( x_2 = t\) donde t toma todos los números reales.
Usa la ecuación superior \( 4 x_1 + x_2 = 0 \)
para encontrar \(x_1\) de la siguiente manera
\( x_1 = - \dfrac{x_2}{4} \)
sustituir \( x_2 \) por t para obtener
\( x_1 = - \dfrac{1}{4} t \)
Por lo tanto, el vector propio X correspondiente al valor propio \( \lambda = - 6 \) puede escribirse como
\( X = t \begin{bmatrix} - \dfrac{1}{4} \\ 1 \end{bmatrix} , t \in \mathbb{R} \)


Ejemplo 2
Encuentre todos los valores propios y vectores propios de la matriz \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \] Solución
Buscar valores propios
Primero encontramos la matriz \( A - \lambda I \).
\( A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 - \lambda & 0 & -1 \\ 1 & - \lambda & 0 \\ -2 & 2 & 1 - \lambda \end{bmatrix}\)

Escribe la ecuación característica.
\( Det(A - \lambda I) = (1-\lambda)(-\lambda(1-\lambda)) - 1(2 - 2\lambda) = 0 \)
factorizar y reescribir la ecuación como
\( (1 - \lambda)(\lambda - 2)(\lambda+1) = 0 \)
que da 3 soluciones
\( \lambda = - 1 , \lambda = 1 , \lambda = 2 \)
Buscar vectores propios
Vectores propios para \( \lambda = - 1 \)
Sustituir \( \lambda \) por - 1 en la ecuación matricial \( (A - \lambda I) X = 0 \) con \( X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & 2 \end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = 0 \)
Fila reducir a forma escalonada da
\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = 0 \)
Las soluciones del sistema anterior y están dadas por
\( x_3 = t , x_2 = -t/2 , x_1 = t/2, t \in \mathbb{R} \)
Por tanto, el vector propio correspondiente al valor propio \( \lambda = -2 \) está dado por
\( X = t \begin{bmatrix} 1/2 \\ -1/2 \\ 1 \end{bmatrix} \)

Vectores propios para \( \lambda = 1 \)
Sustituye \( \lambda \) por \( 1 \) en la ecuación matricial \( (A - \lambda I) X = 0 \).
\( \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & - 1 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = 0 \)
Fila reducir a forma escalonada da
\( \begin{bmatrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = 0 \)
Las soluciones del sistema anterior y están dadas por
\( x_3 = 0 , x_2 = t , x_1 = t , t \in \mathbb{R} \)
Por tanto, el vector propio correspondiente al valor propio \( \lambda = 1 \) está dado por
\( X = t \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \)

Vectores propios para \( \lambda = 2 \)
Sustituye \( \lambda \) por \( 2 \) en la ecuación matricial \( (A - \lambda I) X = 0 \)
\( \begin{bmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0& - 2 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = 0 \)
Fila reducir a forma escalonada da
\( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = 0 \)
Las soluciones del sistema anterior y están dadas por
\( x_3 = t , x_2 = -t/2 , x_1 = - t , t \in \mathbb{R} \)
Por tanto, el vector propio correspondiente al valor propio \( \lambda = 1 \) está dado por
\( X = t \begin{bmatrix} -1 \\ -1/2 \\ 1 \end{bmatrix} \)


Eigenvalues of Triangular Matrices

encontremos los valores propios de la matriz \( A = \begin{bmatrix} b & c & d \\ 0 & e & f \\ 0 & 0 & g \end{bmatrix} \)
La ecuación característica viene dada por
\( Det (A - \lambda I) = Det \begin{bmatrix} b - \lambda & c & d \\ 0 & e -\lambda & f \\ 0 & 0 & g - \lambda \end{bmatrix} = (b - \lambda)(e - \lambda)(g - \lambda) = 0 \)
Los valores de los valores propios para una matriz triangular son iguales a las entradas en la matriz triangular dada. En este ejemplo, los valores propios son: a, e y g.


Valores propios de la potencia de una matriz

Si \( \lambda \) es un valor propio de la matriz A, entonces podemos escribir
\( AX = \lambda X \), donde X es el vector propio correspondiente al valor propio \( \lambda \).
Multiplique a la izquierda ambos lados de la ecuación anterior por la matriz A.
\( A (A X) = A (\lambda X) \)
simplificar a
\( A^2 X = A (\lambda X) = \lambda (A X)\)
Sustituye \( A X \) en el lado derecho por \( \lambda X \) para obtener
\( A^2 X = \lambda^2 X\)
Podemos seguir multiplicando por A y simplificando para obtener
\( A^n X = \lambda^n X\)
Si \( \lambda \) es un valor propio de la matriz A y X el vector propio correspondiente, entonces \( \lambda^n \) es un valor propio de la matriz \( A ^n\) y X su vector propio correspondiente.
Videos en Encuentre vectores propios y valores propios de una matriz de 2 por 2 en vídeo y Buscar vectores propios y Valores propios de una matriz de 3 por 3 en video


Propiedades de valores propios y vectores propios

  1. La matriz A es singular si y solo si \( \lambda = 0 \) es un valor propio de la matriz A.
    o
    Si la matriz A es invertible, entonces ninguno de sus valores propios es igual a cero.
  2. Si \( \lambda \) es un valor propio de la matriz A y X el vector propio correspondiente, entonces el valor propio de la matriz \( A ^n\) es igual a \( \lambda^n \) y el vector propio correspondiente es X.
  3. El producto de todos los valores propios de una matriz es igual a su determinante.
  4. La suma de todos los valores propios de una matriz es igual a su traza (la suma de todas las entradas en la diagonal principal). Puede consultar los ejemplos anteriores.
  5. Los valores propios de la matriz A y su transponer son iguales.
  6. Si A es una matriz cuadrada invertible con \( \lambda \) su valor propio y X su vector propio correspondiente, entonces \( 1/\lambda \) es un valor propio de \( A^{-1} \) y X es un vector propio correspondiente.
  7. Si \( \lambda \) es un valor propio de la matriz A y X un valor propio correspondiente, entonces \( \lambda - t \) , donde t es un escalar, es un valor propio de \( A - t I \) y X es un vector propio correspondiente.


Preguntas


Soluciones a las preguntas anteriores


Más referencias y enlaces