Matrices con Ejemplos y Preguntas con Soluciones

Se presentan ejemplos y preguntas sobre matrices junto con sus soluciones.

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Definición de Matriz

Los siguientes son ejemplos de matrices (plural de matrix).

Ejemplos de matrices
Una m × n (léase 'm por n') matriz es una disposición de números (o expresiones algebraicas) en m filas y n columnas. Cada número en una matriz dada se llama elemento o entrada.
Una matriz cero tiene todos sus elementos iguales a cero.


Ejemplo 1
La siguiente matriz tiene 3 filas y 6 columnas.

Matriz de 3 filas y 6 columnas
El orden (o dimensiones o tamaño) de una matriz indica el número de filas y el número de columnas de la matriz. En este ejemplo, el orden de la matriz es 3 × 6 (léase '3 por 6').



Entrada de matriz (o elemento)

\( \) \( \) \( \) \( \)

La entrada (o elemento) en una fila i y columna j de una matriz A (letra A mayúscula) se denota con el símbolo \((A)_{ij} \) o \( a_{ij} \) (letra a minúscula).


Ejemplo 2

En la matriz A que se muestra a continuación, \(a_{11} = 5 \), \(a_{12} = 2 \), etc... o \( (A)_{11} = 5 \), \( (A)_{12} = 2\), etc... \[ \textbf{A} = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 7 & -3 \\ -9 & -2 & -7 & 11\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ \end{bmatrix} \]



Matriz cuadrada

Una matriz cuadrada tiene el número de filas igual al número de columnas.


Ejemplo 3

Para cada matriz a continuación, determine el orden y diga si es una matriz cuadrada.
\[ a) \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 3 \\ 4 & -3 & -7 & -9\\ \end{bmatrix} \;\;\;\; b) \begin{bmatrix} -6 & 2 & 0 \\ 3 & -3 & 4 \\ -5 & -11 & 9 \end{bmatrix} \;\;\;\; \\ c) \begin{bmatrix} 1 & -2 & 5 & -2 \end{bmatrix} \;\;\;\; d) \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} \;\;\;\; e) \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix} \]
Soluciones
a) orden: 2 × 4. El número de filas y columnas no es igual, por lo tanto, no es una matriz cuadrada.
b) orden: 3 × 3. El número de filas y columnas es igual, por lo que esta matriz es una matriz cuadrada.
c) orden: 1 × 4. El número de filas y columnas no es igual, por lo tanto, no es una matriz cuadrada. Una matriz con una fila se llama matriz fila (o vector fila).
d) orden: 2 × 2. El número de filas y columnas es igual, por lo tanto, esta es una matriz cuadrada.
e) orden: 1 × 1. El número de filas y columnas es igual, por lo que esta matriz es una matriz cuadrada.



Matriz de Identidad

Una matriz identidad In es una matriz cuadrada n×n con todos sus elementos en el diagonal igual a 1 y todos los demás elementos iguales a cero.
Ejemplo 4
Las siguientes son todas las matrices de identidad. \[I_1= \begin{bmatrix} 1 \\ \end{bmatrix} \quad , \quad I_2= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0& 1 \end{bmatrix} \quad , \quad I_3= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]



Matriz Diagonal

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada con todos sus elementos (entradas) iguales a cero excepto los elementos en la diagonal principal de arriba a la izquierda a abajo a la derecha. \[A = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \]



Matriz triangular

Una matriz triangular superior es una matriz cuadrada con todos sus elementos por debajo de la diagonal principal igual a cero. La matriz U que se muestra a continuación es un ejemplo de una matriz triangular superior. Una matriz triangular inferior es una matriz cuadrada con todos sus elementos por encima de la diagonal principal iguales a cero. La matriz L que se muestra a continuación es un ejemplo de una matriz triangular inferior.
\(U = \begin{bmatrix} 6 & 2 & -5 \\ 0 & -2 & 7 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \qquad L = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ -2 & -2 & 0 \\ 10 & 9 & 2 \end{bmatrix} \)



Transponer de una Matriz

La transpuesta de una matriz m×n \( A \) se denota \( A^T \) con orden n×m y definida por \[ (A^T)_{ij} = (A)_{ji} \] La matriz \( A^T \) se obtiene transponiendo (intercambiando) las filas y columnas de la matriz \( A \).
Ejemplo 5
\[ \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ -2 & -2\\ 10 & 9 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} 6 & -2 & 10 \\ 0 & -2 &9\\ \end{bmatrix} \] Transponga una matriz un número par de veces y obtendrá la matriz original: \( ((A)^T)^T = A \). Transponga la matriz un número impar de veces y obtendrá la matriz transpuesta: \( (((A)^T)^T)^T = A^T \).
La transpuesta de cualquier matriz diagonal cuadrada es la matriz misma. \[ \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix} \]



Matriz simétrica

Una matriz cuadrada es simétrica si sus elementos son tales que \( A_{ij} = A_{ji} \) en otras palabras \( A \) es simétrica si \(A = A^T \).
Ejemplo 6
Matrices simétricas \[ \begin{bmatrix} 4 & -2 & 1 \\ -2 & 5 & 7 \\ 1 & 7 & 8 \end{bmatrix} \]



Preguntas sobre Matrices: Parte A

Dadas las matrices: \[ A = \begin{bmatrix} -1 & 23 & 10 \\ 0 & -2 & -11 \\ \end{bmatrix} ,\quad B = \begin{bmatrix} -6 & 2 & 10 \\ 3 & -3 & 4 \\ -5 & -11 & 9 \\ 1 & -1 & 9 \end{bmatrix} ,\quad C = \begin{bmatrix} -3 & 2 & 9 & -5 & 7 \end{bmatrix} \\ D = \begin{bmatrix} -2 & 6 \\ -5 & 2\\ \end{bmatrix} ,\quad E = \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix} ,\quad F = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ -11 \\ 7 \end{bmatrix} ,\quad G = \begin{bmatrix} -6 & -4 & 23 \\ -4 & -3 & 4 \\ 23 & 4 & 9 \\ \end{bmatrix} \]
a) ¿Cuál es la dimensión de cada matriz?
b) ¿Qué matrices son cuadradas?
c) ¿Qué matrices son simétricas?
d) ¿Qué matriz tiene la entrada en la fila 3 y la columna 2 igual a -11?
e) ¿Qué matrices tienen la entrada en la fila 1 y la columna 3 igual a 10?
f) ¿Cuáles son las matrices columna?
g) ¿Cuáles son las matrices fila?
h) Encuentra \( A^T , C^T , E^T , G^T \).



Preguntas sobre Matrices: Parte B

1) Dadas las matrices: \[ A = \begin{bmatrix} 23 & 10 \\ 0 & -11 \\ \end{bmatrix} ,\quad B = \begin{bmatrix} -6 & 0 & 0 \\ -1 & -3 & 0 \\ -5 & 3 & -9 \\ \end{bmatrix} ,\quad C = \begin{bmatrix} -3 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix} \\ ,\quad D = \begin{bmatrix} -7 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 9 \\ \end{bmatrix} ,\quad E = \begin{bmatrix} 12 & 0 & 0 \\ 0 & 23 & 0 \\ 0 & 0 & -19\\ \end{bmatrix} \]
a) ¿Cuáles de las matrices anteriores son diagonales?
b) ¿Cuáles de las matrices anteriores son triangulares inferiores?
c) ¿Cuáles de las matrices anteriores son triangulares superiores?



Soluciones a las preguntas de la Parte A

a) A: 2 × 3, B: 4 × 3, C: 1 × 5, D: 2 × 2, E: 1 × 1, F: 4 × 1, G: 3 × 3,
b) D, E y G
c) E y G
d) B
e) A y B
f) E y F
g) E y C
h) \[ A^T = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 23 & -2 \\ 10 & -11 \end{bmatrix} ,\quad C^T = \begin{bmatrix} -3 \\ 2\\ 9\\-5\\7 \end{bmatrix} ,\quad E^T = \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix} ,\quad G^T = \begin{bmatrix} -6 & -4 & 23\\ -4 & -3 & 4\\ 23 & 4 & 9 \end{bmatrix} \]


Soluciones a las preguntas de la Parte B

a) C y E
b) B
c) A y D


Más referencias y enlaces