Escribir una Matriz en Forma Escalonada Reducida por Filas

Presentamos la definición de una matriz en forma escalonada por filas y una matriz en forma escalonada reducida por filas. Luego resolvemos ejemplos sobre cómo escribir una matriz dada en forma escalonada por filas y luego en forma escalonada reducida por filas utilizando las tres operaciones de fila . También se incluyen más preguntas con soluciones detalladas.

Matriz en Forma Escalonada por Filas (REF)

Una matriz en forma escalonada por filas sigue las siguientes reglas:

Si una fila no contiene solo ceros, el primer número distinto de cero, llamado pivote, en ella es un 1, también llamado 1 principal. (Tenga en cuenta que algunos autores no requieren que este número distinto de cero sea un 1, ¡consulte con su instructor!).
Para dos filas sucesivas con unos principales, el 1 en la fila inferior está a la derecha del 1 en la fila superior.
Cualquier fila que solo tenga ceros se ubica en la parte inferior de la matriz.

Ejemplo 1
Para cada matriz, use las reglas anteriores para explicar si está en forma escalonada por filas o no.
Matrices en Forma Escalonada por Filas

Solución al Ejemplo 1
a) La matriz en la parte a) no está en forma escalonada por filas porque se viola la regla 2: el 1 principal en la fila 3 está a la izquierda del 1 principal en la fila 2; debería estar a la derecha.
b) La matriz en la parte b) no está en forma escalonada por filas porque se viola la regla 3: la fila 2 tiene solo ceros y no está en la parte inferior.
c) La matriz en la parte c) está en forma escalonada por filas.
d) La matriz en la parte d) no está en forma escalonada por filas porque se violan las reglas 2 y 3. La fila superior tiene todos ceros y debería estar en la parte inferior, la fila 3 tiene un 1 principal que está a la izquierda del 1 principal en la fila 2. Debería estar a la derecha.
e) La matriz en la parte e) está en forma escalonada por filas.

Matriz en Forma Escalonada Reducida por Filas (RREF)

Una matriz está en forma escalonada reducida por filas si está en forma escalonada por filas y tiene ceros arriba y abajo de los unos principales.

Ejemplo 2
¿Cuál de las siguientes matrices está en forma escalonada por filas y cuáles están en forma escalonada reducida por filas?
Matrices en Forma Escalonada Reducida por Filas

Solución al Ejemplo 2
Forma escalonada por filas: a) b) d) porque obedecen las reglas de la forma escalonada por filas
Forma escalonada reducida por filas: b) d) porque obedecen las reglas de la forma escalonada por filas y tienen ceros debajo y arriba de los unos principales en cada fila.
Nota que la matriz en a) está en forma escalonada por filas pero no reducida porque arriba del 1 principal en la fila 2 hay un 1.

Operaciones de Fila para Escribir una Matriz en Forma Escalonada por Filas

Ahora usamos las tres operaciones de fila enumeradas a continuación para escribir una matriz dada en forma escalonada por filas.

Intercambiar dos filas
Sumar un múltiplo de una fila a otra
Multiplicar una fila por una constante distinta de cero

Ejemplo 3
Utilice cualquiera de las tres operaciones de fila anteriores para escribir las matrices en las partes a) b) y d) del ejemplo 1 en forma escalonada por filas.
\( \)\( \)\( \)\( \) Solución al Ejemplo 3
a) Intercambie la fila 2 y 3 y reescriba la matriz como
\(\begin{bmatrix} 1 & 1 & - 1 & -3\\ 0 & 1 & - 6 & - 12 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \)

b) Intercambie la fila 2 y 3 y reescriba la matriz como
\(\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)

d) Intercambie la fila 1 y la fila 3 y reescriba la matriz como
\(\begin{bmatrix} 1 & 6 & - 1 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)

Ejemplo 4
Utilice cualquiera de las tres operaciones de fila anteriores, o cualquier combinación, para escribir la matriz \(\begin{bmatrix} 3 & 0 & -3 & 6 \\ 2 & 0 & -4 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 1 & 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \) en forma escalonada reducida por filas.

Solución al Ejemplo 4
Dada \(\begin{bmatrix} 3 & 0 & -3 & 6 \\ 2 & 0 & -4 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 1 & 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \)

Hay dos partes en el proceso de reescribir una matriz en forma escalonada reducida por filas.

Parte 1: Primero reescribimos la matriz dada en forma escalonada por filas

Procedemos por columna comenzando desde la más a la izquierda.

PASO 1: Encuentre un 1 principal, llamado pivote, en la columna 1 si lo hay y ceros debajo de él
Necesitamos una fila con un valor distinto de cero en la columna (1) y la colocamos en la parte superior.
Hay muchas opciones aquí: se pueden usar las filas (1), (2) y (4). La forma más sencilla aquí es multiplicar todos los términos de la fila (1) por \( \dfrac{1}{3} \) y simplificar
\( \begin{matrix} \color{red}{\frac{1}{3} R_1} \\ \\ \\ \\ \end{matrix} \) \( \begin{bmatrix} 3 & 0 & -3 & 6 \\ 2 & 0 & -4 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 1 & 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \) = \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & -4 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 1 & 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \)

Ahora necesitamos ceros debajo del 1 principal en la fila (1).
La fila (2) tiene un 2 en la columna (1) y una forma de hacerlo igual a cero es sumarle -2. Una forma es sumar -2 veces la fila (1) a la fila (2).
Además, la fila (4) tiene un uno en la columna (1) y una forma de hacerlo igual a cero es sumarle -1. Una forma es sumar -1 veces la fila (1) a la fila (4)
\( \begin{matrix} \\ \color{red}{R_2 - 2 R_1}\\ \\ \color{red}{R_3 - R_1}\\ \end{matrix} \) \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ \color{red}{2 - 2} & \color{red}{0 - 0} & \color{red}{-4 + 2} & \color{red}{2 - 4}\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ \color{red}{1 - 1} & \color{red}{1 - 0} & \color{red} {-2 - (-1)} & \color{red} {1 - 2} \end{bmatrix} \) = \( \begin{bmatrix} \color{blue}1 & 0 & -1 & 2 \\ \color{magenta}0 & 0 & - 2 & - 2\\ \color{magenta}0 & 1 & 1 & 3\\ \color{magenta}0 & 1 & -1 & -1 \end{bmatrix} \)

PASO 2: Encuentre un 1 principal, llamado pivote, en la columna 2 si lo hay y ceros debajo de él
Ahora necesitamos una fila entre las filas (2), (3) y (4) con un valor distinto de cero en la columna (2); dos opciones filas (3) o (4). Intercambie las filas (2) y (4)
\( \begin{matrix} \\ \color{red}{R_4}\\ \\ \color{red}{R_2}\\ \end{matrix} \) \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & 0 & - 2 & - 2 \end{bmatrix} \)

La fila (2) tiene un 1, que es el pivote, en la columna (2) y por lo tanto la fila (3) debe tener un cero en la columna (2). Sume -1 veces la fila (2) a la fila (3) y simplifique.
\( \begin{matrix} \\ \\ \color{red}{R_3 - R_2}\\ \\ \end{matrix} \) \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -1\\ \color{red}{0-0}& \color{red}{1-1}& \color{red}{1-(-1)} & \color{red}{3-(-1)}\\ 0 & 0 & - 2 & - 2 \end{bmatrix} \) = \( \begin{bmatrix} \color{blue}1 & 0 & -1 & 2 \\ \color{magenta}0 & \color{blue}1 & -1 & -1\\ \color{magenta}0 & \color{magenta}0 & 2 & 4\\ \color{magenta}0 & \color{magenta}0 & - 2 & - 2 \end{bmatrix} \)

PASO 3: Encuentre un 1 principal, llamado pivote, en la columna 3 si lo hay y ceros debajo de él
Ahora tenemos un valor distinto de cero en la columna (3) fila (3), necesitamos tener un cero en la columna (3) de la fila (4). Esto se puede hacer simplemente sumando la fila (3) a la fila (4).
\( \begin{matrix} \\ \\ \\ \color{red}{R_4+R_3}\\ \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 2 & 4\\ 0+ 0 & 0+0 & - 2+2 & - 2+4 \end{bmatrix} \) = \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \)

Se obtiene un 1 principal en la fila (3), que también es el pivote de la columna (3), y un 1 principal en la fila (4) multiplicando la fila (3) por \( \dfrac{1}{2} \) y la fila (4) por \( \dfrac{1}{2} \).
\( \begin{matrix} \\ \\ \color{red}{\frac{1}{2} R_3}\\ \color{red}{\frac{1}{2} R_4}\\ \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \) = \( \begin{bmatrix} \color{blue}1 & 0 & -1 & 2 \\ \color{magenta}0 & \color{blue}1 & -1 & -1\\ \color{magenta}0 & \color{magenta}0 & \color{blue}1 & 2\\ \color{magenta}0 & \color{magenta}0 & \color{magenta}0 & \color{blue}1 \end{bmatrix} \)

Conclusión: Nuestra matriz ha sido escrita en forma escalonada por filas.

Parte 2: Ahora continuamos para reescribirla en forma escalonada reducida por filas

Procedemos por columna comenzando desde la columna más a la derecha que tiene un pivote.
PASO 4: Todos los números arriba del uno principal en la fila 4 deben ser cero
Sume -2 veces la fila 4 a la fila 1; sume la fila 4 a la fila 1 y sume -2 veces la fila 4 a la fila 3.
\( \begin{matrix} \color{red}{R_1 - 2 R_4}\\ \color{red}{R_2 + R_4} \\ \color{red}{R_3 - 2 R_4} \\ \\ \end{matrix} \begin{bmatrix} \color{blue}1 & 0 & -1 & \color{magenta}0 \\ 0 & \color{blue}1 & -1 & \color{magenta}0\\ 0 & 0 & \color{blue}1 & \color{magenta}0\\ 0 & 0 & 0 & \color{blue}1 \end{bmatrix} \)

PASO 5: Todos los números arriba del uno principal en la fila 3 deben ser cero
Sume la fila 3 a la fila 1; sume la fila 3 a la fila 2
\( \begin{matrix} \color{red}{R_1 + R_3}\\ \color{red}{R_2 + R_3} \\ \\ \\ \end{matrix} \begin{bmatrix} \color{blue}1 & \color{magenta}0 & \color{magenta}0 & \color{magenta}0 \\ 0 & \color{blue}1 & \color{magenta}0 & \color{magenta}0\\ 0 & 0 & \color{blue}1 & \color{magenta}0\\ 0 & 0 & 0 & \color{blue}1 \end{bmatrix} \)
El número arriba del 1 en la fila 2 ya es cero y no se necesitan cálculos.
Conclusión: La matriz dada en el ejemplo 4 se escribió primero en forma escalonada por filas en la parte 1 y luego continuamos y la escribimos en forma escalonada reducida por filas en la parte 2.

Se incluye una calculadora para reducir matrices por filas .

Preguntas con Solución

Parte 1
a) ¿Cuál de las siguientes matrices NO está en forma escalonada por filas? Explique por qué.
b) De las matrices que están en forma escalonada por filas, ¿cuáles NO están en forma escalonada reducida por filas? Explique por qué.

\(\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 2 & -3 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} \)

\(\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix} \)

\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix} \)

\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 \end{bmatrix} \)

\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -9\\ 0 & 1 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \)

\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix} \)

Parte 2
Reescriba en forma reducida por filas las siguientes matrices.

\(\begin{bmatrix} 2 & 4 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{bmatrix} \)

\(\begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 & 0\\ 2 & 1 & 0 & -1\\ 5 & 0 & -2 & 6 \end{bmatrix} \)

\(\begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 & 1 & 1\\ 1 & -2 & -1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2 & -2 & 1 \\ -1 & 3 & 4 & 2 & 0 \end{bmatrix} \)

Soluciones a las Preguntas Anteriores

Parte 1
a) Matrices 1. y 3.
En la matriz 1., el 1 en la columna (2) de la fila (4) hace que esa matriz NO sea una forma escalonada por filas.
En la matriz 3., el 1 en la columna (1) de la fila (2) hace que esa matriz NO sea una forma escalonada por filas
b) Matrices 2. y 5.
En la matriz 2., el -1 y 2 en la fila (1) y el 2 en la fila (2) hacen que esa matriz NO sea una forma escalonada reducida por filas.
En la matriz 5., el 1 en la columna (3) de la fila (2) hace que esa matriz NO sea una forma escalonada reducida por filas.

Parte 2
1)
Escriba la matriz dada en forma escalonada por filas
\( \begin{matrix} \color{red}{\frac{1}{2} R_1} \\ \\ \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \end{bmatrix} \)

\( \begin{matrix} \\ \color{red}{R_2+ R_1} \\ \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} \)

\( \begin{matrix} \\ \color{red}{\frac{1}{2} R_2} \\ \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1/4 \end{bmatrix} \)

Escriba la matriz anterior en forma escalonada reducida por filas
\( \begin{matrix} \color{red}{R_1 - 2 R_2} \\ \\ \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & 1/4 \end{bmatrix} \)

2)
Escriba la matriz dada en forma escalonada por filas
\( \begin{matrix} \color{red}{ - R_1 } \\ \\ \\ \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 0\\ 2 & 1 & 0 & -1\\ 5 & 0 & -2 & 6 \end{bmatrix} \)

\( \begin{matrix} \\ \color{red}{ R_2 - 2 R_1 } \\ \color{red}{ R_3 - 5 R_1 } \\ \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 5 & 2 & -1\\ 0 & 10 & 3 & 6 \end{bmatrix} \)

\( \begin{matrix} \\ \color{red}{\frac{1}{5} R_2} \\ \\ \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 2/5 & -1/5\\ 0 & 10 & 3 & 6 \end{bmatrix} \)

\( \begin{matrix} \\ \\ \color{red}{ R_3 - 10 R_2 } \\ \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 2/5 & -1/5\\ 0 & 0 & -1 & 8 \end{bmatrix} \)

\( \begin{matrix} \\ \\ \color{red}{- R_3}\\ \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 2/5 & -1/5\\ 0 & 0 & 1 & -8 \end{bmatrix} \)

Escriba la matriz anterior en forma escalonada reducida por filas
\( \begin{matrix} \color{red}{R_1 + R_3} \\ \color{red}{ R_2 - (2/5) R_3 } \\ \\ \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -8\\ 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -8 \end{bmatrix} \)

\( \begin{matrix} \color{red}{R_1 + 2 R_2} \\ \\ \\ \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & - 2\\ 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -8 \end{bmatrix} \)

3)
Escriba la matriz dada en forma escalonada por filas
\( \begin{matrix} \color{red}{ - R_1 } \\ \\ \\ \\ \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 & -1\\ 1 & -2 & -1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2 & -2 & 1 \\ -1 & 3 & 4 & 2 & 0 \end{bmatrix} \)

\( \begin{matrix} \\ \color{red}{R_2 - R_1}\\ \\ \color{red}{R_4 + R_1}\\ \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & -1 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 4 & 1 & -1 \end{bmatrix} \)

\( \begin{matrix} \\ \color{red}{\text{intercambiar} \; R_2 \; \text{y} \; R_3}\\ \color{red}{\text{intercambiar} \; R_3 \; \text{y} \; R_2}\\ \color{red}{R_4 - R_3}\\ \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 2 & -2 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & -2 \end{bmatrix} \)

\( \begin{matrix} \\ \\ \color{red}{ - R_3}\\ \color{red}{R_4 +2 R_3}\\ \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 2 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & 6 \end{bmatrix} \)

\( \begin{matrix} \\ \\ \\ \color{red}{ \frac{1}{9} R_4}\\ \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 2 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2/3 \end{bmatrix} \)

Escriba la matriz anterior en forma escalonada reducida por filas
\( \begin{matrix} \color{red}{R_1 + R_4}\\ \color{red}{R_2 + 2 R_4}\\ \color{red}{R_3 + 3 R_4} \\ \\ \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 0 & -1/3\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 7/3\\ 0 & 0 & 1 & 0 & - 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2/3 \end{bmatrix} \)

\( \begin{matrix} \\ \color{red}{R_2 - 2 R_3}\\ \\ \\ \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 0 & -1/3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 19/3\\ 0 & 0 & 1 & 0 & - 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2/3 \end{bmatrix} \)

\( \begin{matrix} \color{red}{R_1 + 2 R_2}\\ \\ \\ \\ \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 37/3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 19/3\\ 0 & 0 & 1 & 0 & - 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2/3 \end{bmatrix} \)