Operaciones de Fila y Matrices Elementales

Mostramos que cuando realizamos operaciones elementales de fila en sistemas de ecuaciones representados por

Matriz Elemental Equivalente a Intercambiar dos Filas de una Matriz

Comenzamos con el sistema dado en forma matricial Intercambie las filas (1) y (3) y reescriba el sistema como Consideremos ahora la matriz identidad

Intercambiamos la fila (1) y (3) en para obtener la matriz elemental dada por
y multiplicamos ambos lados del sistema (I) por de la siguiente manera
Multiplique las matrices, usando la asociatividad en el lado izquierdo, y simplifique para obtener

que es el sistema de ecuaciones (II) obtenido anteriormente al intercambiar las filas (1) y (3) en el sistema (I).
Conclusión : Intercambiar las filas (1) y (3) es equivalente a multiplicar (por la izquierda) los dos lados del sistema por la matriz elemental obtenida de la matriz identidad .

Matriz Elemental Equivalente a Multiplicar una Fila por una Constante en una Matriz

Consideremos ahora el sistema de ecuaciones (II) y multipliquemos la fila (3) por 2 para obtener \( \)\( \) \( \)
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -1 \\ -2 & 4 & - 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \\ -10 \end{bmatrix} (III) \]
Tome \( I_3 \) multiplique su tercera fila por 2 para obtener la matriz elemental \( E_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \) y multiplique ambos lados del sistema (II) por \( E_2 \) de la siguiente manera:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & - 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \\ -5 \end{bmatrix} \]
Use la asociatividad, multiplique y simplifique lo anterior para obtener
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -1 \\ -2 & 4 & - 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \\ -10 \end{bmatrix} \]
que es exactamente el sistema de ecuaciones (III).
Conclusión: Multiplicar la fila (3) por 2 es equivalente a multiplicar los dos lados del sistema por la matriz elemental \( E_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\) obtenida de la matriz identidad \( I_3 \).

Matriz Elemental Equivalente a Sumar un Múltiplo de una Fila a Otra Fila en una Matriz

Consideremos ahora el sistema de ecuaciones (III), multiplique la fila (1) por - 2 y súmela a la fila (2) para obtener:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & - 5 & 1 \\ -2 & 4 & - 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 10 \\ -10 \end{bmatrix} (IV) \]
Tome \( I_3 \) multiplique su fila (1) por - 2 y súmela a la fila (2) para obtener \( E_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) y multiplique ambos lados del sistema (III) por \( E_3 \) de la siguiente manera:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -1 \\ -2 & 4 & - 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \\ -10 \end{bmatrix} \]
Use la asociatividad, multiplique y simplifique lo anterior para obtener

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & - 5 & 1 \\ -2 & 4 & - 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 10 \\ -10 \end{bmatrix} \]
que es exactamente el sistema de ecuaciones (IV).
Conclusión: Sumar la fila (1) multiplicada por - 2 a la fila (2) es equivalente a multiplicar los dos lados del sistema por la matriz elemental \( E_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\) obtenida de la matriz identidad \( I_3 \).

Inversa de las Matrices Elementales

Una de las ventajas de usar matrices elementales es que su inversa se puede obtener sin cálculos pesados.

Inversa de la Matriz Elemental E₁
En los ejemplos anteriores, obtuvimos la matriz elemental \( E_1 \) al intercambiar las filas (1) y (3), la inversa de \( E_1 \) se obtiene de I₃ al intercambiar las filas (3) y (1); por lo tanto, la inversa de \( E_1 \) está dada por \[ E_1^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]
Ahora comprobamos que
\( E_1 \cdot E_1^{-1} = E_1^{-1} \cdot E_1^ = I_3 \)
\[ E_1 \cdot E_1^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\] No hay necesidad de comprobar que \( E_1^{-1} \cdot E_1^ = I_3 \) porque \( E_1 = E_1^{-1} \).

Inversa de la Matriz Elemental E₂
En los ejemplos anteriores, obtuvimos la matriz elemental \( E_2 \) al multiplicar la fila (3) por 2, la inversa de \( E_2 \) se obtiene de I₃ al dividir la fila (3) por 2; por lo tanto, la inversa de \( E_2 \) está dada por \[ E_2^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1/2 \end{bmatrix} \]
Ahora comprobamos que
\( E_2 \cdot E_2^{-1} = E_2^{-1} \cdot E_2^ = I_3 \)
\[ E_2 \cdot E_2^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]
\[ E_2^{-1} \cdot E_2^ = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1/2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

Inversa de la Matriz Elemental E₃
En los ejemplos anteriores, obtuvimos la matriz elemental \( E_3 \) al multiplicar la fila (1) por - 2 y sumarla a la fila (2). La inversa de \( E_3 \) se obtiene de I₃ al multiplicar la fila (1) por - 2 y restarla de la fila (2); por lo tanto, la inversa de \( E_3 \) está dada por \[ E_3^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Ahora comprobamos que
\( E_3 \cdot E_3^{-1} = E_3^{-1} \cdot E_3^ = I_3 \)
\[ E_3 \cdot E_3^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]
\[ E_3^{-1} \cdot E_3^ = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

Preguntas sobre Matrices Elementales

• Parte 1
  ¿Cuál de las siguientes es una matriz elemental? Explique. \[ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\\ \end{bmatrix} ,\quad B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} ,\quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 4 & 1 \end{bmatrix} \\ ,\quad D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -5 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} ,\quad E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} ,\quad F = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 7 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
  
• Parte 2
  ¿Cuál es la matriz elemental de los sistemas de la forma \[ A X = B \] para las siguientes operaciones de fila?
  A) A es una matriz de 2 por 2, ¿sumar 3 veces la fila (1) a la fila (2)?
  B) A es una matriz de 3 por 3, multiplicar la fila (3) por - 6.
  C) A es una matriz de 5 por 5, multiplicar la fila (2) por 10 y sumarla a la fila 3.
  
  
• Parte 3
  Encuentre la inversa de cada matriz elemental encontrada en la parte 2.

Soluciones

• Parte 1
  A : intercambiar las filas (1) y (2)
  B: intercambiar las filas (2) y (3)
  C: sumar 4 veces la fila (1) a la fila (2)
  D: sumar - 5 veces la fila (1) a la fila (3)
  E: no es una matriz elemental
  F: sumar 7 veces la fila (1) a la fila (3)
  
• Parte 2
  A) \( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1\\ \end{bmatrix} \)
  
  B) \( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -6 \end{bmatrix} \)
  
  C) \( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 &0 & 0 \\ 0 & 10 & 1 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
  
• Parte 3
  La inversa de las matrices elementales en la parte 2.
  
  A) Multiplicar la fila (1) por - 3 veces y sumarla a la fila (3)
  \( A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1\\ \end{bmatrix} \)
  
  B) Dividir la fila (3) por - 6
  \( A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1/6 \end{bmatrix} \)
  
  C) multiplicar la fila (2) por - 10 y sumarla a la fila (3).
  \( A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 &0 & 0 \\ 0 & -10 & 1 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

Más Referencias y Enlaces

• Matrices con Ejemplos y Preguntas con Soluciones
• Calculadora de forma escalonada por filas
• Calculadora para Reducir Matrices Aumentadas por Filas
• Álgebra Lineal
• Sumar, Restar y Multiplicar Matrices por un Escalar
• Preguntas sobre Matriz Inversa con Soluciones
• Multiplicación y Potencia de Matrices
• Matriz (matemáticas)