La matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales está compuesta por la matriz de los coeficientes de las incógnitas aumentada por la matriz de las constantes.
Sea un sistema de ecuaciones lineales 
, con las incógnitas 
, dado por
Escribe el sistema de ecuaciones lineales anterior usando matrices.
La matriz aumentada del sistema anterior está dada por
Nota los separadores verticales entre la matriz de coeficientes y la matriz de constantes.
es la matriz de los coeficientes de las variables y
es la matriz de las constantes.
Ejemplo 1
Escribe la matriz aumentada para los sistemas dados.
Solución al Ejemplo 1
Las matrices aumentadas de los sistemas de ecuaciones dados son:
Ejemplo 2
\( \)\( \)\( \)
Escribe los sistemas de ecuaciones cuyas matrices aumentadas se dan a continuación.
a)
\( \begin{bmatrix}
0 & 1 &|& 4\\
-2 & 0 &|& 0
\end{bmatrix}
\)
b)
\( \begin{bmatrix}
-9 & 0 & 0 &|& 4\\
0 & 3 & 0 &|& -1 \\
1 & -3 & 9 &|& -7
\end{bmatrix}
\)
c)
\( \begin{bmatrix}
-4 & 0 & -1 & 0 &|& -4\\
7 & 0 & -2 & 7 &|& -2\\
4 & 0 & 0 & -8 &|& 0 \\
-1 & -5 & 7 & 0 &|& -1
\end{bmatrix}
\)
Solución al Ejemplo 2
a)
\( \left\{
\begin{array}{lcl}
y & = & 4 \\
-2x & = & 0
\end{array}
\right.
\)
b)
\( \left\{
\begin{array}{lcl}
-9x & = & 4 \\
3y & = & -1 \\
x -3y + 9z & = & -7
\end{array}
\right.
\)
c)
\( \left\{
\begin{array}{lcl}
-4x - z & = & -4 \\
7x - 2 z + 7 w & = & -2 \\
4x - 8w & = & 0 \\
-x -5 y + 7z & = & -1
\end{array}
\right.
\)
Ahora mostramos que las tres operaciones elementales sobre las ecuaciones de un sistema tienen tres operaciones elementales equivalentes sobre las filas de la matriz aumentada del sistema.
| Operaciones sobre Ecuaciones | Operaciones sobre Filas de la Matriz Aumentada |
|---|---|
|
|
A continuación se presenta un ejemplo que muestra que los dos tipos de operaciones son equivalentes.
Ejemplo 3
Utiliza operaciones sobre ecuaciones y las mismas operaciones sobre filas de la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales dado a continuación y muestra que los sistemas obtenidos corresponden a las matrices aumentadas obtenidas.
\( \left\{
\begin{array}{lcl}
x + y - z & = & -3 \\
-x + 3y + 2z & = & 5 \\
x + 5z & = & 9
\end{array}
\right.
\)
Solución al Ejemplo 3
En lo que sigue, las ecuaciones en el sistema y las filas en la matriz aumentada se clasifican de la siguiente manera: la ecuación (1) es la ecuación superior, la ecuación (2) es la segunda ecuación desde arriba y así sucesivamente, y de manera similar para las filas; la fila (1) es la fila superior, la fila (2) es la segunda fila desde arriba y así sucesivamente.
| Sistema de Ecuaciones | Matriz Aumentada Correspondiente |
| Dado: \( \left\{ \begin{array}{lcl} x + y - z & = & -3 \\ -x + 3y + 2z & = & 5 \\ x + 5z & = & 9 \end{array} \right. \) | \(\begin{bmatrix} 1 & 1 & - 1 &|& -3\\ -1 & 3 & 2 &|& 5 \\ 1 & 0 & 5 &|& 9 \end{bmatrix} \) |
| sumar la ecuación (1) a la ecuación (2) | Sumar la fila (1) a la fila (2) |
| \( \left\{ \begin{array}{lcl} x + y - z & = & -3 \\ 0x + 4y + z & = & 2 \\ x + 5z & = & 9 \end{array} \right. \) | \( \color{red}{\begin{matrix} \\ R_2 + R_1\\ \\ \end{matrix}} \) \(\begin{bmatrix} 1 & 1 & - 1 &|& -3\\ 0 & 4 & 1 &|& 2 \\ 1 & 0 & 5 &|& 9 \end{bmatrix} \) |
| sumar \( -1 \) veces la ecuación (1) a la ecuación (3) | Sumar \( -1 \) veces la fila (1) a la fila (3) |
| \( \left\{ \begin{array}{lcl} x + y - z & = & -3 \\ 0x + 4y + z & = & 2 \\ 0x - y + 6 z & = & 12 \end{array} \right. \) | \( \color{red}{\begin{matrix} \\ \\ R_3 - R_1\\ \end{matrix}} \) \(\begin{bmatrix} 1 & 1 & - 1 &|& -3\\ 0 & 4 & 1 &|& 2 \\ 0 & -1 & 6 &|& 12 \end{bmatrix} \) |
| Intercambiar las ecuaciones (2) y (3) | Intercambiar las filas (2) y (3) |
| \( \left\{ \begin{array}{lcl} x + y - z & = & -3 \\ 0x - y + 6 z & = & 12\\ 0x + 4y + z & = & 2 \end{array} \right. \) | \( \color{red}{\begin{matrix} \\ R_3\\ R_2\\ \end{matrix}} \) \(\begin{bmatrix} 1 & 1 & - 1 &|& -3\\ 0 & -1 & 6 &|& 12\\ 0 & 4 & 1 &|& 2 \end{bmatrix} \) |
| Sumar 4 veces la ecuación (2) a la ecuación (3) | Sumar 4 veces la fila (2) a la fila (3) |
| \( \left\{ \begin{array}{lcl} x + y - z & = & -3 \\ 0x - y + 6 z & = & 12\\ 0x + 0y + 25z & = & 50 \end{array} \right. \) | \( \color{red}{\begin{matrix} \\ \\ R_3 + 4R_2\\ \end{matrix}} \) \(\begin{bmatrix} 1 & 1 & - 1 &|& -3\\ 0 & -1 & 6 &|& 12\\ 0 & 0 & 25 &|& 50 \end{bmatrix} \) |
| Multiplicar todos los términos de la ecuación (2) por \( -1 \) | Multiplicar todos los términos de la fila (2) por \( -1 \) |
| \( \left\{ \begin{array}{lcl} x + y - z & = & -3 \\ 0x + y - 6 z & = & - 12\\ 0x + 0y + 25z & = & 50 \end{array} \right. \) | \( \color{red}{\begin{matrix} \\ -R_2\\ \\ \end{matrix}} \) \(\begin{bmatrix} 1 & 1 & - 1 &|& -3\\ 0 & 1 & - 6 &|& - 12\\ 0 & 0 & 25 &|& 50 \end{bmatrix} \) |
| Multiplicar todos los términos de la ecuación (3) por \( \dfrac{1}{25} \) | Multiplicar todos los términos de la fila (3) por \( \dfrac{1}{25} \) |
| \( \left\{ \begin{array}{lcl} x + y - z & = & -3 \\ 0x + y - 6 z & = & - 12\\ 0x + 0y + z & = & 2 \end{array} \right. \) | \( \color{red}{\begin{matrix} \\ \\ (1/25)R_3\\ \end{matrix}} \) \(\begin{bmatrix} 1 & 1 & - 1 &|& -3\\ 0 & 1 & - 6 &|& - 12\\ 0 & 0 & 1 &|& 2 \end{bmatrix} \) |
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