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Si podemos expresar el vector u1
como una combinación lineal de los vectores u2 y u3 , decimos que estos 3 vectores son linealmente dependientes.
que puede escribirse como
Por lo tanto, la siguiente definición
Dado un conjunto de vectores 
Si la ecuación
tiene una única solución trivial 
, decimos que W es un conjunto de vectores linealmente independientes.
Si la ecuación anterior tiene otras soluciones, entonces W es un conjunto de vectores linealmente dependientes.
Se incluyen más pruebas de linealidad de vectores en un subespacio.
Ejemplo 1
Demuestre que los vectores
\( \) \( \) \( \)
\( \textbf{u}_1 = \begin{bmatrix}
1 \\
3
\end{bmatrix}
\)
y
\( \textbf{u}_2 = \begin{bmatrix}
-5 \\
-15
\end{bmatrix}
\)
son linealmente dependientes.
Solución del Ejemplo 1
Dos formas de responder esta pregunta
1)
Existe una relación obvia entre \( \textbf{u}_1 \) y \( \textbf{u}_2 \) que es
\( \textbf{u}_2 = - 5 \textbf{u}_1 \)
y por lo tanto los dos vectores son linealmente dependientes.
2)
Usemos ahora la definición para demostrar que los dos vectores son linealmente dependientes.
La ecuación (I) dada en la definición anterior se escribe como
\( r_ 1 \begin{bmatrix}
1 \\
3
\end{bmatrix}
+
r_2 \begin{bmatrix}
-5 \\
-15
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix} \) (II)
Multiplique escalarmente y sume el lado izquierdo de la ecuación anterior para escribir un sistema de ecuaciones
\( \begin{bmatrix}
r_1 - 5 r_2\\
3 r_1 - 15 r_2
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix} \)
Ahora necesitamos resolver el sistema anterior. Usemos el método de eliminación. Multiplique la ecuación superior por \( - 3 \)
\( \begin{bmatrix}
- 3 r_1 + 15 r_2\\
3 r_1 - 15 r_2
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix} \)
Sume la ecuación superior e inferior y coloque el resultado en la parte inferior
\( \begin{bmatrix}
- 3 r_1 + 15 r_2\\
0 + 0
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix} \)
La segunda ecuación puede usarse para escribir que \( r_2 = t \) donde \( t \) es cualquier número real.
Use la ecuación superior para encontrar
\( r_1 = 5 r_2 = 5 t \)
La ecuación (II) de la definición anterior tiene muchas soluciones y, por lo tanto, los vectores \( \textbf{u}_1 \) y \( \textbf{u}_2 \) dados arriba son linealmente dependientes.
Ejemplo 2
Demuestre que los vectores
\( \textbf{u}_1 = \begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
\)
,
\( \textbf{u}_2 = \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
2
\end{bmatrix}
\)
y
\( \textbf{u}_3 = \begin{bmatrix}
-2 \\
3 \\
0
\end{bmatrix}
\)
son linealmente independientes.
Solución del Ejemplo 2
Use la definición para demostrar que los dos vectores son linealmente independientes.
La ecuación (I) dada en la definición anterior se escribe como
\( r_1 \begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
+ r_2
\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
2
\end{bmatrix}
+ r_3
\begin{bmatrix}
-2 \\
3 \\
0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\)
Es un sistema homogéneo de ecuaciones. Usando matrices, puede escribirse como
\( \begin{bmatrix}
1 & 0 & -2\\
0 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
r_1 \\
r_2 \\
r_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\)
El sistema de ecuaciones anterior tiene una solución trivial \( r_1 =0 , r_2 = 0 , r_3 = 0 \) solo si el determinante de la matriz cuadrada de coeficientes NO es igual a cero.
\( \text{Det} \begin{bmatrix}
1 & 0 & -2\\
0 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 0
\end{bmatrix} = -4
\)
Por lo tanto, la ecuación de la definición de linealidad de vectores tiene una única solución trivial y, en consecuencia, los vectores son linealmente independientes.
Ejemplo 3
Encuentre los valores de \( m \) para los cuales los vectores
\( \textbf{u}_1 = \begin{bmatrix}
m \\
4 \\
0
\end{bmatrix}
\)
,
\( \textbf{u}_2 = \begin{bmatrix}
1 \\
-1 \\
8
\end{bmatrix}
\)
y
\( \textbf{u}_3 = \begin{bmatrix}
0 \\
-1 \\
m
\end{bmatrix}
\)
son linealmente dependientes.
Solución del Ejemplo 3
Usamos la ecuación de linealidad dada en la definición
\( r_1 \begin{bmatrix}
m \\
4 \\
0
\end{bmatrix}
+ r_2
\begin{bmatrix}
1 \\
-1 \\
8
\end{bmatrix}
+ r_3
\begin{bmatrix}
0 \\
-1 \\
m
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\)
El sistema homogéneo de ecuaciones anterior en forma matricial es
\( \begin{bmatrix}
m & 1 & 0\\
4 & -1 & -1 \\
0 & 8 & m
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
r_1 \\
r_2 \\
r_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\)
El determinante de la matriz cuadrada está dado por
\( \text{Det} \begin{bmatrix}
m & 1 & 0\\
4 & -1 & -1 \\
0 & 8 & m
\end{bmatrix} = - m^2 + 4 m \)
Para que los vectores sean linealmente dependientes, el sistema de ecuaciones debe tener más de una solución (además de la trivial) y, por lo tanto, el determinante debe ser igual a 0. Por lo tanto,
\( - m^2 + 4 m = 0 \)
Resuelva la ecuación anterior para \( m \)
\( m = 0 \) y \( m = 4 \) son los valores para los cuales los vectores dados son linealmente dependientes.
Ejemplo 4
¿Son los vectores
\( \textbf{u}_1 = \begin{bmatrix}
1 \\
1\\
0 \\
-1
\end{bmatrix}
\)
,
\( \textbf{u}_2 = \begin{bmatrix}
5 \\
5 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\)
y
\( \textbf{u}_3 = \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
-1 \\
-1
\end{bmatrix}
\)
linealmente dependientes o independientes?
Solución del Ejemplo 4
Escriba la ecuación de linealidad dada en la definición anterior
\( r_1 \begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
-1
\end{bmatrix}
+ r_2
\begin{bmatrix}
5\\
5\\
0 \\
0
\end{bmatrix}
+ r_3
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
-1 \\
-1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\)
Escriba lo anterior como un sistema de ecuaciones homogéneas
\( \begin{bmatrix}
1 & 5 & 0\\
1 & 5 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
r_1 \\
r_2 \\
r_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\)
La forma reducida por filas del sistema de ecuaciones anterior se escribe como
\( \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
r_1 \\
r_2 \\
r_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\)
que corresponde al sistema
\(
\begin{array}{lcl} r_1 & = & 0 \\
r_2 & = & 0 \\
r_3 & = & 0 \\
0 & = & 0
\end{array}
\)
La ecuación de linealidad tiene solo la solución trivial \( r_1 = 0 , r_2 = 0 , r_3 = 0 \) y, por lo tanto, los vectores \( \textbf{u}_1 \) , \( \textbf{u}_2 \) y \( \textbf{u}_3 \) son linealmente independientes.