Se presentan las definiciones del espacio generado por vectores, incluyendo ejemplos y sus soluciones.
Si los vectores 
están en un espacio vectorial V , entonces el conjunto W de todas las combinaciones lineales de estos vectores es un subespacio de V y se llama el espacio generado por los vectores .
También decimos que los vectores generan W , lo que puede escribirse como
.
Ejemplo 1
Demuestre que los vectores
![Vectores u1=[1 , 5]](https://www.analyzemath.com/linear-algebra/spaces/span/im-3.png)
y
![Vectores u2=[-1 , 2]](https://www.analyzemath.com/linear-algebra/spaces/span/im-4.png)
generan el espacio vectorial ℝ2 .
Solución al Ejemplo 1
Un vector en el espacio ℝ2 es de la forma
![Vector [a , b]](https://www.analyzemath.com/linear-algebra/spaces/span/im-5.png){kind=small}
donde a y b pueden tomar cualquier valor en el conjunto de números reales ℝ.
Para demostrar que los vectores u1 y u2 generan ℝ2 , necesitamos mostrar que cualquier vector
en ℝ2 es una combinación lineal de los vectores u1 y u2. Por lo tanto, necesitamos mostrar que podemos encontrar los escalares r1 y r2 tales que
![Vector [a , b] como combinación lineal de u1 y u2](https://www.analyzemath.com/linear-algebra/spaces/span/im-6.png)
para cualesquiera valores de \( a \) y \( b \).
Multiplicando escalarmente y sumando los vectores del lado derecho en la ecuación anterior
\( \begin{bmatrix}
a \\
b \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
r_1 - r_2\\
5 r_1 + 2 r_2 \\
\end{bmatrix}
\) (I)
Resuelva lo anterior para \( r_1 \) y \( r_2 \) usando cualquier método. Aquí usamos el método de eliminación
Multiplique todos los términos de la ecuación superior por \( 2 \)
\( \begin{bmatrix}
2 a \\
b \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
2 r_1 - 2 r_2\\
5 r_1 + 2 r_2 \\
\end{bmatrix}
\)
Sume las dos ecuaciones para eliminar \( r_2 \) y coloque el resultado en lugar de la segunda ecuación para obtener el sistema
\( \begin{bmatrix}
2 a \\
b + 2 a \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
2 r_1 - 2 r_2\\
7 r_1 \\
\end{bmatrix}
\)
Resuelva para \( r_1\)
\( r_1 = \dfrac{b + 2 a}{7} \)
De la ecuación superior en el sistema (I) anterior, podemos escribir
\( r_2 = r_1 - a = \dfrac{b + 2 a}{7} - a = \dfrac{b-5a}{7} \)
Hemos demostrado que cualquier vector \( \begin{bmatrix}
a \\
b \\
\end{bmatrix} \) en
\( \mathbb{R}^2\) puede expresarse como una combinación lineal de \( \textbf{u}_1 \) y \( \textbf{u}_2 \) y por lo tanto \( \textbf{u}_1 \) y \( \textbf{u}_2 \) generan \( \mathbb{R}^2\).
Ejemplo 2
Demuestre que los vectores \( \textbf{u}_1 = \begin{bmatrix}
1 \\
-2\\
\end{bmatrix} \) y \( \textbf{u}_2 = \begin{bmatrix}
2 \\
-4\\
\end{bmatrix} \) NO generan el espacio vectorial \( \mathbb{R}^2\)
Solución al Ejemplo 2
Necesitamos mostrar que no podemos encontrar escalares \( r_1 \) y \( r_2 \) para cualquier par de números reales \( a \) y \( b \) tales que
\( \begin{bmatrix}
a \\
b \\
\end{bmatrix}
= r_1 \begin{bmatrix}
1 \\
-2\\
\end{bmatrix} + r_2 \begin{bmatrix}
2 \\
-4\\
\end{bmatrix}
\)
Multiplicando escalarmente y sumando los términos del lado derecho
\( \begin{bmatrix}
a \\
b \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
r_1 + 2 r_2 \\
-2 r_1 - 4 r_2\\
\end{bmatrix}
\)
Multiplique la ecuación superior por \( 2 \)
\( \begin{bmatrix}
2 a \\
b \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
2 r_1 + 4 r_2 \\
-2 r_1 - 4 r_2\\
\end{bmatrix}
\)
Sume las dos ecuaciones y coloque el resultado en la parte inferior
\( \begin{bmatrix}
2 a \\
2a + b \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
2 r_1 + 4 r_2 \\
0\\
\end{bmatrix}
\)
La última ecuación muestra que no hay soluciones si \( a \) y \( b \) son tales que \( 2a + b \ne 0 \). Por lo tanto, los vectores dados no generan \( \mathbb{R}^2\).
Ejemplo 3
Demuestre que los vectores \( \textbf{u}_1 = \begin{bmatrix}
1 \\
0\\
0
\end{bmatrix} \), \( \textbf{u}_2 = \begin{bmatrix}
0 \\
1\\
0
\end{bmatrix} \) y \( \textbf{u}_3 = \begin{bmatrix}
0 \\
0\\
1
\end{bmatrix} \) generan el espacio vectorial \( \mathbb{R}^3\)
Solución al Ejemplo 3
Para demostrar que los vectores \( \textbf{u}_1 , \textbf{u}_2 \) y \( \textbf{u}_3 \) generan \( \mathbb{R}^3\), necesitamos mostrar que cualquier vector \( \begin{bmatrix}
a \\
b \\
c
\end{bmatrix} \) en \( \mathbb{R}^3\) es una combinación lineal de los vectores \( \textbf{u}_1 \), \( \textbf{u}_2 \) y \( \textbf{u}_3 \). Por lo tanto, necesitamos mostrar que podemos encontrar los escalares \( r_1 \), \( r_2 \) y \( r_3 \) tales que
\( \begin{bmatrix}
a \\
b \\
c
\end{bmatrix}
= r_1 \begin{bmatrix}
1 \\
0\\
0
\end{bmatrix} +
r_2 \begin{bmatrix}
0\\
1\\
0
\end{bmatrix}
+
r_3 \begin{bmatrix}
0\\
0\\
1
\end{bmatrix}
\)
para cualquier valor de \( a \), \( b \) y \( c \).
Multiplicando escalarmente y sumando los vectores del lado derecho en la ecuación anterior
\( \begin{bmatrix}
a \\
b \\
c
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
r_1\\
r_2 \\
r_3
\end{bmatrix}
\) (I)
Resuelva lo anterior para \( r_1 \), \( r_2 \) y \( r_3 \).
\( r_1 = a \) , \( r_2 = b \) y \( r_3 = c \)
Cualquier vector \( \begin{bmatrix}
a \\
b \\
c
\end{bmatrix} \) en \( \mathbb{R}^3\) puede expresarse como una combinación lineal de \( \textbf{u}_1 \) , \( \textbf{u}_2 \) y \( \textbf{u}_3 \) y por lo tanto estos 3 vectores generan \( \mathbb{R}^3\).
Ejemplo 4
Demuestre que los vectores \( \textbf{u}_1 = \begin{bmatrix}
1 \\
2\\
0
\end{bmatrix} \), \( \textbf{u}_2 = \begin{bmatrix}
0 \\
1\\
-1
\end{bmatrix} \) y \( \textbf{u}_3 = \begin{bmatrix}
0 \\
2\\
1
\end{bmatrix} \) generan el espacio vectorial \( \mathbb{R}^3\)
Solución al Ejemplo 4
Los vectores \( \textbf{u}_1 , \textbf{u}_2 \) y \( \textbf{u}_3 \) generan \( \mathbb{R}^3\) si podemos mostrar que cualquier vector \( \begin{bmatrix}
a \\
b \\
c
\end{bmatrix} \) en \( \mathbb{R}^3\) es una combinación lineal de los vectores \( \textbf{u}_1 \), \( \textbf{u}_2 \) y \( \textbf{u}_3 \). Por lo tanto, necesitamos mostrar que podemos encontrar los escalares \( r_1 \), \( r_2 \) y \( r_3 \) tales que
\( \begin{bmatrix}
a \\
b \\
c
\end{bmatrix}
= r_1 \begin{bmatrix}
1 \\
2\\
0
\end{bmatrix} +
r_2 \begin{bmatrix}
0 \\
1\\
-1
\end{bmatrix}
+
r_3 \begin{bmatrix}
0\\
2\\
1
\end{bmatrix}
\)
para cualquier valor de \( a \) , \( b \) y \( c \).
Multiplicando escalarmente y sumando los vectores del lado derecho en la ecuación anterior
\( \begin{bmatrix}
a \\
b \\
c
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
r_1\\
2 r_1 + r_2 + 2 r_3\\
-r_2 + r_3
\end{bmatrix}
\) (I)
Use cualquier método para resolver lo anterior para \( r_1 \), \( r_2 \) y \( r_3 \).
\( r_1 = a \) , \( r_2 = \dfrac{b-2c-2a}{3} \) y \( r_3 = \dfrac{b+c-2a}{3} \)
Cualquier vector \( \begin{bmatrix}
a \\
b \\
c
\end{bmatrix} \) en \( \mathbb{R}^3\) puede expresarse como una combinación lineal de \( \textbf{u}_1 \) , \( \textbf{u}_2 \) y \( \textbf{u}_3 \) y por lo tanto estos 3 vectores generan \( \mathbb{R}^3\).
Ejemplo 5
Demuestre que los vectores \( \textbf{u}_1 = \begin{bmatrix}
-1 \\
2\\
0
\end{bmatrix} \), \( \textbf{u}_2 = \begin{bmatrix}
0 \\
2\\
-1
\end{bmatrix} \) y \( \textbf{u}_3 = \begin{bmatrix}
1 \\
-4\\
1
\end{bmatrix} \) NO generan el espacio vectorial \( \mathbb{R}^3\)
Solución al Ejemplo 5
Exprese el vector \( \begin{bmatrix}
a \\
b \\
c
\end{bmatrix} \) en \( \mathbb{R}^3\) como una combinación lineal de \( \textbf{u}_1, \textbf{u}_2\) y \( \textbf{u}_3 \)
\( \begin{bmatrix}
a \\
b \\
c
\end{bmatrix}
= r_1 \begin{bmatrix}
-1 \\
2\\
0
\end{bmatrix} +
r_2 \begin{bmatrix}
0 \\
2\\
-1
\end{bmatrix}
+
r_3 \begin{bmatrix}
1 \\
-4\\
1
\end{bmatrix}
\)
Use matrices para escribir el sistema de ecuaciones anterior como
\(
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 1\\
2 & 2 & -4\\
0 & -1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
r_1 \\
r_2 \\
r_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a \\
b \\
c
\end{bmatrix}
\)
La matriz aumentada del sistema de ecuaciones anterior es
\(
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 1 &|& a\\
2 & 2 & -4 &|& b \\
0 & -1 & 1 & |& c
\end{bmatrix}
\)
Use operaciones elementales de fila
para reducir lo anterior a la forma escalonada por filas.
Intercambie la fila (1) y la fila (2)
\(
\begin{bmatrix}
2 & 2 & -4 &|& b \\
-1 & 0 & 1 &|& a\\
0 & -1 & 1 & |& c
\end{bmatrix}
\)
Sume la fila (1) al doble de la fila (2) y coloque el resultado en la fila (2)
\(
\begin{bmatrix}
2 & 2 & -4 &|& b \\
0 & 2 & -2 &|& 2a + b\\
0 & -1 & 1 & |& c
\end{bmatrix}
\)
Sume la fila (2) al doble de la fila (3) y coloque el resultado en la fila (3)
\(
\begin{bmatrix}
2 & 2 & -4 &|& b \\
0 & 2 & -2 &|& 2a + b\\
0 & 0 & 0 & |& 2a+ b + 2c
\end{bmatrix}
\)
No es necesario continuar porque la última fila nos dice que el sistema no tiene solución para \( 2a+ b + 2c \ne 0 \).
Concluimos que, dado que no podemos encontrar \( r_1 \) , \(r_2 \) y \( r_3 \) para cualquier vector en \( \mathbb{R}^3\) que satisfaga la condición \( 2a+ b + 2c \ne 0 \), los vectores dados no generan \( \mathbb{R}^3\).