Subespacios - Ejemplos con Soluciones

Definición de subespacios

Si W es un subconjunto de un espacio vectorial V y si W es en sí mismo un espacio vectorial bajo las operaciones heredadas de suma y multiplicación escalar de V, entonces W se denomina subespacio.1 , 2
Para demostrar que W es un subespacio de V, basta demostrar que

1. W es un subconjunto de V
2. El vector cero de V está en W
3. Para cualquier vector u y v en W, u + v está en W. (cierre bajo adición)
4. Para cualquier vector u y escalar r, el producto r · u está en W. (cierre bajo multiplicación escalar).

Ejemplos de subespacios

Ejemplo 1
\( \) \( \) \( \) El conjunto W de vectores de la forma \( (x,0) \) donde \( x \in \mathbb{R} \) es un subespacio de \( \mathbb{R}^2 \) porque:
W es un subconjunto de \( \mathbb{R}^2 \) cuyos vectores son de la forma \( (x,y) \) donde \( x \in \mathbb{R} \) y \( y \in \mathbb{R} \)
El vector cero \( (0,0)\) está en W
\( (x_1,0) + (x_2,0) = (x_1 + x_2 , 0) \) , cierre bajo adición
\( r \cdot (x,0) = (r x , 0) \) , cierre bajo multiplicación escalar

Ejemplo 2
El conjunto W de vectores de la forma \( (x,y) \) tales que \( x \ge 0 \) y \( y \ge 0 \) no es un subespacio de \( \mathbb{R}^2 \) porque no está cerrado bajo la multiplicación escalar.
El vector \( \textbf{u} = (2,2) \) está en W pero su negativo \( -1(2,2) = (-2,-2) \) no está en W.

Ejemplo 3
El conjunto W de vectores de la forma \( W = \{ (x,y,z) | x + y + z = 0 \} \) es un subespacio de \( \mathbb{R}^3 \) porque
1) Es un subconjunto de \( \mathbb{R}^3 = \{ (x,y,z) \} \)
2) El vector \( (0,0,0) \) está en W ya que \( 0 + 0 + 0 = 0 \)
3) Sean \( \textbf{u} = (x_1 , y_1 , z_1) \) y \( \textbf{v} = (x_2 , y_2 , z_2) \) vectores en W. Por lo tanto
\( x_1 + y_1 + z_1 = 0 \) y \( x_2 + y_2 + z_2 = 0 \)
\( (x_1 , y_1 , z_1) + (x_2 , y_2 , z_2) \\\\ \quad = (x_1+x_2 , y_1+y_2 , z_1+z_2) \\\\ \quad = (x_1+x_2) + (y_1+y_2) + (z_1+z_2) \\\\ \quad = (x_1+y_1+z_1) + (x_2+y_2+z_2) = 0 + 0 = 0 \)
por lo tanto cierre bajo suma.
4) Sea \( r \) un número real
\( r (x_1 , y_1 , z_1) = (r x_1 , r y_1 , r z_1) \)
\( r x_1 + r y_1 + r z_1 \\\\ \quad = r( x_1 + y_1 + z_1 ) \\\\ \quad = r \cdot 0 = 0 \)
por lo tanto cierre bajo multiplicación escalar

Más referencias y enlaces

1. Espacios vectoriales - Preguntas con soluciones
2. Linear Algebra and its Applications - 5 th Edition - David C. Lay , Steven R. Lay , Judi J. McDonald
3. Elementary Linear Algebra - 7 th Edition - Howard Anton and Chris Rorres