¿Qué son los Vectores Linealmente Dependientes o Independientes?
Primero usamos vectores en espacios de dos y tres dimensiones para visualizar el concepto de dependencia e independencia de vectores.
En la figura 1 a continuación tenemos dos vectores que son paralelos, tal que \( v_2 = 2 v_1 \). Decimos que estos dos vectores son dependientes porque podemos expresar un vector en términos del otro de la siguiente manera:
\( v_2 = 2 v_1 \) o \( v_1 = \dfrac{1}{2} v_1 \).
Fig.1 - Los vectores \( v_1 \) y \( v_2 \) son dependientes porque son paralelos
En la figura 2 a continuación tenemos dos vectores que son paralelos, tal que \( v_2 = - v_1 \). Estos dos vectores son dependientes porque podemos expresar un vector en términos del otro.
Fig.2 - Los vectores \( v_1 \) y \( v_2 \) son dependientes porque son paralelos
En la figura 3, todos los vectores son paralelos entre sí. Todos estos vectores son dependientes porque podemos expresar un vector en términos de los otros.
Fig.3 - Los vectores \( v_1 \), \( v_2 \), \( v_3 \) y \( v_4 \) son dependientes porque son paralelos
En la figura 4, nunca podemos expresar un vector en términos del otro porque no son paralelos. Estos vectores son independientes porque no podemos expresar un vector en términos del otro.
Fig.4 - Los vectores \( v_1 \) y \( v_2 \) son independientes porque no son paralelos
En la figura 5, usando las sumas geométricas de vectores, podemos escribir
\( 3 v_4 = 2 v_1 + 3 v_2 + v_3 \)
y por lo tanto estos vectores son linealmente dependientes porque podemos expresar un vector en términos de los demás.
Fig.5 - Vectores Dependientes
En la figura 6, los 3 vectores \( v_1 \), \( v_2 \) y \( v_3 \) están en el mismo plano \( P \) y por lo tanto son dependientes porque podemos expresar cualquiera de estos vectores en términos de los otros dos vectores usando combinaciones lineales.
Fig.6 - Vectores Tridimensionales Dependientes
En la figura 7, los pares de vectores \( \{v_1 , v_2\} \), \( \{v_2 , v_3\} \) y \( \{v_1 , v_3\} \) están en diferentes planos y por lo tanto son independientes porque no podemos expresar ninguno de estos vectores en términos de los otros dos vectores usando combinaciones lineales.
Fig.7 - Vectores Tridimensionales Independientes
Definición Formal de Linealidad de Vectores
Los vectores \( v_1, v_2 .... v_n \) son linealmente dependientes
cuando al menos uno de los vectores puede expresarse como una combinación lineal de los vectores restantes de la siguiente manera:
\( v_1 = r_2 v_2 + r_3 v_3 + .... + r_n v_n \)
Escribiendo lo anterior con el cero en el lado derecho, obtenemos
\( v_1 - r_2 v_2 - r_3 v_3 - .... - r_n v_n = 0\)
Por lo tanto, la siguiente definición
Dado un conjunto de vectores \( S = \{\textbf{v}_1 , \textbf{v}_2, ... , \textbf{v}_n \} \),
Si la ecuación
\( r_1 \textbf{v}_1 + r_2 \textbf{v}_2 + ... + r_n\textbf{v}_n = \textbf{0} \) (I)
tiene solo la solución trivial \( r_1 = 0 , r_2 = 0 , ... , r_n = 0 \), decimos que \( S \) es un conjunto de vectores linealmente independientes.
Si la ecuación anterior tiene otras soluciones donde no todos los \( r_i \) son iguales a cero, entonces \( S \) es un conjunto de vectores linealmente dependientes.
En los ejemplos a continuación, las matrices se reducen por filas para probar la linealidad. Esto se puede hacer usando la calculadora de reducción de filas de matrices aumentadas incluida.
Ejemplos con Soluciones
Ejemplo 1
¿Son los vectores del conjunto \( \left \{
\begin{bmatrix}
-2 \\
1
\end {bmatrix} ,
\begin{bmatrix}
6 \\
-3
\end {bmatrix}
\right \}
\)
linealmente independientes?
Solución del Ejemplo 1
Sea \( v_1 = \begin{bmatrix}
-2 \\
1
\end {bmatrix} \) y \( v_2 = \begin{bmatrix}
6 \\
-3
\end {bmatrix} \)
La pregunta podría responderse notando que \( v_2 = - 3 v_1 \) y por lo tanto los vectores dados \( v_1 \) y \( v_2 \) son dependientes (no independientes).
Lo anterior fue posible porque estamos tratando con vectores de pequeña dimensión (solo 2 componentes).
Ahora usaremos un método que puede aplicarse en cualquier situación.
Según la definición dada anteriormente, necesitamos encontrar \( r_1 \) y \( r_2 \) tales que:
\( r_1 v_1 + r_2 v_2 = 0 \)
Lo anterior puede escribirse en forma matricial de la siguiente manera:
\( [ v_1 \;\; v_2] \begin{bmatrix}
r_1 \\
r_2
\end {bmatrix} = 0 \)
donde \( [ v_1 \;\; v_2] \) es una matriz cuyas columnas son \( v_1 \) y \( v_2 \)
Escriba el sistema de ecuaciones en forma de matriz aumentada:
\(
\begin{bmatrix}
-2 &6&|&0\\
1 & -3&|&0
\end{bmatrix}
\)
Use el método de Gauss-Jordan para reducir por filas la matriz aumentada anterior y obtenga:
\(
\begin{bmatrix}
1 &-3&|&0\\
0 & 0&|&0
\end{bmatrix}
\) (I)
La solución del sistema reducido anterior (que también es una solución del sistema antes de la reducción) se encuentra de la siguiente manera:
La segunda ecuación da: \( 0 r_2 = 0 \), por lo tanto, \( r_2 \) puede tomar cualquier valor real.
La primera ecuación da: \( r_1 = 3 r_2 \)
El conjunto de soluciones puede escribirse como: \( \left \{ \begin{bmatrix}
3 r_2\\
r_2
\end{bmatrix} \right \} , r_2 \in R \)
lo que significa que tenemos un número infinito de soluciones y, por lo tanto, los dos vectores son linealmente dependientes.
Nota que no es necesario resolver el sistema para decidir si los vectores dados son dependientes o independientes.
Construya la matriz aumentada usando los vectores como columnas de la matriz y la columna constante a la derecha es todo ceros, que de hecho puede omitirse. Luego reducimos por filas la matriz aumentada. Entonces, las siguientes conclusiones pueden extraerse fácilmente:
1) Las columnas con pivote son independientes entre sí.
2) Las columnas sin pivote dependen de las que tienen pivote.
3) Los coeficientes en las columnas sin pivote dan los coeficientes de dependencia en las columnas independientes.
Apliquemos lo anterior a la matriz reducida (I) de arriba:
1) La columna 1 tiene un pivote y puede considerarse independiente.
2) La columna 2 no tiene pivote y, por lo tanto, puede considerarse dependiente de la columna (1).
3) El coeficiente \( - 3 \) en la columna 2 nos dice que \( v_2 = - 3 v_1 \).
Solución del Ejemplo 2 Paso 1: Construya la matriz aumentada.
Construya la matriz aumentada cuyas columnas son los vectores dados y ceros en la columna derecha.
\(
\begin{bmatrix}
-2 &1&1&|&0\\
1 & 0&2&|&0 \\
4 & 5 & -1& |& 0
\end{bmatrix}
\)
Paso 3: Extraiga conclusiones de la matriz reducida por filas.
Las 3 columnas tienen cada una un pivote y, por lo tanto, los 3 vectores dados son independientes.
Solución del Ejemplo 3 Paso 1: Construya la matriz aumentada usando los vectores dados como columnas y ceros en la columna derecha.
\(
\begin{bmatrix}
2&0&4&|&0\\
-1&2&-8&|&0\\
3&-1&9&|&0\\
1&1&-1&|&0
\end{bmatrix}
\)
Paso 2: Reduzca por filas la matriz anterior.
\(
\begin{bmatrix}
1&0&\color{red}{2}&|&0\\
0&1&\color{blue}{-3}&|&0\\
0&0&0&|&0\\
0&0&0&|&0
\end{bmatrix}
\)
Paso 3: Extraiga conclusiones.
Solo la primera y segunda columna (desde la izquierda) tienen un pivote y, por lo tanto, los vectores dados no son independientes.
Los coeficientes \( \color{red}{2} \) y \( \color{blue}{-3} \) en la tercera columna dan la dependencia de la tercera columna original como una combinación lineal de la primera y la segunda columna de la siguiente manera:
\( \begin{bmatrix}
4 \\
-8 \\
9\\
-1
\end {bmatrix}
=
\color{red}{2} \begin{bmatrix}
2 \\
-1 \\
3\\
1
\end {bmatrix} - \color{blue}{3} \begin{bmatrix}
0 \\
2 \\
-1\\
1
\end {bmatrix}
\)
