Un vector en \( \mathbb{R}^n \) es una n-tupla (o lista ordenada de n elementos) como \( (x_1, x_2, ...., x_n) \) donde cada \( x_i \) es un número real.
Para cualquier entero positivo \( n \), \( \mathbb{R}^n \) es un espacio vectorial .
Ejemplo 1
a) Ejemplos de vectores en \( \mathbb{R}^2 \) : \( (2,0) , (0,0) , (-1/2 , \sqrt 5) \)
b) Ejemplos de vectores en \( \mathbb{R}^3 \) : \( (-7 , 2, 0) , (0,0,0) , (-5 , -1/2 , \sqrt3) \)
Nota los vectores en \( \mathbb{R}^2 \) y \( \mathbb{R}^3 \) se utilizan en física, ingeniería y muchos otros campos de estudio.
c) Ejemplos de vectores en \( \mathbb{R}^5 \) : \( (2,0,-1,4/5,8) , (0,0,0,0,0) , (-3, -1/2 , \sqrt 5 , 0 , 10) \)
Un vector \( \textbf{u} \) en \( \mathbb{R}^n \) puede considerarse como una matriz columna (matriz con una columna) de dimensión \( n \times 1 \) y por lo tanto puede escribirse como
\[ \textbf{u} = \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
... \\
x_n
\end{bmatrix} \]
Para un entero positivo dado \( n \), el conjunto de todos los vectores en \( \mathbb{R}^n \) es un espacio vectorial y por lo tanto los vectores en \( \mathbb{R}^n \) tienen las operaciones de suma y multiplicación por escalar definidas de la siguiente manera
\[ \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
... \\
x_n
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
x_1' \\
x_2' \\
x_3' \\
... \\
x_n'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x_1 +x_1' \\
x_2+x_2'\\
x_3 + x_3'\\
... \\
x_n + x_n'
\end{bmatrix}
\]
\[ k \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
... \\
x_n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
k x_1 \\
k x_2\\
k x_3\\
... \\
k x_n
\end{bmatrix}
\]
Cualquier vector \( \textbf{u} \), \( \textbf{v} \) y \( \textbf{w} \) y cualquier número real \( r \) y \( s \), obedecen las siguientes reglas
\( \textbf{u} + \textbf{v} = \textbf{v} + \textbf{u} \) , conmutatividad
\( (\textbf{u} + \textbf{v}) + \textbf{w} = \textbf{v} + ( \textbf{u} + \textbf{w}) \) , asociatividad de vectores
\( r \cdot (s \cdot \textbf{u}) = (r s) \cdot \textbf{u} \) , asociatividad de escalares
\( \textbf{u} + \textbf{0} = \textbf{u} \) , \( \textbf{0} \) es el vector cero
\( \textbf{u} + (- \textbf{u}) = \textbf{0} \) , \( - \textbf{u} \) se llama el negativo de \( \textbf{u} \)
\( r \cdot (\textbf{u} + \textbf{v} ) = r \textbf{u} + r \textbf{v} \)
\( (r + s) \cdot \textbf{u} = r \cdot \textbf{u} + s \cdot \textbf{u} \)
\( 1 \textbf{u} = \textbf{u} \)
Ejemplo 2
Evalúe lo siguiente y exprese la respuesta como un vector
a) \( 2 \begin{bmatrix}
2 \\
-3 \\
0 \\
8 \\
-9
\end{bmatrix}
+
3 \begin{bmatrix}
-7 \\
0 \\
-4 \\
2\\
1
\end{bmatrix}
\)
b) \( -2 \left( \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
-1 \\
4 \\
-5
\end{bmatrix}
- 2 \begin{bmatrix}
-1 \\
2 \\
7 \\
0\\
-1
\end{bmatrix}
\right)
+ 2
\begin{bmatrix}
0 \\
-2 \\
-2 \\
1\\
-1
\end{bmatrix}
\)
Solución del Ejemplo 2
a)
Aplique la multiplicación escalar de vectores
\(
=
\begin{bmatrix}
4 \\
-6 \\
0 \\
16 \\
-18
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
-21 \\
0 \\
-12 \\
6\\
3
\end{bmatrix}
\)
Aplique la suma de vectores
\( = \begin{bmatrix}
-17 \\
-6 \\
-12 \\
22 \\
-15
\end{bmatrix}
\)
b)
Aplique la multiplicación escalar de vectores a los términos dentro del paréntesis
\( = -2 \left( \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
-1 \\
4 \\
-5
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
2 \\
-4 \\
-14 \\
0\\
2
\end{bmatrix}
\right)
+ 2
\begin{bmatrix}
0 \\
-2 \\
-2 \\
1\\
-1
\end{bmatrix}
\)
Aplique la suma de vectores dentro del paréntesis
\( = -2 \begin{bmatrix}
2 \\
-3 \\
-15 \\
4 \\
-3
\end{bmatrix}
+ 2
\begin{bmatrix}
0 \\
-2 \\
-2 \\
1\\
-1
\end{bmatrix}
\)
Aplique la multiplicación escalar y la suma de vectores y simplifique
\( =
\begin{bmatrix}
-4 \\
2 \\
26 \\
-6\\
4
\end{bmatrix}
\)
Ejemplo 3
Encuentre los vectores desconocidos en las siguientes ecuaciones
a) \( 2 \textbf {u}
=
2 \begin{bmatrix}
4 \\
6 \\
0 \\
\end{bmatrix}
-3 \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
\end{bmatrix}
\)
b)
\(
-3 \begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
-1 \\
\end{bmatrix}
- \textbf {u}
=
- 2\begin{bmatrix}
-1\\
3\\
4\\
\end{bmatrix}
\)
Solución del Ejemplo 3
a)
Aplique la multiplicación escalar y la suma de vectores al lado derecho de la ecuación
\( 2 \textbf {u}
=
\begin{bmatrix}
8 \\
9 \\
0 \\
\end{bmatrix}
\)
Multiplique escalarmente ambos lados de la ecuación por \( \dfrac{1}{2} \)
\( (\dfrac{1}{2}) 2 \textbf {u}
=
(\dfrac{1}{2}) \begin{bmatrix}
8 \\
9 \\
0 \\
\end{bmatrix}
\)
Simplifique para obtener
\( \textbf {u}
=
\begin{bmatrix}
4 \\
9/2 \\
0 \\
\end{bmatrix}
\)
b)
Multiplique escalarmente y simplifique
\(
\begin{bmatrix}
-3 \\
-6 \\
3\\
\end{bmatrix}
- \textbf {u}
=
\begin{bmatrix}
2\\
-6\\
-8\\
\end{bmatrix}
\)
Sume \( -
\begin{bmatrix}
-3 \\
-6 \\
3\\
\end{bmatrix} \)
a ambos lados de la ecuación
\(
\begin{bmatrix}
-3 \\
-6 \\
3\\
\end{bmatrix}
+ (-
\begin{bmatrix}
-3 \\
-6 \\
3\\
\end{bmatrix}
)
- \textbf {u}
=
\begin{bmatrix}
2\\
-6\\
-8\\
\end{bmatrix}
+
(-
\begin{bmatrix}
-3 \\
-6 \\
3\\
\end{bmatrix}
)
\)
Simplifique el lado derecho
\(
- \textbf {u}
=
\begin{bmatrix}
5\\
0\\
-11\\
\end{bmatrix}
\)
Multiplique ambos lados de la ecuación vectorial anterior por \( - 1 \) y simplifique para obtener
\(
\textbf {u}
=
\begin{bmatrix}
- 5\\
0\\
11\\
\end{bmatrix}
\)
Ejemplo 4
Encuentre los números reales \( r \) y \( s \) tales que
a) \(
r
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
\end{bmatrix}
+
s \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 \\
-3 \\
\end{bmatrix}
\)
b)
\(
r \begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
\end{bmatrix}
+
s \begin{bmatrix}
2 \\
2 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-1\\
3\\
\end{bmatrix}
\)
Solución del Ejemplo 4
a)
Multiplique escalarmente los vectores del lado izquierdo
\(
\begin{bmatrix}
r \\
0 \\
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 \\
s \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 \\
-3 \\
\end{bmatrix}
\)
Sume los vectores del lado izquierdo
\(
\begin{bmatrix}
r \\
s \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 \\
-3 \\
\end{bmatrix}
\)
Dos vectores son iguales si sus componentes son iguales; por lo tanto
\( r = 2 \) y \( s = - 3 \)
b)
Multiplique escalarmente los vectores del lado izquierdo
\(
\begin{bmatrix}
r \\
2 r \\
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
2 s \\
2 s \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-1\\
3\\
\end{bmatrix}
\)
Sume los dos vectores del lado izquierdo
\(
\begin{bmatrix}
r + 2 s \\
2 r + 2 s \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-1\\
3\\
\end{bmatrix}
\)
Use la igualdad de vectores para escribir
\( r + 2 s = - 1 \)
y
\( 2 r + 2 s = 3 \)
Use cualquier método para resolver el sistema anterior de 2 ecuaciones con 2 incógnitas para obtener
\( r = 4 \) y \( s = -5/2 \)