El Método de Eliminación en Sistemas - Preguntas con Soluciones
Utilice el método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se presentan ejemplos y preguntas con soluciones detalladas y explicaciones. También se presenta la interpretación gráfica de la solución de sistemas de ecuaciones de 2 por 2 y 3 por 3.
El método para resolver sistemas de ecuaciones usando la Regla de Cramer también está incluido en este sitio web.
Sistemas de Ecuaciones Lineales y sus Soluciones
Un sistema de ecuaciones lineales tiene una o más ecuaciones que deben resolverse simultáneamente.
Resolver Sistemas por el Método de Eliminación
Primero definimos sistemas de ecuaciones equivalentes como sistemas con el mismo conjunto solución. El método de eliminación utiliza tres operaciones elementales en sistemas que se enumeran a continuación para reescribir un sistema de ecuaciones dado a uno equivalente que sea más fácil de resolver.
1) Si multiplicamos todos los términos de una ecuación dada, en un sistema dado, por una constante (distinta de cero), obtenemos un sistema de ecuaciones equivalente.
2) Si sumamos los lados izquierdos y los lados derechos de dos ecuaciones, obtenemos un sistema de ecuaciones equivalente.
3) Si intercambiamos dos ecuaciones, obtenemos un sistema de ecuaciones equivalente.
Preguntas con Solución
- Parte 1
Utilice el método de eliminación para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
a)
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
-x + 3y & = & 11 \\
4x - y & = & - 11
\end{array}
\end{equation}
\)
b) \( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
2x + y & = & 8 \\
-6x - 3y & = & 10
\end{array}
\end{equation}
\)
c) \( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
x -2 y & = & 3 \\
-3x + 6y & = & -9
\end{array}
\end{equation}
\)
- Parte 2
Utilice el método de eliminación para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
a)
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
2x + 3y - z & = & - 1 \\
- x - y + 2z & = & - 1 \\
3 x - 2 y - z & = & 2
\end{array}
\end{equation}
\)
b) \( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
2x - y - 5z & = & 1 \\
- x - y - z & = & - 1 \\
3 x + 3 y + 3 z & = & 3
\end{array}
\end{equation}
\)
- Parte 3
Utilice el método de eliminación para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
-x - 2y + z + w & = & - 6 \\
2 x - y - 3z -2w & = & 5 \\
-4 x + 2 y + 2z - w & = & -8 \\
-x + 2 y + 3 z - w & = & -8
\end{array}
\end{equation}
\)
- Parte 4
Encuentre todos los valores del parámetro k para que el sistema de ecuaciones que se muestra a continuación tenga
a) Una sola solución b) Ninguna Solución
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
-x - 2y & = & - 5 \\
3 x - k y & = & 8
\end{array}
\end{equation}
\)
- Parte 5
Encuentre todos los valores del parámetro k para que el sistema de ecuaciones que se muestra a continuación tenga un número infinito de soluciones.
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
x - 5y & = & 5 \\
4 x - 2 k y & = & 20
\end{array}
\end{equation}
\)
Soluciones a las Preguntas Anteriores
- Parte 1
a)
Multiplique todos los términos de la primera ecuación por 4
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
-4x + 12y & = & 44 \\
4x - y & = & - 11
\end{array}
\end{equation}
\)
Sume la primera ecuación a la segunda ecuación
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
- 4x + 12y & = & 44 \\
0x + 11 y & = & 33
\end{array}
\end{equation}
\)
Resuelva por sustitución hacia atrás para obtener
y = 3 y x = 2
El sistema anterior es consistente y tiene la solución (2,3).
b) Multiplique la primera ecuación por 3
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
6x + 3y & = & 24 \\
-6x - 3y & = & 10
\end{array}
\end{equation}
\)
Sume la ecuación superior a la segunda ecuación
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
6x + 3y & = & 24 \\
0x + 0y & = & 34
\end{array}
\end{equation}
\)
No hay valores de x e y que satisfagan la segunda ecuación. El sistema no tiene soluciones y por lo tanto es inconsistente.
c) Multiplique la primera ecuación por 3
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
3 x - 6 y & = & 9 \\
-3x + 6y & = & -9
\end{array}
\end{equation}
\)
Sume la ecuación superior a la segunda ecuación
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
3 x - 6 y & = & 9 \\
0x + 0y & = & 0
\end{array}
\end{equation}
\)
La última ecuación tiene un número infinito de soluciones. Sea y = t, siendo t un número real.
Sustituya y por t en la primera ecuación y resuélvala para x.
3x - 6(t) = 9
x = 2 t + 3
El sistema tiene un número infinito de soluciones que se pueden escribir como (2 t + 3 , t) donde t es cualquier número real.
- Parte 2
a) Cambie el orden de las ecuaciones y reescriba el sistema dado de la siguiente manera
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
- x - y + 2z & = & - 1 \\
2x + 3y - z & = & - 1 \\
3 x - 2 y - z & = & 2
\end{array}
\end{equation}
\)
Multiplique la ecuación superior por 2 y súmela a la segunda ecuación
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
- x - y + 2z & = & - 1 \\
0x + y + 3z & = & - 3 \\
3 x - 2 y - z & = & 2
\end{array}
\end{equation}
\)
Multiplique la ecuación superior por 3 y súmela a la tercera ecuación
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
- x - y + 2z & = & - 1 \\
0x + y + 3z & = & - 3 \\
0x - 5 y + 5z & = & -1
\end{array}
\end{equation}
\)
Multiplique la segunda ecuación por 5 y súmela a la tercera ecuación
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
- x - y + 2z & = & - 1 \\
0x + y + 3z & = & - 3 \\
0x + 0y + 20 z & = & -16
\end{array}
\end{equation}
\)
Resuelva el sistema por sustitución hacia atrás
\( z = - 4/5 \)
\( y = - 3 - 3 z = - 3 + 12/5 = -3/5 \)
\( x = - y + 2 z + 1 = 3/5 + 2(-4/5) + 1 = 0\)
La solución es \( (0 , -3/5 , -4/5) \)
b) Multiplique todos los términos de la segunda ecuación por 3 y súmelos a la tercera ecuación
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
2x - y - 5z & = & 1 \\
- x - y - z & = & - 1 \\
0x + 0y + 0 z & = & 0
\end{array}
\end{equation}
\)
Cambie los órdenes de las ecuaciones 1 y 2
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
- x - y - z & = & - 1 \\
2x - y - 5z & = & 1 \\
0x + 0y + 0 z & = & 0
\end{array}
\end{equation}
\)
Multiplique la primera ecuación por 2 y súmela a la segunda ecuación
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
- x - y - z & = & - 1 \\
0x - 3 y - 7 z & = & -1 \\
0x + 0y + 0z & = & 0
\end{array}
\end{equation}
\)
La última ecuación tiene un número infinito de soluciones.
Sea z = t donde t es cualquier número real y resuelva por sustitución hacia atrás para y y x. La segunda ecuación da
\( -3 y = 7 z - 1 \) y \( y = (-1/3)(7t -1) \)
La primera ecuación da
\( x = (1/3)(4t + 2) \)
El conjunto solución se puede escribir como
\( ( \dfrac{4t+2}{3} , -\dfrac{7t-1}{3} , t) \) , \( t \in \mathbb{R} \)
- Parte 3
Elimine los términos en x de la segunda, tercera y cuarta ecuaciones de la siguiente manera:
Sume 2 veces la primera ecuación a la segunda ecuación; sume -4 veces la primera ecuación a la tercera y reste la primera ecuación de la cuarta ecuación para obtener
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
-x - 2y + z + w & = & - 6 \\
0x - 5y - z + 0 w & = & -7 \\
0x + 10 y - 2z - 5w & = & 16\\
0x + 4 y + 2 z - 2w & = & - 2
\end{array}
\end{equation}
\)
Sume 2 veces la segunda ecuación a la tercera ecuación para eliminar y de la tercera ecuación.
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
-x - 2y + z + w & = & - 6 \\
0x - 5y - z + 0 w & = & -7 \\
0x + 0y - 4z - 5w & = & 2\\
0x + 4 y + 2 z - 2w & = & - 2
\end{array}
\end{equation}
\)
Sume 4 veces la segunda ecuación a 5 veces la cuarta ecuación para eliminar y de la cuarta ecuación.
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
-x - 2y + z + w & = & - 6 \\
0x - 5y - z + 0 w & = & -7 \\
0x + 0y - 4z - 5w & = & 2\\
0x + 0y + 6 z - 10w & = & - 38
\end{array}
\end{equation}
\)
Sume 3 veces la tercera ecuación a 2 veces la cuarta ecuación para eliminar z de la cuarta ecuación.
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
-x - 2y + z + w & = & - 6 \\
0x - 5y - z + 0 w & = & -7 \\
0x + 0y - 4z - 5w & = & 2\\
0x + 0y + 0z - 35 w & = & -70
\end{array}
\end{equation}
\)
Use sustitución hacia atrás para encontrar w, z, y y x.
Usando la cuarta ecuación, obtenemos w = 2
Sustituya w por 2 en la tercera ecuación y resuelva para z
\( -4 z - 5(2) = 2\) da z = - 3
Sustituya w por 2 y z por -3 en la segunda ecuación y resuelva para y
\( - 5y - (-3) + 0 (2) = -7 \) da \( y = 2 \)
Sustituya w por 2, z por -3 e y por 2 en la primera ecuación y resuelva para x.
\( -x - 2(2) + (-3) + 2 = - 6 \) da \( x = 1 \)
El sistema dado es consistente y tiene la solución \((1,2,-3,2) \)
- Parte 4
Encuentre todos los valores del parámetro k para que el sistema de ecuaciones que se muestra a continuación tenga
a) Una sola solución b) Ninguna Solución
a)
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
-x - 2y & = & - 5 \\
3 x - k y & = & 8
\end{array}
\end{equation}
\)
Sume 3 veces la primera ecuación a la segunda ecuación
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
- x - 2y & = & - 5 \\
0x - (k - 6) y & = & 7
\end{array}
\end{equation}
\)
Resuelva la segunda ecuación para y
\( y = -\dfrac{7}{k-6} \)
Hay una solución para y si el denominador es diferente de cero. Por lo tanto, el sistema tiene una solución para cualquier valor de k diferente de 6 y ninguna solución si k = 6.
- Parte 5
Encuentre todos los valores del parámetro k para que el sistema de ecuaciones que se muestra a continuación tenga un número infinito de soluciones.
a)
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
x - 5y & = & 5 \\
4 x - 2 k y & = & 20
\end{array}
\end{equation}
\)
Reste 4 veces la primera ecuación de la segunda ecuación y factorice y de los términos con y en la segunda ecuación.
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
x - 5y & = & 5 \\
0 x - (2 k - 20) y& = & 0
\end{array}
\end{equation}
\)
La última ecuación tendrá un número infinito de soluciones si el coeficiente de y es igual a cero. Por lo tanto
\( 2 k - 20 = 0\)
Para \( k = 10 \) el sistema dado tiene un número infinito de soluciones.
Referencias y Enlaces sobre Sistemas de Ecuaciones
